Ejercicio resuelto de Números reales · Matemáticas 4 ESO

Hallar la fracción generatriz de los siguientes números decimales. Comprobar el resultado con la calculadora:

a) $\mathrm{0,34}\bar{5}$
b) $\mathrm{1,1}\bar{8}$
c) $\mathrm{1,2}\bar{3}$
d) $\mathrm{25,372}$
e) $\mathrm{12,}\overline{20}$
f) $\mathrm{5,13}\bar{5}$
g) $\mathrm{12,13}\overline{40}$
h) $\mathrm{24,12}\bar{1}$

$\mathbf{\text{a)}}$ Es un decimal periódico mixto: el anteperíodo es 34 y el período 5: llamamos $x$ al número.
$x=\mathrm{0,34}\bar{5}$
Multiplicamos por 1000 para dejar la coma al final del primer período, y por 100 para dejarla justo antes del período:
$1000x=\mathrm{345,}\bar{5}$
$100x=\mathrm{34,}\bar{5}$
Los dos tienen la misma parte decimal, así que al restarlos el período desaparece:
$1000x-100x=\mathrm{345,}\bar{5}-\mathrm{34,}\bar{5}=311$
Queda una ecuación de primer grado; despejamos y simplificamos:
$900x=311$
$x={\displaystyle \frac{311}{900}}$
Comprobación con la calculadora: al dividir se recupera el número (la pantalla muestra 0,345555555):
${\displaystyle \frac{311}{900}}=\mathrm{0,34}\bar{5}$


$\mathbf{\text{b)}}$ Es un decimal periódico mixto: el anteperíodo es 1 y el período 8: llamamos $x$ al número.
$x=\mathrm{1,1}\bar{8}$
Multiplicamos por 100 para dejar la coma al final del primer período, y por 10 para dejarla justo antes del período:
$100x=\mathrm{118,}\bar{8}$
$10x=\mathrm{11,}\bar{8}$
Los dos tienen la misma parte decimal, así que al restarlos el período desaparece:
$100x-10x=\mathrm{118,}\bar{8}-\mathrm{11,}\bar{8}=107$
Queda una ecuación de primer grado; despejamos y simplificamos:
$90x=107$
$x={\displaystyle \frac{107}{90}}$
Comprobación con la calculadora: al dividir se recupera el número (la pantalla muestra 1,188888888):
${\displaystyle \frac{107}{90}}=\mathrm{1,1}\bar{8}$


$\mathbf{\text{c)}}$ Es un decimal periódico mixto: el anteperíodo es 2 y el período 3: llamamos $x$ al número.
$x=\mathrm{1,2}\bar{3}$
Multiplicamos por 100 para dejar la coma al final del primer período, y por 10 para dejarla justo antes del período:
$100x=\mathrm{123,}\bar{3}$
$10x=\mathrm{12,}\bar{3}$
Los dos tienen la misma parte decimal, así que al restarlos el período desaparece:
$100x-10x=\mathrm{123,}\bar{3}-\mathrm{12,}\bar{3}=111$
Queda una ecuación de primer grado; despejamos y simplificamos:
$90x=111$
$x={\displaystyle \frac{111}{90}}={\displaystyle \frac{37}{30}}$
Comprobación con la calculadora: al dividir se recupera el número (la pantalla muestra 1,233333333):
${\displaystyle \frac{37}{30}}=\mathrm{1,2}\bar{3}$


$\mathbf{\text{d)}}$ Es un decimal exacto con 3 cifras decimales: el numerador es el número sin la coma y el denominador la unidad seguida de 3 ceros. Después simplificamos:
$\mathrm{25,372}={\displaystyle \frac{25372}{1000}}={\displaystyle \frac{6343}{250}}$
Comprobación con la calculadora: al dividir se recupera el número (la pantalla muestra 25,372):
${\displaystyle \frac{6343}{250}}=\mathrm{25,372}$


$\mathbf{\text{e)}}$ Es un decimal periódico puro (el período 20 empieza justo después de la coma): llamamos $x$ al número.
$x=\mathrm{12,}\overline{20}$
Multiplicamos por 100 (un 1 seguido de tantos ceros como cifras tiene el período) para que la coma se desplace un período completo:
$100x=\mathrm{1220,}\overline{20}$
Los dos números tienen la misma parte decimal, así que al restarlos el período desaparece:
$100x-x=\mathrm{1220,}\overline{20}-\mathrm{12,}\overline{20}=1208$
Queda una ecuación de primer grado; despejamos y simplificamos:
$99x=1208$
$x={\displaystyle \frac{1208}{99}}$
Comprobación con la calculadora: al dividir se recupera el número (la pantalla muestra 12,202020202):
${\displaystyle \frac{1208}{99}}=\mathrm{12,}\overline{20}$


$\mathbf{\text{f)}}$ Es un decimal periódico mixto: el anteperíodo es 13 y el período 5: llamamos $x$ al número.
$x=\mathrm{5,13}\bar{5}$
Multiplicamos por 1000 para dejar la coma al final del primer período, y por 100 para dejarla justo antes del período:
$1000x=\mathrm{5135,}\bar{5}$
$100x=\mathrm{513,}\bar{5}$
Los dos tienen la misma parte decimal, así que al restarlos el período desaparece:
$1000x-100x=\mathrm{5135,}\bar{5}-\mathrm{513,}\bar{5}=4622$
Queda una ecuación de primer grado; despejamos y simplificamos:
$900x=4622$
$x={\displaystyle \frac{4622}{900}}={\displaystyle \frac{2311}{450}}$
Comprobación con la calculadora: al dividir se recupera el número (la pantalla muestra 5,135555555):
${\displaystyle \frac{2311}{450}}=\mathrm{5,13}\bar{5}$


$\mathbf{\text{g)}}$ Es un decimal periódico mixto: el anteperíodo es 13 y el período 40: llamamos $x$ al número.
$x=\mathrm{12,13}\overline{40}$
Multiplicamos por 10000 para dejar la coma al final del primer período, y por 100 para dejarla justo antes del período:
$10000x=\mathrm{121340,}\overline{40}$
$100x=\mathrm{1213,}\overline{40}$
Los dos tienen la misma parte decimal, así que al restarlos el período desaparece:
$10000x-100x=\mathrm{121340,}\overline{40}-\mathrm{1213,}\overline{40}=120127$
Queda una ecuación de primer grado; despejamos y simplificamos:
$9900x=120127$
$x={\displaystyle \frac{120127}{9900}}$
Comprobación con la calculadora: al dividir se recupera el número (la pantalla muestra 12,134040404):
${\displaystyle \frac{120127}{9900}}=\mathrm{12,13}\overline{40}$


$\mathbf{\text{h)}}$ Es un decimal periódico mixto: el anteperíodo es 12 y el período 1: llamamos $x$ al número.
$x=\mathrm{24,12}\bar{1}$
Multiplicamos por 1000 para dejar la coma al final del primer período, y por 100 para dejarla justo antes del período:
$1000x=\mathrm{24121,}\bar{1}$
$100x=\mathrm{2412,}\bar{1}$
Los dos tienen la misma parte decimal, así que al restarlos el período desaparece:
$1000x-100x=\mathrm{24121,}\bar{1}-\mathrm{2412,}\bar{1}=21709$
Queda una ecuación de primer grado; despejamos y simplificamos:
$900x=21709$
$x={\displaystyle \frac{21709}{900}}$
Comprobación con la calculadora: al dividir se recupera el número (la pantalla muestra 24,121111111):
${\displaystyle \frac{21709}{900}}=\mathrm{24,12}\bar{1}$