Ejercicio resuelto de Números reales · Matemáticas 4 ESO

Utilizando la regla práctica (si los únicos divisores primos del denominador de una fracción irreducible son el 2 y/o el 5, su expresión decimal es exacta; en caso contrario, es periódica), indicar si las siguientes fracciones conducen a un decimal exacto o periódico. Comprobar el resultado haciendo la división directamente (¡sin usar la calculadora!):

a) ${\displaystyle \frac{16}{9}}$
b) ${\displaystyle \frac{3}{4}}$
c) ${\displaystyle \frac{7}{5}}$
d) ${\displaystyle \frac{23}{20}}$
e) ${\displaystyle \frac{13}{25}}$
f) ${\displaystyle \frac{2}{3}}$
g) ${\displaystyle \frac{3}{7}}$
h) ${\displaystyle \frac{23}{9}}$
i) ${\displaystyle \frac{132}{21}}$
j) ${\displaystyle \frac{7}{6}}$

$\mathbf{\text{a)}}$ Descomponemos el denominador en factores primos:
$9=3^2$
Aparece el factor 3, que no es ni 2 ni 5, así que la expresión decimal es periódica.
Comprobación, haciendo la división:
${\displaystyle \frac{16}{9}}=\mathrm{1,}\bar{7}$
La división no termina: los restos se repiten y aparece el período 7.


$\mathbf{\text{b)}}$ Descomponemos el denominador en factores primos:
$4=2^2$
Solo aparecen el 2 y el 5, así que la expresión decimal es exacta.
Comprobación, haciendo la división:
${\displaystyle \frac{3}{4}}=\mathrm{0,75}$
La división termina: decimal exacto con 2 cifras decimales.


$\mathbf{\text{c)}}$ El denominador 5 es primo.
Solo aparecen el 2 y el 5, así que la expresión decimal es exacta.
Comprobación, haciendo la división:
${\displaystyle \frac{7}{5}}=\mathrm{1,4}$
La división termina: decimal exacto con 1 cifra decimal.


$\mathbf{\text{d)}}$ Descomponemos el denominador en factores primos:
$20=2^2\cdot 5$
Solo aparecen el 2 y el 5, así que la expresión decimal es exacta.
Comprobación, haciendo la división:
${\displaystyle \frac{23}{20}}=\mathrm{1,15}$
La división termina: decimal exacto con 2 cifras decimales.


$\mathbf{\text{e)}}$ Descomponemos el denominador en factores primos:
$25=5^2$
Solo aparecen el 2 y el 5, así que la expresión decimal es exacta.
Comprobación, haciendo la división:
${\displaystyle \frac{13}{25}}=\mathrm{0,52}$
La división termina: decimal exacto con 2 cifras decimales.


$\mathbf{\text{f)}}$ El denominador 3 es primo, y no es ni 2 ni 5.
Aparece el factor 3, que no es ni 2 ni 5, así que la expresión decimal es periódica.
Comprobación, haciendo la división:
${\displaystyle \frac{2}{3}}=\mathrm{0,}\bar{6}$
La división no termina: los restos se repiten y aparece el período 6.


$\mathbf{\text{g)}}$ El denominador 7 es primo, y no es ni 2 ni 5.
Aparece el factor 7, que no es ni 2 ni 5, así que la expresión decimal es periódica.
Comprobación, haciendo la división:
${\displaystyle \frac{3}{7}}=\mathrm{0,}\overline{428571}$
La división no termina: los restos se repiten y aparece el período 428571.


$\mathbf{\text{h)}}$ Descomponemos el denominador en factores primos:
$9=3^2$
Aparece el factor 3, que no es ni 2 ni 5, así que la expresión decimal es periódica.
Comprobación, haciendo la división:
${\displaystyle \frac{23}{9}}=\mathrm{2,}\bar{5}$
La división no termina: los restos se repiten y aparece el período 5.


$\mathbf{\text{i)}}$ Primero simplificamos, porque la regla vale para la fracción irreducible:
${\displaystyle \frac{132}{21}}={\displaystyle \frac{44}{7}}$
El denominador 7 es primo, y no es ni 2 ni 5.
Aparece el factor 7, que no es ni 2 ni 5, así que la expresión decimal es periódica.
Comprobación, haciendo la división:
${\displaystyle \frac{44}{7}}=\mathrm{6,}\overline{285714}$
La división no termina: los restos se repiten y aparece el período 285714.


$\mathbf{\text{j)}}$ Descomponemos el denominador en factores primos:
$6=2\cdot 3$
Aparece el factor 3, que no es ni 2 ni 5, así que la expresión decimal es periódica.
Comprobación, haciendo la división:
${\displaystyle \frac{7}{6}}=\mathrm{1,1}\bar{6}$
La división no termina: los restos se repiten y aparece el período 6, tras el anteperíodo 1.