Ejercicio resuelto de Números reales · Matemáticas 4 ESO

Indicar cuál es el menor conjunto numérico al que pertenecen los siguientes números ($\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$ o $\mathbb{I}$); en caso de ser $\mathbb{Q}$ o $\mathbb{I}$, razonar el porqué:
${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$, $\sqrt{3}$, $\sqrt{4}$, $\mathrm{0,0015}$, $-10$, ${\displaystyle \frac{5}{6}}$, $\mathrm{2,}\bar{3}$, $\mathrm{2,020020002}\dots$

$\mathbf{\text{1.}}$ ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ es irracional ($\mathbb{I}$): $\pi$ es irracional y la mitad de un irracional sigue siendo irracional: si ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ fuera una fracción de enteros, $\pi =2\cdot {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ también lo sería.


$\mathbf{\text{2.}}$ $\sqrt{3}$ es irracional ($\mathbb{I}$): 3 no es un cuadrado perfecto ($1^2=1<3<4=2^2$): su raíz no es entera ni fracción, y su expresión decimal no tiene período.


$\mathbf{\text{3.}}$ $\sqrt{4}$ es natural ($\mathbb{N}$): porque $\sqrt{4}=2$, que es un número natural.


$\mathbf{\text{4.}}$ $\mathrm{0,0015}$ es racional ($\mathbb{Q}$): es un decimal exacto, así que tiene fracción generatriz: $\mathrm{0,0015}={\displaystyle \frac{15}{10000}}={\displaystyle \frac{3}{2000}}$. No es entero, así que el menor conjunto es $\mathbb{Q}$.


$\mathbf{\text{5.}}$ $-10$ es entero ($\mathbb{Z}$): es un entero negativo: no es natural, y el menor conjunto que lo contiene es $\mathbb{Z}$.


$\mathbf{\text{6.}}$ ${\displaystyle \frac{5}{6}}$ es racional ($\mathbb{Q}$): es un cociente de enteros que no es entero; su expresión decimal es periódica: ${\displaystyle \frac{5}{6}}=\mathrm{0,8}\bar{3}$.


$\mathbf{\text{7.}}$ $\mathrm{2,}\bar{3}$ es racional ($\mathbb{Q}$): es un decimal periódico, así que tiene fracción generatriz: $\mathrm{2,}\bar{3}={\displaystyle \frac{23-2}{9}}={\displaystyle \frac{21}{9}}={\displaystyle \frac{7}{3}}$.


$\mathbf{\text{8.}}$ $\mathrm{2,020020002}\dots$ es irracional ($\mathbb{I}$): las cifras siguen un patrón (cada 2 va seguido de un cero más que el anterior) pero ningún bloque se repite indefinidamente: no es exacto ni periódico, así que es irracional.