Ejercicio resuelto de Números reales · Matemáticas 4 ESO

Ordenar de menor a mayor los siguientes números, pasándolos previamente a común denominador:

a) ${\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle \frac{3}{4}}{\displaystyle \frac{5}{6}}$
b) ${\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle \frac{3}{5}}{\displaystyle \frac{7}{15}}$
c) ${\displaystyle \frac{1}{5}}{\displaystyle \frac{3}{4}}-{\displaystyle \frac{2}{7}}{\displaystyle \frac{9}{8}}{\displaystyle \frac{6}{5}}{\displaystyle \frac{5}{6}}$

$\mathbf{\text{a)}}$ Descomponemos los denominadores en factores primos para hallar el mínimo común múltiplo. 2 ya es primo.
$4=2^2$
$6=2\cdot 3$
Tomamos cada primo con el mayor exponente con que aparece; el mínimo común múltiplo es
$2^2\cdot 3=12$
Escribimos cada fracción con denominador 12, multiplicando numerador y denominador por el mismo número:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{b}}={\displaystyle \frac{a\cdot k}{b\cdot k}}}}$
${\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{1\cdot 6}{2\cdot 6}}={\displaystyle \frac{6}{12}}$
${\displaystyle \frac{3}{4}}={\displaystyle \frac{3\cdot 3}{4\cdot 3}}={\displaystyle \frac{9}{12}}$
${\displaystyle \frac{5}{6}}={\displaystyle \frac{5\cdot 2}{6\cdot 2}}={\displaystyle \frac{10}{12}}$
Con el mismo denominador basta ordenar los numeradores:
$6<9<10$
Así que, de menor a mayor:
${\displaystyle \frac{6}{12}}<{\displaystyle \frac{9}{12}}<{\displaystyle \frac{10}{12}}$
es decir,
${\displaystyle \frac{1}{2}}<{\displaystyle \frac{3}{4}}<{\displaystyle \frac{5}{6}}$


$\mathbf{\text{b)}}$ Descomponemos los denominadores en factores primos para hallar el mínimo común múltiplo. 2, 5 ya son primos.
$15=3\cdot 5$
Tomamos cada primo con el mayor exponente con que aparece; el mínimo común múltiplo es
$2\cdot 3\cdot 5=30$
Escribimos cada fracción con denominador 30, multiplicando numerador y denominador por el mismo número:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{b}}={\displaystyle \frac{a\cdot k}{b\cdot k}}}}$
${\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{1\cdot 15}{2\cdot 15}}={\displaystyle \frac{15}{30}}$
${\displaystyle \frac{3}{5}}={\displaystyle \frac{3\cdot 6}{5\cdot 6}}={\displaystyle \frac{18}{30}}$
${\displaystyle \frac{7}{15}}={\displaystyle \frac{7\cdot 2}{15\cdot 2}}={\displaystyle \frac{14}{30}}$
Con el mismo denominador basta ordenar los numeradores:
$14<15<18$
Así que, de menor a mayor:
${\displaystyle \frac{14}{30}}<{\displaystyle \frac{15}{30}}<{\displaystyle \frac{18}{30}}$
es decir,
${\displaystyle \frac{7}{15}}<{\displaystyle \frac{1}{2}}<{\displaystyle \frac{3}{5}}$


$\mathbf{\text{c)}}$ Descomponemos los denominadores en factores primos para hallar el mínimo común múltiplo. 5, 7 ya son primos.
$4=2^2$
$6=2\cdot 3$
$8=2^3$
Tomamos cada primo con el mayor exponente con que aparece; el mínimo común múltiplo es
$2^3\cdot 3\cdot 5\cdot 7=840$
Escribimos cada fracción con denominador 840, multiplicando numerador y denominador por el mismo número:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{b}}={\displaystyle \frac{a\cdot k}{b\cdot k}}}}$
${\displaystyle \frac{1}{5}}={\displaystyle \frac{1\cdot 168}{5\cdot 168}}={\displaystyle \frac{168}{840}}$
${\displaystyle \frac{3}{4}}={\displaystyle \frac{3\cdot 210}{4\cdot 210}}={\displaystyle \frac{630}{840}}$
$-{\displaystyle \frac{2}{7}}={\displaystyle \frac{-2\cdot 120}{7\cdot 120}}={\displaystyle \frac{-240}{840}}$
${\displaystyle \frac{9}{8}}={\displaystyle \frac{9\cdot 105}{8\cdot 105}}={\displaystyle \frac{945}{840}}$
${\displaystyle \frac{6}{5}}={\displaystyle \frac{6\cdot 168}{5\cdot 168}}={\displaystyle \frac{1008}{840}}$
${\displaystyle \frac{5}{6}}={\displaystyle \frac{5\cdot 140}{6\cdot 140}}={\displaystyle \frac{700}{840}}$
Con el mismo denominador basta ordenar los numeradores:
$-240<168<630<700<945<1008$
Así que, de menor a mayor:
${\displaystyle \frac{-240}{840}}<{\displaystyle \frac{168}{840}}<{\displaystyle \frac{630}{840}}<{\displaystyle \frac{700}{840}}<{\displaystyle \frac{945}{840}}<{\displaystyle \frac{1008}{840}}$
es decir,
$-{\displaystyle \frac{2}{7}}<{\displaystyle \frac{1}{5}}<{\displaystyle \frac{3}{4}}<{\displaystyle \frac{5}{6}}<{\displaystyle \frac{9}{8}}<{\displaystyle \frac{6}{5}}$