Ejercicio resuelto de Números reales · Matemáticas 4 ESO

Realizar las siguientes operaciones de dos formas distintas, y comprobar que se obtiene idéntico resultado:
1.º Operando directamente en forma decimal (en las operaciones largas, utilizar la calculadora).
2.º Pasando previamente a fracción generatriz y operando a continuación las fracciones resultantes.

a) $\mathrm{1,9}\bar{2}+\mathrm{0,25}(\mathrm{0,2}\bar{5}+\mathrm{0,}\bar{5})=$
b) $\sqrt{\mathrm{2,}\bar{7}}=$
c) $\mathrm{1,25}+\mathrm{0,}\overline{87}+\mathrm{0,8712}=$
d) $\mathrm{0,8}\bar{3}-\mathrm{0,8}:\mathrm{0,}\bar{6}=$
e) $\mathrm{4,08}\bar{3}\cdot \mathrm{11,}\bar{1}-\mathrm{0,1}\bar{5}:\mathrm{0,3}=$
f) $\mathrm{0,}\bar{6}+\mathrm{1,3}\bar{8}\cdot \mathrm{0,72}=$
g) $\mathrm{0,}\bar{5}-\mathrm{0,15}+\mathrm{1,2}\bar{3}$
h) $\mathrm{1,}\bar{2}+\mathrm{1,1}\bar{7}\cdot \mathrm{0,1}$

$\mathbf{\text{a)}}$ 1.º En decimal: escribimos cinco cifras decimales de cada número periódico (en la calculadora, todas las que quepan) y operamos:
$\mathrm{1,92222}+\mathrm{0,25}(\mathrm{0,25555}+\mathrm{0,55555})=\mathrm{2,124995}\approx \mathrm{2,125}$
2.º Con fracciones generatrices. Pasamos cada decimal a su fracción con la regla de la fracción generatriz:
$\mathrm{1,9}\bar{2}={\displaystyle \frac{192-19}{90}}={\displaystyle \frac{173}{90}}$
$\mathrm{0,25}={\displaystyle \frac{25}{100}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$
$\mathrm{0,2}\bar{5}={\displaystyle \frac{25-2}{90}}={\displaystyle \frac{23}{90}}$
$\mathrm{0,}\bar{5}={\displaystyle \frac{5}{9}}$
Sustituimos y operamos con las fracciones, paso a paso:
$\mathrm{1,9}\bar{2}+\mathrm{0,25}(\mathrm{0,2}\bar{5}+\mathrm{0,}\bar{5})$
$={\displaystyle \frac{173}{90}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}({\displaystyle \frac{23}{90}}+{\displaystyle \frac{5}{9}})$
$={\displaystyle \frac{173}{90}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}({\displaystyle \frac{23}{90}}+{\displaystyle \frac{50}{90}})$
$={\displaystyle \frac{173}{90}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{73}{90}}$
$={\displaystyle \frac{173}{90}}+{\displaystyle \frac{1\cdot 73}{4\cdot 90}}$
$={\displaystyle \frac{173}{90}}+{\displaystyle \frac{73}{360}}$
$={\displaystyle \frac{692}{360}}+{\displaystyle \frac{73}{360}}$
$={\displaystyle \frac{765}{360}}$
$={\displaystyle \frac{17}{8}}$
$=\mathrm{2,125}$
Los dos caminos dan lo mismo: ${\displaystyle \frac{17}{8}}=\mathrm{2,125}$.


$\mathbf{\text{b)}}$ 1.º En decimal: escribimos cinco cifras decimales de cada número periódico (en la calculadora, todas las que quepan) y operamos:
$\sqrt{\mathrm{2,77777}}\approx \mathrm{1,6667}$
Sale aproximado, porque hemos cortado los períodos; el valor exacto es $\mathrm{1,}\bar{6}$.
2.º Con fracciones generatrices. Pasamos cada decimal a su fracción con la regla de la fracción generatriz:
$\mathrm{2,}\bar{7}={\displaystyle \frac{27-2}{9}}={\displaystyle \frac{25}{9}}$
Sustituimos y operamos con las fracciones, paso a paso:
$\sqrt{\mathrm{2,}\bar{7}}$
$=\sqrt{{\displaystyle \frac{25}{9}}}$
$={\displaystyle \frac{5}{3}}$
$=\mathrm{1,}\bar{6}$
Los dos caminos dan lo mismo: ${\displaystyle \frac{5}{3}}=\mathrm{1,}\bar{6}$.


$\mathbf{\text{c)}}$ 1.º En decimal: escribimos cinco cifras decimales de cada número periódico (en la calculadora, todas las que quepan) y operamos:
$\mathrm{1,25}+\mathrm{0,87878}+\mathrm{0,8712}=\mathrm{2,99998}\approx 3$
Sale aproximado, porque hemos cortado los períodos; el valor exacto es $\mathrm{2,9999}\overline{87}$.
2.º Con fracciones generatrices. Pasamos cada decimal a su fracción con la regla de la fracción generatriz:
$\mathrm{1,25}={\displaystyle \frac{125}{100}}={\displaystyle \frac{5}{4}}$
$\mathrm{0,}\overline{87}={\displaystyle \frac{87}{99}}={\displaystyle \frac{29}{33}}$
$\mathrm{0,8712}={\displaystyle \frac{8712}{10000}}={\displaystyle \frac{1089}{1250}}$
Sustituimos y operamos con las fracciones, paso a paso:
$\mathrm{1,25}+\mathrm{0,}\overline{87}+\mathrm{0,8712}$
$={\displaystyle \frac{5}{4}}+{\displaystyle \frac{29}{33}}+{\displaystyle \frac{1089}{1250}}$
$={\displaystyle \frac{103125}{82500}}+{\displaystyle \frac{72500}{82500}}+{\displaystyle \frac{71874}{82500}}$
$={\displaystyle \frac{247499}{82500}}$
$=\mathrm{2,9999}\overline{87}$
Los dos caminos dan lo mismo: ${\displaystyle \frac{247499}{82500}}=\mathrm{2,9999}\overline{87}$.
El resultado exacto no es 3, aunque se queda a menos de dos cienmilésimas: con los decimales truncados el primer camino da 2,99998, que redondeado parece 3, y por eso hay que hacer también el segundo. Si el último sumando fuera $\mathrm{0,87}\overline{12}$ (con período 12), la suma sí daría exactamente 3: ${\displaystyle \frac{5}{4}}+{\displaystyle \frac{29}{33}}+{\displaystyle \frac{115}{132}}={\displaystyle \frac{165}{132}}+{\displaystyle \frac{116}{132}}+{\displaystyle \frac{115}{132}}={\displaystyle \frac{396}{132}}=3$.


$\mathbf{\text{d)}}$ 1.º En decimal: escribimos cinco cifras decimales de cada número periódico (en la calculadora, todas las que quepan) y operamos:
$\mathrm{0,83333}-\mathrm{0,8}:\mathrm{0,66666}\approx -\mathrm{0,3667}$
Sale aproximado, porque hemos cortado los períodos; el valor exacto es $-\mathrm{0,3}\bar{6}$.
2.º Con fracciones generatrices. Pasamos cada decimal a su fracción con la regla de la fracción generatriz:
$\mathrm{0,8}\bar{3}={\displaystyle \frac{83-8}{90}}={\displaystyle \frac{75}{90}}={\displaystyle \frac{5}{6}}$
$\mathrm{0,8}={\displaystyle \frac{8}{10}}={\displaystyle \frac{4}{5}}$
$\mathrm{0,}\bar{6}={\displaystyle \frac{6}{9}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$
Sustituimos y operamos con las fracciones, paso a paso:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{b}}:{\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a\cdot d}{b\cdot c}}}}$
$\mathrm{0,8}\bar{3}-\mathrm{0,8}:\mathrm{0,}\bar{6}$
$={\displaystyle \frac{5}{6}}-{\displaystyle \frac{4}{5}}:{\displaystyle \frac{2}{3}}$
$={\displaystyle \frac{5}{6}}-{\displaystyle \frac{4\cdot 3}{5\cdot 2}}$
$={\displaystyle \frac{5}{6}}-{\displaystyle \frac{12}{10}}$
$={\displaystyle \frac{5}{6}}-{\displaystyle \frac{6}{5}}$
$={\displaystyle \frac{25}{30}}-{\displaystyle \frac{36}{30}}$
$=-{\displaystyle \frac{11}{30}}$
$=-\mathrm{0,3}\bar{6}$
Los dos caminos dan lo mismo: $-{\displaystyle \frac{11}{30}}=-\mathrm{0,3}\bar{6}$.


$\mathbf{\text{e)}}$ 1.º En decimal: escribimos cinco cifras decimales de cada número periódico (en la calculadora, todas las que quepan) y operamos:
$\mathrm{4,08333}\cdot \mathrm{11,11111}-\mathrm{0,15555}:\mathrm{0,3}\approx \mathrm{44,8519}$
Sale aproximado, porque hemos cortado los períodos; el valor exacto es $\mathrm{44,}\overline{851}$.
2.º Con fracciones generatrices. Pasamos cada decimal a su fracción con la regla de la fracción generatriz:
$\mathrm{4,08}\bar{3}={\displaystyle \frac{4083-408}{900}}={\displaystyle \frac{3675}{900}}={\displaystyle \frac{49}{12}}$
$\mathrm{11,}\bar{1}={\displaystyle \frac{111-11}{9}}={\displaystyle \frac{100}{9}}$
$\mathrm{0,1}\bar{5}={\displaystyle \frac{15-1}{90}}={\displaystyle \frac{14}{90}}={\displaystyle \frac{7}{45}}$
$\mathrm{0,3}={\displaystyle \frac{3}{10}}$
Sustituimos y operamos con las fracciones, paso a paso:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{b}}\cdot {\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a\cdot c}{b\cdot d}}{\displaystyle \frac{a}{b}}:{\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a\cdot d}{b\cdot c}}}}$
$\mathrm{4,08}\bar{3}\cdot \mathrm{11,}\bar{1}-\mathrm{0,1}\bar{5}:\mathrm{0,3}$
$={\displaystyle \frac{49}{12}}\cdot {\displaystyle \frac{100}{9}}-{\displaystyle \frac{7}{45}}:{\displaystyle \frac{3}{10}}$
$={\displaystyle \frac{49\cdot 100}{12\cdot 9}}-{\displaystyle \frac{7}{45}}:{\displaystyle \frac{3}{10}}$
$={\displaystyle \frac{4900}{108}}-{\displaystyle \frac{7}{45}}:{\displaystyle \frac{3}{10}}$
$={\displaystyle \frac{1225}{27}}-{\displaystyle \frac{7}{45}}:{\displaystyle \frac{3}{10}}$
$={\displaystyle \frac{1225}{27}}-{\displaystyle \frac{7\cdot 10}{45\cdot 3}}$
$={\displaystyle \frac{1225}{27}}-{\displaystyle \frac{70}{135}}$
$={\displaystyle \frac{1225}{27}}-{\displaystyle \frac{14}{27}}$
$={\displaystyle \frac{1211}{27}}$
$=\mathrm{44,}\overline{851}$
Los dos caminos dan lo mismo: ${\displaystyle \frac{1211}{27}}=\mathrm{44,}\overline{851}$.


$\mathbf{\text{f)}}$ 1.º En decimal: escribimos cinco cifras decimales de cada número periódico (en la calculadora, todas las que quepan) y operamos:
$\mathrm{0,66666}+\mathrm{1,38888}\cdot \mathrm{0,72}\approx \mathrm{1,6667}$
Sale aproximado, porque hemos cortado los períodos; el valor exacto es $\mathrm{1,}\bar{6}$.
2.º Con fracciones generatrices. Pasamos cada decimal a su fracción con la regla de la fracción generatriz:
$\mathrm{0,}\bar{6}={\displaystyle \frac{6}{9}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$
$\mathrm{1,3}\bar{8}={\displaystyle \frac{138-13}{90}}={\displaystyle \frac{125}{90}}={\displaystyle \frac{25}{18}}$
$\mathrm{0,72}={\displaystyle \frac{72}{100}}={\displaystyle \frac{18}{25}}$
Sustituimos y operamos con las fracciones, paso a paso:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{b}}\cdot {\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a\cdot c}{b\cdot d}}}}$
$\mathrm{0,}\bar{6}+\mathrm{1,3}\bar{8}\cdot \mathrm{0,72}$
$={\displaystyle \frac{2}{3}}+{\displaystyle \frac{25}{18}}\cdot {\displaystyle \frac{18}{25}}$
$={\displaystyle \frac{2}{3}}+{\displaystyle \frac{25\cdot 18}{18\cdot 25}}$
$={\displaystyle \frac{2}{3}}+{\displaystyle \frac{450}{450}}$
$={\displaystyle \frac{2}{3}}+1$
$={\displaystyle \frac{2}{3}}+{\displaystyle \frac{3}{3}}$
$={\displaystyle \frac{5}{3}}$
$=\mathrm{1,}\bar{6}$
Los dos caminos dan lo mismo: ${\displaystyle \frac{5}{3}}=\mathrm{1,}\bar{6}$.


