Ejercicio resuelto de Números reales · Matemáticas 4 ESO

Rellenar la siguiente tabla (véase el primer ejemplo). En cada fila se da una de las tres formas de expresar un conjunto de números reales (representación gráfica, intervalo o definición matemática) y hay que completar las otras dos.

Ejemplo resuelto (fila 1):

Intervalo: $[-1,3]$. Definición matemática: $\{x\in \mathbb{R}\mathrm{/}-1\le x\le 3\}$.

a) Intervalo: $(-1,5)$
b) Definición matemática: $\{x\in \mathbb{R}\mathrm{/}x\le 0\}$
c) Intervalo: $[{\displaystyle \frac{2}{3}},\mathrm{\infty })$
d) Definición matemática: $\{x\in \mathbb{R}\mathrm{/}-2<x\le 2\}$
e) Definición matemática: $\{x\in \mathbb{R}\mathrm{/}\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }<3\}$
f) Definición matemática: $\{x\in \mathbb{R}\mathrm{/}\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\ge 3\}$
g) Representación gráfica:

h) Intervalo: $[-1,1]$

$\mathbf{\text{a)}}$ Leemos el intervalo: el extremo izquierdo, $-1$, está excluido: paréntesis, desigualdad estricta y punto hueco; el extremo derecho, $5$, está excluido: paréntesis, desigualdad estricta y punto hueco.
Definición matemática (la desigualdad que cumplen los puntos):
$\boxed{{\displaystyle [a,b)=\{x\in \mathbb{R}\mathrm{/}a\le x<b\}}}$
$(-1,5)=\{x\in \mathbb{R}\mathrm{/}-1<x<5\}$
Representación gráfica:



$\mathbf{\text{b)}}$ Leemos la desigualdad: por la izquierda sigue hasta el infinito: paréntesis, y en la gráfica una flecha; el extremo derecho, $0$, está incluido: corchete, desigualdad no estricta y punto relleno.
Intervalo:
$\boxed{{\displaystyle [a,b)=\{x\in \mathbb{R}\mathrm{/}a\le x<b\}}}$
$\{x\in \mathbb{R}\mathrm{/}x\le 0\}=(-\mathrm{\infty },0]$
Representación gráfica:



$\mathbf{\text{c)}}$ Leemos el intervalo: el extremo izquierdo, ${\displaystyle \frac{2}{3}}$, está incluido: corchete, desigualdad no estricta y punto relleno; por la derecha sigue hasta el infinito: paréntesis, y en la gráfica una flecha.
Definición matemática (la desigualdad que cumplen los puntos):
$\boxed{{\displaystyle [a,b)=\{x\in \mathbb{R}\mathrm{/}a\le x<b\}}}$
$[{\displaystyle \frac{2}{3}},\mathrm{\infty })=\{x\in \mathbb{R}\mathrm{/}x\ge {\displaystyle \frac{2}{3}}\}$
Representación gráfica:



$\mathbf{\text{d)}}$ Leemos la desigualdad: el extremo izquierdo, $-2$, está excluido: paréntesis, desigualdad estricta y punto hueco; el extremo derecho, $2$, está incluido: corchete, desigualdad no estricta y punto relleno.
Intervalo:
$\boxed{{\displaystyle [a,b)=\{x\in \mathbb{R}\mathrm{/}a\le x<b\}}}$
$\{x\in \mathbb{R}\mathrm{/}-2<x\le 2\}=(-2,2]$
Representación gráfica:



$\mathbf{\text{e)}}$ El valor absoluto $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$ es la distancia de $x$ al 0, así que $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }<3$ son los puntos que están a menos de 3 unidades del 0, hacia la derecha o hacia la izquierda:
$\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }<3⟺-3<x<3$
Leemos esa desigualdad: el extremo izquierdo, $-3$, está excluido: paréntesis, desigualdad estricta y punto hueco; el extremo derecho, $3$, está excluido: paréntesis, desigualdad estricta y punto hueco.
Intervalo:
$\boxed{{\displaystyle [a,b)=\{x\in \mathbb{R}\mathrm{/}a\le x<b\}}}$
$\{x\in \mathbb{R}\mathrm{/}\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }<3\}=(-3,3)$
Representación gráfica:



$\mathbf{\text{f)}}$ El valor absoluto $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$ es la distancia de $x$ al 0, así que $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\ge 3$ son los puntos que están a 3 unidades o más del 0, hacia la derecha o hacia la izquierda:
$\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\ge 3⟺x\le -3\text{ o }x\ge 3$
Leemos esa desigualdad: por la izquierda sigue hasta el infinito: paréntesis, y en la gráfica una flecha; el extremo derecho, $-3$, está incluido: corchete, desigualdad no estricta y punto relleno. el extremo izquierdo, $3$, está incluido: corchete, desigualdad no estricta y punto relleno; por la derecha sigue hasta el infinito: paréntesis, y en la gráfica una flecha.
Son dos trozos: el conjunto es la unión de dos intervalos.
Intervalo:
$\boxed{{\displaystyle [a,b)=\{x\in \mathbb{R}\mathrm{/}a\le x<b\}}}$
$\{x\in \mathbb{R}\mathrm{/}\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\ge 3\}=(-\mathrm{\infty },-3]\cup [3,\mathrm{\infty })$
Representación gráfica:



$\mathbf{\text{g)}}$ Leemos la gráfica: el extremo izquierdo, $2$, está incluido: corchete, desigualdad no estricta y punto relleno; por la derecha sigue hasta el infinito: paréntesis, y en la gráfica una flecha.
Intervalo:
$\boxed{{\displaystyle [a,b)=\{x\in \mathbb{R}\mathrm{/}a\le x<b\}}}$
$[2,\mathrm{\infty })$
Definición matemática (los mismos extremos, escritos como desigualdad):
$[2,\mathrm{\infty })=\{x\in \mathbb{R}\mathrm{/}x\ge 2\}$


$\mathbf{\text{h)}}$ Leemos el intervalo: el extremo izquierdo, $-1$, está incluido: corchete, desigualdad no estricta y punto relleno; el extremo derecho, $1$, está incluido: corchete, desigualdad no estricta y punto relleno.
Definición matemática (la desigualdad que cumplen los puntos):
$\boxed{{\displaystyle [a,b)=\{x\in \mathbb{R}\mathrm{/}a\le x<b\}}}$
$[-1,1]=\{x\in \mathbb{R}\mathrm{/}-1\le x\le 1\}$
Representación gráfica: