Ejercicio resuelto de Números reales · Matemáticas 4 ESO

Rellenar la siguiente tabla (véase el primer ejemplo). En cada fila se da una de las tres formas de expresar un conjunto de números reales (representación gráfica, intervalo o definición matemática) y hay que completar las otras dos.

Ejemplo resuelto (fila 1):

Intervalo: $[-1,3]$. Definición matemática: $\{x\in \mathbb{R}\mathrm{/}-1\le x\le 3\}$.

a) Definición matemática: $\{x\in \mathbb{R}\mathrm{/}x<-1\}$
b) Representación gráfica:

c) Intervalo: $(-\mathrm{\infty },-2)\cup (2,\mathrm{\infty })$
d) Intervalo: $(-\mathrm{\infty },2)\cup (2,\mathrm{\infty })$
e) Definición matemática: $\{x\in \mathbb{R}\mathrm{/}\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\le 5\}$
f) Intervalo: $[-2,2]$
g) Representación gráfica:

$\mathbf{\text{a)}}$ Leemos la desigualdad: por la izquierda sigue hasta el infinito: paréntesis, y en la gráfica una flecha; el extremo derecho, $-1$, está excluido: paréntesis, desigualdad estricta y punto hueco.
Intervalo:
$\boxed{{\displaystyle [a,b)=\{x\in \mathbb{R}\mathrm{/}a\le x<b\}}}$
$\{x\in \mathbb{R}\mathrm{/}x<-1\}=(-\mathrm{\infty },-1)$
Representación gráfica:



$\mathbf{\text{b)}}$ Leemos la gráfica: el extremo izquierdo, $-4$, está incluido: corchete, desigualdad no estricta y punto relleno; el extremo derecho, $4$, está incluido: corchete, desigualdad no estricta y punto relleno.
Intervalo:
$\boxed{{\displaystyle [a,b)=\{x\in \mathbb{R}\mathrm{/}a\le x<b\}}}$
$[-4,4]$
Definición matemática (los mismos extremos, escritos como desigualdad):
$[-4,4]=\{x\in \mathbb{R}\mathrm{/}-4\le x\le 4\}$


$\mathbf{\text{c)}}$ Leemos el intervalo: por la izquierda sigue hasta el infinito: paréntesis, y en la gráfica una flecha; el extremo derecho, $-2$, está excluido: paréntesis, desigualdad estricta y punto hueco. el extremo izquierdo, $2$, está excluido: paréntesis, desigualdad estricta y punto hueco; por la derecha sigue hasta el infinito: paréntesis, y en la gráfica una flecha.
Los dos trozos son los puntos que están a más de 2 unidades del 0, a un lado o al otro, es decir, los de valor absoluto mayor que 2.
Definición matemática:
$\boxed{{\displaystyle [a,b)=\{x\in \mathbb{R}\mathrm{/}a\le x<b\}}}$
$(-\mathrm{\infty },-2)\cup (2,\mathrm{\infty })=\{x\in \mathbb{R}\mathrm{/}x<-2\text{ o }x>2\}=\{x\in \mathbb{R}\mathrm{/}\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }>2\}$
Representación gráfica:



$\mathbf{\text{d)}}$ Leemos el intervalo: por la izquierda sigue hasta el infinito: paréntesis, y en la gráfica una flecha; el extremo derecho, $2$, está excluido: paréntesis, desigualdad estricta y punto hueco. el extremo izquierdo, $2$, está excluido: paréntesis, desigualdad estricta y punto hueco; por la derecha sigue hasta el infinito: paréntesis, y en la gráfica una flecha.
Los dos trozos cubren toda la recta menos el punto 2: son todos los reales distintos de 2.
Definición matemática:
$\boxed{{\displaystyle [a,b)=\{x\in \mathbb{R}\mathrm{/}a\le x<b\}}}$
$(-\mathrm{\infty },2)\cup (2,\mathrm{\infty })=\{x\in \mathbb{R}\mathrm{/}x\mathrm{\ne }2\}$
Representación gráfica:



$\mathbf{\text{e)}}$ El valor absoluto $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$ es la distancia de $x$ al 0, así que $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\le 5$ son los puntos que están a 5 unidades o menos del 0, hacia la derecha o hacia la izquierda:
$\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\le 5⟺-5\le x\le 5$
Leemos esa desigualdad: el extremo izquierdo, $-5$, está incluido: corchete, desigualdad no estricta y punto relleno; el extremo derecho, $5$, está incluido: corchete, desigualdad no estricta y punto relleno.
Intervalo:
$\boxed{{\displaystyle [a,b)=\{x\in \mathbb{R}\mathrm{/}a\le x<b\}}}$
$\{x\in \mathbb{R}\mathrm{/}\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\le 5\}=[-5,5]$
Representación gráfica:



$\mathbf{\text{f)}}$ Leemos el intervalo: el extremo izquierdo, $-2$, está incluido: corchete, desigualdad no estricta y punto relleno; el extremo derecho, $2$, está incluido: corchete, desigualdad no estricta y punto relleno.
Definición matemática (la desigualdad que cumplen los puntos):
$\boxed{{\displaystyle [a,b)=\{x\in \mathbb{R}\mathrm{/}a\le x<b\}}}$
$[-2,2]=\{x\in \mathbb{R}\mathrm{/}-2\le x\le 2\}$
Representación gráfica:



$\mathbf{\text{g)}}$ Leemos la gráfica: el extremo izquierdo, $-3$, está excluido: paréntesis, desigualdad estricta y punto hueco; el extremo derecho, $3$, está excluido: paréntesis, desigualdad estricta y punto hueco.
Intervalo:
$\boxed{{\displaystyle [a,b)=\{x\in \mathbb{R}\mathrm{/}a\le x<b\}}}$
$(-3,3)$
Definición matemática (los mismos extremos, escritos como desigualdad):
$(-3,3)=\{x\in \mathbb{R}\mathrm{/}-3<x<3\}$