$\mathbf{\text{g)}}$ 1.º En decimal: escribimos cinco cifras decimales de cada número periódico (en la calculadora, todas las que quepan) y operamos:
$\mathrm{0,55555}-\mathrm{0,15}+\mathrm{1,23333}=\mathrm{1,63888}\approx \mathrm{1,6389}$
Sale aproximado, porque hemos cortado los períodos; el valor exacto es $\mathrm{1,63}\bar{8}$.
2.º Con fracciones generatrices. Pasamos cada decimal a su fracción con la regla de la fracción generatriz:
$\mathrm{0,}\bar{5}={\displaystyle \frac{5}{9}}$
$\mathrm{0,15}={\displaystyle \frac{15}{100}}={\displaystyle \frac{3}{20}}$
$\mathrm{1,2}\bar{3}={\displaystyle \frac{123-12}{90}}={\displaystyle \frac{111}{90}}={\displaystyle \frac{37}{30}}$
Sustituimos y operamos con las fracciones, paso a paso:
$\mathrm{0,}\bar{5}-\mathrm{0,15}+\mathrm{1,2}\bar{3}$
$={\displaystyle \frac{5}{9}}-{\displaystyle \frac{3}{20}}+{\displaystyle \frac{37}{30}}$
$={\displaystyle \frac{100}{180}}-{\displaystyle \frac{27}{180}}+{\displaystyle \frac{222}{180}}$
$={\displaystyle \frac{295}{180}}$
$={\displaystyle \frac{59}{36}}$
$=\mathrm{1,63}\bar{8}$
Los dos caminos dan lo mismo: ${\displaystyle \frac{59}{36}}=\mathrm{1,63}\bar{8}$.


$\mathbf{\text{h)}}$ 1.º En decimal: escribimos cinco cifras decimales de cada número periódico (en la calculadora, todas las que quepan) y operamos:
$\mathrm{1,22222}+\mathrm{1,17777}\cdot \mathrm{0,1}=\mathrm{1,339997}\approx \mathrm{1,34}$
2.º Con fracciones generatrices. Pasamos cada decimal a su fracción con la regla de la fracción generatriz:
$\mathrm{1,}\bar{2}={\displaystyle \frac{12-1}{9}}={\displaystyle \frac{11}{9}}$
$\mathrm{1,1}\bar{7}={\displaystyle \frac{117-11}{90}}={\displaystyle \frac{106}{90}}={\displaystyle \frac{53}{45}}$
$\mathrm{0,1}={\displaystyle \frac{1}{10}}$
Sustituimos y operamos con las fracciones, paso a paso:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{b}}\cdot {\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a\cdot c}{b\cdot d}}}}$
$\mathrm{1,}\bar{2}+\mathrm{1,1}\bar{7}\cdot \mathrm{0,1}$
$={\displaystyle \frac{11}{9}}+{\displaystyle \frac{53}{45}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{10}}$
$={\displaystyle \frac{11}{9}}+{\displaystyle \frac{53\cdot 1}{45\cdot 10}}$
$={\displaystyle \frac{11}{9}}+{\displaystyle \frac{53}{450}}$
$={\displaystyle \frac{550}{450}}+{\displaystyle \frac{53}{450}}$
$={\displaystyle \frac{603}{450}}$
$={\displaystyle \frac{67}{50}}$
$=\mathrm{1,34}$
Los dos caminos dan lo mismo: ${\displaystyle \frac{67}{50}}=\mathrm{1,34}$.