Ejercicio resuelto de Números reales · Matemáticas 4 ESO

Hallar la fracción generatriz de los siguientes números decimales. Comprobar el resultado con la calculadora:

a) $\mathrm{0,25}$
b) $\mathrm{0,}\bar{6}$
c) $\mathrm{0,2}\bar{3}$
d) $\mathrm{0,12}$
e) $\mathrm{0,1}\bar{2}$
f) $\mathrm{0,12}\overline{35}$
g) $\mathrm{1,125}$
h) $\mathrm{0,}\overline{126}$

$\mathbf{\text{a)}}$ Es un decimal exacto con 2 cifras decimales: el numerador es el número sin la coma y el denominador la unidad seguida de 2 ceros. Después simplificamos:
$\mathrm{0,25}={\displaystyle \frac{25}{100}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$
Comprobación con la calculadora: al dividir se recupera el número (la pantalla muestra 0,25):
${\displaystyle \frac{1}{4}}=\mathrm{0,25}$


$\mathbf{\text{b)}}$ Es un decimal periódico puro (el período 6 empieza justo después de la coma): llamamos $x$ al número.
$x=\mathrm{0,}\bar{6}$
Multiplicamos por 10 (un 1 seguido de tantos ceros como cifras tiene el período) para que la coma se desplace un período completo:
$10x=\mathrm{6,}\bar{6}$
Los dos números tienen la misma parte decimal, así que al restarlos el período desaparece:
$10x-x=\mathrm{6,}\bar{6}-\mathrm{0,}\bar{6}=6$
Queda una ecuación de primer grado; despejamos y simplificamos:
$9x=6$
$x={\displaystyle \frac{6}{9}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$
Comprobación con la calculadora: al dividir se recupera el número (la pantalla muestra 0,666666666):
${\displaystyle \frac{2}{3}}=\mathrm{0,}\bar{6}$


$\mathbf{\text{c)}}$ Es un decimal periódico mixto: el anteperíodo es 2 y el período 3: llamamos $x$ al número.
$x=\mathrm{0,2}\bar{3}$
Multiplicamos por 100 para dejar la coma al final del primer período, y por 10 para dejarla justo antes del período:
$100x=\mathrm{23,}\bar{3}$
$10x=\mathrm{2,}\bar{3}$
Los dos tienen la misma parte decimal, así que al restarlos el período desaparece:
$100x-10x=\mathrm{23,}\bar{3}-\mathrm{2,}\bar{3}=21$
Queda una ecuación de primer grado; despejamos y simplificamos:
$90x=21$
$x={\displaystyle \frac{21}{90}}={\displaystyle \frac{7}{30}}$
Comprobación con la calculadora: al dividir se recupera el número (la pantalla muestra 0,233333333):
${\displaystyle \frac{7}{30}}=\mathrm{0,2}\bar{3}$


$\mathbf{\text{d)}}$ Es un decimal exacto con 2 cifras decimales: el numerador es el número sin la coma y el denominador la unidad seguida de 2 ceros. Después simplificamos:
$\mathrm{0,12}={\displaystyle \frac{12}{100}}={\displaystyle \frac{3}{25}}$
Comprobación con la calculadora: al dividir se recupera el número (la pantalla muestra 0,12):
${\displaystyle \frac{3}{25}}=\mathrm{0,12}$


$\mathbf{\text{e)}}$ Es un decimal periódico mixto: el anteperíodo es 1 y el período 2: llamamos $x$ al número.
$x=\mathrm{0,1}\bar{2}$
Multiplicamos por 100 para dejar la coma al final del primer período, y por 10 para dejarla justo antes del período:
$100x=\mathrm{12,}\bar{2}$
$10x=\mathrm{1,}\bar{2}$
Los dos tienen la misma parte decimal, así que al restarlos el período desaparece:
$100x-10x=\mathrm{12,}\bar{2}-\mathrm{1,}\bar{2}=11$
Queda una ecuación de primer grado; despejamos y simplificamos:
$90x=11$
$x={\displaystyle \frac{11}{90}}$
Comprobación con la calculadora: al dividir se recupera el número (la pantalla muestra 0,122222222):
${\displaystyle \frac{11}{90}}=\mathrm{0,1}\bar{2}$


$\mathbf{\text{f)}}$ Es un decimal periódico mixto: el anteperíodo es 12 y el período 35: llamamos $x$ al número.
$x=\mathrm{0,12}\overline{35}$
Multiplicamos por 10000 para dejar la coma al final del primer período, y por 100 para dejarla justo antes del período:
$10000x=\mathrm{1235,}\overline{35}$
$100x=\mathrm{12,}\overline{35}$
Los dos tienen la misma parte decimal, así que al restarlos el período desaparece:
$10000x-100x=\mathrm{1235,}\overline{35}-\mathrm{12,}\overline{35}=1223$
Queda una ecuación de primer grado; despejamos y simplificamos:
$9900x=1223$
$x={\displaystyle \frac{1223}{9900}}$
Comprobación con la calculadora: al dividir se recupera el número (la pantalla muestra 0,123535353):
${\displaystyle \frac{1223}{9900}}=\mathrm{0,12}\overline{35}$


$\mathbf{\text{g)}}$ Es un decimal exacto con 3 cifras decimales: el numerador es el número sin la coma y el denominador la unidad seguida de 3 ceros. Después simplificamos:
$\mathrm{1,125}={\displaystyle \frac{1125}{1000}}={\displaystyle \frac{9}{8}}$
Comprobación con la calculadora: al dividir se recupera el número (la pantalla muestra 1,125):
${\displaystyle \frac{9}{8}}=\mathrm{1,125}$


$\mathbf{\text{h)}}$ Es un decimal periódico puro (el período 126 empieza justo después de la coma): llamamos $x$ al número.
$x=\mathrm{0,}\overline{126}$
Multiplicamos por 1000 (un 1 seguido de tantos ceros como cifras tiene el período) para que la coma se desplace un período completo:
$1000x=\mathrm{126,}\overline{126}$
Los dos números tienen la misma parte decimal, así que al restarlos el período desaparece:
$1000x-x=\mathrm{126,}\overline{126}-\mathrm{0,}\overline{126}=126$
Queda una ecuación de primer grado; despejamos y simplificamos:
$999x=126$
$x={\displaystyle \frac{126}{999}}={\displaystyle \frac{14}{111}}$
Comprobación con la calculadora: al dividir se recupera el número (la pantalla muestra 0,126126126):
${\displaystyle \frac{14}{111}}=\mathrm{0,}\overline{126}$