Ejercicio resuelto de Teorema de Tales · Matemáticas 4 ESO

En una fotografía, María y Fernando miden 2,5 cm y 2,7 cm, respectivamente; en la realidad, María tiene una altura de 167,5 cm. ¿A qué escala está hecha la foto? ¿Qué altura tiene Fernando en la realidad?

Una fotografía es una reducción de la escena: todo lo que sale en ella está encogido en la misma proporción, así que la foto y la realidad son figuras semejantes. Por eso se puede trabajar con una sola razón para las dos personas.

Los lados homólogos son cada persona consigo misma: la María de la foto con la María de verdad, y el Fernando de la foto con el Fernando de verdad. Del par de María se conocen las dos medidas, y ese es el par que da la razón.

La escala de un dibujo es lo que mide en el dibujo dividido entre lo que mide en la realidad:
$\boxed{{\displaystyle \text{escala}={\displaystyle \frac{\text{medida en el dibujo}}{\text{medida real}}}}}$
$\text{escala}={\displaystyle \frac{\mathrm{2,5}}{\mathrm{167,5}}}={\displaystyle \frac{1}{67}}$

O sea que la foto está hecha a escala 1:67, y eso quiere decir que cada centímetro de la foto son 67 centímetros de la realidad.

Con Fernando se aplica esa misma razón, porque su par de medidas es homólogo del de María. Su altura real es 67 veces la que tiene en la foto:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{a^{\mathrm{\prime }}}}={\displaystyle \frac{b}{b^{\mathrm{\prime }}}}={\displaystyle \frac{c}{c^{\mathrm{\prime }}}}=r}}$
$h=\mathrm{2,7}\cdot 67=\mathrm{180,9}\text{ cm}$

Se comprueba con los dos pares de medidas, que tienen que dar la misma razón:
${\displaystyle \frac{\mathrm{167,5}}{\mathrm{2,5}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{180,9}}{\mathrm{2,7}}}=67$

La foto está hecha a escala 1:67 y Fernando mide 180,9 centímetros de verdad, es decir, 1,809 metros.