Ejercicio resuelto de Teorema de Tales · Matemáticas 4 ESO

Aplicando los criterios de semejanza, justifica si los triángulos ABC y MNP son semejantes según los siguientes casos (todos los lados en cm):

a) $A={60}^{\circ }$; $B={45}^{\circ }$ y $M={75}^{\circ }$; $N={60}^{\circ }$.
b) $AB=10$; $AC=12$; $A={35}^{\circ }$ y $MN=20$; $MP=16$; $M={35}^{\circ }$.
c) $AB=10$; $AC=12$; $BC=15$ y $MN=15$; $MP=18$; $NP=\mathrm{22,5}$.
d) $AB=10$; $AC=12$; $BC=15$ y $MN=20$; $MP=24$; $NP=18$.

Los criterios de semejanza sirven para decidir si dos triángulos son semejantes sin comprobarlo todo. En cada caso hay que mirar qué datos se dan —ángulos, lados, o unos y otros— y aplicar el criterio que encaje con ellos. El orden de las letras dice siempre qué vértice se corresponde con cuál: $A$ con $M$, $B$ con $N$ y $C$ con $P$.


$\mathbf{\text{a)}}$ Se dan dos ángulos de cada triángulo, así que el criterio que toca es el de los dos ángulos respectivamente iguales. Para poder emparejarlos conviene sacar antes el tercero de cada uno, porque los tres ángulos de un triángulo suman siempre lo mismo:
$\boxed{{\displaystyle A+B+C={180}^{\circ }}}$
$C={180}^{\circ }-{60}^{\circ }-{45}^{\circ }={75}^{\circ }$
$P={180}^{\circ }-{75}^{\circ }-{60}^{\circ }={45}^{\circ }$

Los dos triángulos tienen entonces los mismos tres ángulos, y se emparejan así: el de ${60}^{\circ }$ está en $A$ y en $N$, el de ${45}^{\circ }$ en $B$ y en $P$, y el de ${75}^{\circ }$ en $C$ y en $M$. Con dos ángulos respectivamente iguales ya basta, así que sí son semejantes.


$\mathbf{\text{b)}}$ Aquí se dan dos lados de cada triángulo y el ángulo que forman: $A$ es el ángulo que hay entre $AB$ y $AC$, y $M$ el que hay entre $MN$ y $MP$, y los dos miden ${35}^{\circ }$. El criterio pide, además del ángulo, que esos dos lados sean proporcionales, y los homólogos son $AB$ con $MN$ y $AC$ con $MP$:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{a^{\mathrm{\prime }}}}={\displaystyle \frac{b}{b^{\mathrm{\prime }}}}=r}}$
${\displaystyle \frac{AB}{MN}}={\displaystyle \frac{10}{20}}=\mathrm{0,5}$
${\displaystyle \frac{AC}{MP}}={\displaystyle \frac{12}{16}}=\mathrm{0,75}$

Las dos razones no valen lo mismo, así que esos dos pares de lados no son proporcionales y no se cumple el criterio: no son semejantes. El ángulo igual por sí solo no basta.


$\mathbf{\text{c)}}$ Ahora se dan los tres lados de cada triángulo, así que el criterio es el de los tres lados proporcionales. Los homólogos son $AB$ con $MN$, $AC$ con $MP$ y $BC$ con $NP$, y las tres razones tienen que dar lo mismo:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{a^{\mathrm{\prime }}}}={\displaystyle \frac{b}{b^{\mathrm{\prime }}}}={\displaystyle \frac{c}{c^{\mathrm{\prime }}}}=r}}$
${\displaystyle \frac{10}{15}}={\displaystyle \frac{12}{18}}={\displaystyle \frac{15}{\mathrm{22,5}}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$

Las tres valen ${\displaystyle \frac{2}{3}}$, así que sí son semejantes, y esa es su razón de semejanza.


$\mathbf{\text{d)}}$ Los tres lados otra vez, y el mismo emparejamiento que en el apartado anterior:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{a^{\mathrm{\prime }}}}={\displaystyle \frac{b}{b^{\mathrm{\prime }}}}={\displaystyle \frac{c}{c^{\mathrm{\prime }}}}=r}}$
${\displaystyle \frac{10}{20}}={\displaystyle \frac{12}{24}}=\mathrm{0,5}$
${\displaystyle \frac{15}{18}}={\displaystyle \frac{5}{6}}$

Los dos primeros pares dan $\mathrm{0,5}$, pero el tercero da ${\displaystyle \frac{5}{6}}$, que es otra cosa. Como las tres razones no coinciden, los lados no son proporcionales: no son semejantes.