Ejercicio resuelto de Números reales · Matemáticas 4 ESO

Señalar cuáles de los siguientes números son racionales o irracionales, indicando el porqué:

a) $\mathrm{3,629629629}\dots$
b) $\mathrm{0,128129130}\dots$
c) $\mathrm{5,216968888}\dots$
d) $\mathrm{0,123456789}\dots$
e) $\mathrm{7,129292929}\dots$
f) $\mathrm{4,101001000}\dots$
g) $\mathrm{0,130129128}\dots$

$\mathbf{\text{a)}}$ Es racional ($\mathbb{Q}$): el bloque 629 se repite una y otra vez desde la coma, así que es un decimal periódico y se escribe $\mathrm{3,}\overline{629}$. Todo decimal periódico tiene fracción generatriz:
$\mathrm{3,}\overline{629}={\displaystyle \frac{3629-3}{999}}={\displaystyle \frac{3626}{999}}={\displaystyle \frac{98}{27}}$


$\mathbf{\text{b)}}$ Es irracional ($\mathbb{I}$): las cifras no terminan (puntos suspensivos) y los bloques 128, 129, 130, … van creciendo de uno en uno, así que ningún bloque vuelve a repetirse. Sin período no hay fracción generatriz, así que no puede ser un cociente de enteros.


$\mathbf{\text{c)}}$ Es racional ($\mathbb{Q}$): después del anteperíodo 21696 el 8 se repite indefinidamente, así que es un decimal periódico y se escribe $\mathrm{5,21696}\bar{8}$. Todo decimal periódico tiene fracción generatriz:
$\mathrm{5,21696}\bar{8}={\displaystyle \frac{5216968-521696}{900000}}={\displaystyle \frac{4695272}{900000}}={\displaystyle \frac{586909}{112500}}$


$\mathbf{\text{d)}}$ Es irracional ($\mathbb{I}$): las cifras no terminan (puntos suspensivos) y las cifras siguen la sucesión de los números naturales (después vendrían 10, 11, 12, …) y nunca se repite el mismo bloque. Sin período no hay fracción generatriz, así que no puede ser un cociente de enteros.


$\mathbf{\text{e)}}$ Es racional ($\mathbb{Q}$): tras el anteperíodo 1 se repite el bloque 29, así que es un decimal periódico y se escribe $\mathrm{7,1}\overline{29}$. Todo decimal periódico tiene fracción generatriz:
$\mathrm{7,1}\overline{29}={\displaystyle \frac{7129-71}{990}}={\displaystyle \frac{7058}{990}}={\displaystyle \frac{3529}{495}}$


$\mathbf{\text{f)}}$ Es irracional ($\mathbb{I}$): las cifras no terminan (puntos suspensivos) y cada 1 va seguido de un cero más que el anterior, así que ningún bloque se repite indefinidamente. Sin período no hay fracción generatriz, así que no puede ser un cociente de enteros.


$\mathbf{\text{g)}}$ Es irracional ($\mathbb{I}$): las cifras no terminan (puntos suspensivos) y los bloques 130, 129, 128, … van bajando de uno en uno y ningún bloque vuelve a repetirse. Sin período no hay fracción generatriz, así que no puede ser un cociente de enteros.