Ejercicio resuelto de Números reales · Matemáticas 4 ESO

Se dan los siguientes números racionales:
${\displaystyle \frac{2}{3}}{\displaystyle \frac{7}{6}}{\displaystyle \frac{16}{3}}-{\displaystyle \frac{5}{7}}-{\displaystyle \frac{18}{5}}3{\displaystyle \frac{5}{4}}-{\displaystyle \frac{9}{2}}$

a) Representarlos en la recta real.
b) A la vista de lo anterior, ordenarlos de menor a mayor.
c) Utilizar la calculadora para comprobar el resultado anterior.

$\mathbf{\text{a)}}$ Situamos cada número entre dos enteros consecutivos y dividimos esa unidad en tantas partes como indica el denominador.
${\displaystyle \frac{2}{3}}$ está entre 0 y 1: dividimos esa unidad en 3 partes iguales y contamos 2 desde el 0:
$0<{\displaystyle \frac{2}{3}}<1$
${\displaystyle \frac{7}{6}}$: separamos la parte entera, ${\displaystyle \frac{7}{6}}=1+{\displaystyle \frac{1}{6}}$, así que está entre 1 y 2, a ${\displaystyle \frac{1}{6}}$ de 1:
$1<{\displaystyle \frac{7}{6}}<2$
${\displaystyle \frac{16}{3}}$: separamos la parte entera, ${\displaystyle \frac{16}{3}}=5+{\displaystyle \frac{1}{3}}$, así que está entre 5 y 6, a ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ de 5:
$5<{\displaystyle \frac{16}{3}}<6$
$-{\displaystyle \frac{5}{7}}$ está entre $-1$ y 0: dividimos esa unidad en 7 partes y contamos 5 hacia la izquierda del 0:
$-1<-{\displaystyle \frac{5}{7}}<0$
$-{\displaystyle \frac{18}{5}}$: separamos la parte entera, $-{\displaystyle \frac{18}{5}}=-3-{\displaystyle \frac{3}{5}}$, así que está entre $-4$ y $-3$, a ${\displaystyle \frac{3}{5}}$ a la izquierda de $-3$:
$-4<-{\displaystyle \frac{18}{5}}<-3$
$3$ es entero: ya está marcado en la recta.
${\displaystyle \frac{5}{4}}$: separamos la parte entera, ${\displaystyle \frac{5}{4}}=1+{\displaystyle \frac{1}{4}}$, así que está entre 1 y 2, a ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ de 1:
$1<{\displaystyle \frac{5}{4}}<2$
$-{\displaystyle \frac{9}{2}}$: separamos la parte entera, $-{\displaystyle \frac{9}{2}}=-4-{\displaystyle \frac{1}{2}}$, así que está entre $-5$ y $-4$, a ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ a la izquierda de $-4$:
$-5<-{\displaystyle \frac{9}{2}}<-4$
Con todos colocados, la recta queda así:



$\mathbf{\text{b)}}$ En la recta real los números crecen hacia la derecha, así que basta leerlos de izquierda a derecha en la figura del apartado anterior:
$-{\displaystyle \frac{9}{2}}<-{\displaystyle \frac{18}{5}}<-{\displaystyle \frac{5}{7}}<{\displaystyle \frac{2}{3}}<{\displaystyle \frac{7}{6}}<{\displaystyle \frac{5}{4}}<3<{\displaystyle \frac{16}{3}}$


$\mathbf{\text{c)}}$ Dividimos cada fracción con la calculadora (los períodos se ven porque las cifras se repiten en la pantalla):
$-{\displaystyle \frac{9}{2}}=-\mathrm{4,5}$
$-{\displaystyle \frac{18}{5}}=-\mathrm{3,6}$
$-{\displaystyle \frac{5}{7}}=-\mathrm{0,}\overline{714285}$
${\displaystyle \frac{2}{3}}=\mathrm{0,}\bar{6}$
${\displaystyle \frac{7}{6}}=\mathrm{1,1}\bar{6}$
${\displaystyle \frac{5}{4}}=\mathrm{1,25}$
${\displaystyle \frac{16}{3}}=\mathrm{5,}\bar{3}$
Y con los decimales el orden es el mismo:
$-\mathrm{4,5}<-\mathrm{3,6}<-\mathrm{0,}\overline{714285}<\mathrm{0,}\bar{6}<\mathrm{1,1}\bar{6}<\mathrm{1,25}<3<\mathrm{5,}\bar{3}$