Ejercicio resuelto de Números reales · Matemáticas 4 ESO

Separar los siguientes números en racionales o irracionales, indicando, de la forma más conveniente en cada caso, el porqué:
${\displaystyle \frac{1}{8}}$, ${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$, $\sqrt{5}$, $\mathrm{2,6}$, $0$, $-3$, $-{\displaystyle \frac{25}{3}}$, $\sqrt{13}$, $\mathrm{0,1}$, $\mathrm{6,}\bar{4}$, $534$, $\mathrm{1,010110111}\dots$, $\mathrm{1,010110111}$

$\mathbf{\text{1.}}$ ${\displaystyle \frac{1}{8}}$ es racional ($\mathbb{Q}$): es un cociente de dos enteros. Su expresión decimal es exacta: ${\displaystyle \frac{1}{8}}=\mathrm{0,125}$.


$\mathbf{\text{2.}}$ ${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$ es irracional ($\mathbb{I}$): $\pi$ es irracional, y dividirlo entre 3 no lo arregla: si ${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$ fuera una fracción de enteros, $\pi =3\cdot {\displaystyle \frac{\pi }{3}}$ también lo sería, y no lo es.


$\mathbf{\text{3.}}$ $\sqrt{5}$ es irracional ($\mathbb{I}$): 5 no es un cuadrado perfecto ($2^2=4<5<9=3^2$), así que su raíz cuadrada no es entera ni fracción: es irracional, con infinitas cifras decimales sin período.


$\mathbf{\text{4.}}$ $\mathrm{2,6}$ es racional ($\mathbb{Q}$): es un decimal exacto, y todo decimal exacto tiene fracción generatriz: $\mathrm{2,6}={\displaystyle \frac{26}{10}}={\displaystyle \frac{13}{5}}$.


$\mathbf{\text{5.}}$ $0$ es racional ($\mathbb{Q}$): es entero, y todo entero es racional: $0={\displaystyle \frac{0}{1}}$.


$\mathbf{\text{6.}}$ $-3$ es racional ($\mathbb{Q}$): es entero: $-3={\displaystyle \frac{-3}{1}}$.


$\mathbf{\text{7.}}$ $-{\displaystyle \frac{25}{3}}$ es racional ($\mathbb{Q}$): es un cociente de enteros. Su expresión decimal es periódica: $-{\displaystyle \frac{25}{3}}=-\mathrm{8,}\bar{3}$.


$\mathbf{\text{8.}}$ $\sqrt{13}$ es irracional ($\mathbb{I}$): 13 no es un cuadrado perfecto ($3^2=9<13<16=4^2$), así que su raíz cuadrada es irracional.


$\mathbf{\text{9.}}$ $\mathrm{0,1}$ es racional ($\mathbb{Q}$): es un decimal exacto: $\mathrm{0,1}={\displaystyle \frac{1}{10}}$.


$\mathbf{\text{10.}}$ $\mathrm{6,}\bar{4}$ es racional ($\mathbb{Q}$): es un decimal periódico, y todo decimal periódico tiene fracción generatriz: $\mathrm{6,}\bar{4}={\displaystyle \frac{64-6}{9}}={\displaystyle \frac{58}{9}}$.


$\mathbf{\text{11.}}$ $534$ es racional ($\mathbb{Q}$): es entero: $534={\displaystyle \frac{534}{1}}$.


$\mathbf{\text{12.}}$ $\mathrm{1,010110111}\dots$ es irracional ($\mathbb{I}$): los puntos suspensivos indican que las cifras siguen sin acabar, y siguen un patrón (un 0 y cada vez un 1 más: 1, 11, 111, 1111…) que nunca repite el mismo bloque: no es exacto ni periódico, así que es irracional.


$\mathbf{\text{13.}}$ $\mathrm{1,010110111}$ es racional ($\mathbb{Q}$): sin los puntos suspensivos es un decimal exacto de nueve cifras: $\mathrm{1,010110111}={\displaystyle \frac{1010110111}{1000000000}}$.