Ejercicio resuelto de Números reales · Matemáticas 4 ESO

Realizar las siguientes operaciones de dos formas distintas, y comprobar que se obtiene idéntico resultado:
1.º Operando directamente en forma decimal (en las operaciones largas, utilizar la calculadora).
2.º Pasando previamente a fracción generatriz y operando a continuación las fracciones resultantes.

a) $\mathrm{4,5}\cdot \mathrm{0,0}\bar{2}+\mathrm{0,}\bar{4}=$
b) $(\mathrm{1,}\bar{1}+\mathrm{1,0}\bar{8})\cdot \mathrm{2,2}=$
c) $\mathrm{1,}\bar{2}+\mathrm{1,1}\bar{7}+\mathrm{1,6}=$
d) $\mathrm{0,}\bar{6}:\mathrm{0,0}\bar{5}+\mathrm{0,25}=$
e) $\mathrm{1,1}\bar{3}\cdot \mathrm{0,2}+\mathrm{1,}\bar{3}$
f) $\mathrm{3,5}+\mathrm{1,}\bar{3}\cdot \mathrm{1,1}\bar{6}=$
g) $\mathrm{1,25}-\mathrm{1,1}\bar{6}+\mathrm{1,}\bar{1}=$
h) $\mathrm{2,}\bar{7}\cdot \mathrm{1,8}+\mathrm{2,}\overline{26}:\mathrm{0,1}\overline{13}=$

$\mathbf{\text{a)}}$ 1.º En decimal: escribimos cinco cifras decimales de cada número periódico (en la calculadora, todas las que quepan) y operamos:
$\mathrm{4,5}\cdot \mathrm{0,02222}+\mathrm{0,44444}=\mathrm{0,54443}\approx \mathrm{0,5444}$
Sale aproximado, porque hemos cortado los períodos; el valor exacto es $\mathrm{0,5}\bar{4}$.
2.º Con fracciones generatrices. Pasamos cada decimal a su fracción con la regla de la fracción generatriz:
$\mathrm{4,5}={\displaystyle \frac{45}{10}}={\displaystyle \frac{9}{2}}$
$\mathrm{0,0}\bar{2}={\displaystyle \frac{2}{90}}={\displaystyle \frac{1}{45}}$
$\mathrm{0,}\bar{4}={\displaystyle \frac{4}{9}}$
Sustituimos y operamos con las fracciones, paso a paso:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{b}}\cdot {\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a\cdot c}{b\cdot d}}}}$
$\mathrm{4,5}\cdot \mathrm{0,0}\bar{2}+\mathrm{0,}\bar{4}$
$={\displaystyle \frac{9}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{45}}+{\displaystyle \frac{4}{9}}$
$={\displaystyle \frac{9\cdot 1}{2\cdot 45}}+{\displaystyle \frac{4}{9}}$
$={\displaystyle \frac{9}{90}}+{\displaystyle \frac{4}{9}}$
$={\displaystyle \frac{1}{10}}+{\displaystyle \frac{4}{9}}$
$={\displaystyle \frac{9}{90}}+{\displaystyle \frac{40}{90}}$
$={\displaystyle \frac{49}{90}}$
$=\mathrm{0,5}\bar{4}$
Los dos caminos dan lo mismo: ${\displaystyle \frac{49}{90}}=\mathrm{0,5}\bar{4}$.


$\mathbf{\text{b)}}$ 1.º En decimal: escribimos cinco cifras decimales de cada número periódico (en la calculadora, todas las que quepan) y operamos:
$(\mathrm{1,11111}+\mathrm{1,08888})\cdot \mathrm{2,2}=\mathrm{4,839978}\approx \mathrm{4,84}$
2.º Con fracciones generatrices. Pasamos cada decimal a su fracción con la regla de la fracción generatriz:
$\mathrm{1,}\bar{1}={\displaystyle \frac{11-1}{9}}={\displaystyle \frac{10}{9}}$
$\mathrm{1,0}\bar{8}={\displaystyle \frac{108-10}{90}}={\displaystyle \frac{98}{90}}={\displaystyle \frac{49}{45}}$
$\mathrm{2,2}={\displaystyle \frac{22}{10}}={\displaystyle \frac{11}{5}}$
Sustituimos y operamos con las fracciones, paso a paso:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{b}}\cdot {\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a\cdot c}{b\cdot d}}}}$
$(\mathrm{1,}\bar{1}+\mathrm{1,0}\bar{8})\cdot \mathrm{2,2}$
$=({\displaystyle \frac{10}{9}}+{\displaystyle \frac{49}{45}})\cdot {\displaystyle \frac{11}{5}}$
$=({\displaystyle \frac{50}{45}}+{\displaystyle \frac{49}{45}})\cdot {\displaystyle \frac{11}{5}}$
$={\displaystyle \frac{99}{45}}\cdot {\displaystyle \frac{11}{5}}$
$={\displaystyle \frac{11}{5}}\cdot {\displaystyle \frac{11}{5}}$
$={\displaystyle \frac{11\cdot 11}{5\cdot 5}}$
$={\displaystyle \frac{121}{25}}$
$=\mathrm{4,84}$
Los dos caminos dan lo mismo: ${\displaystyle \frac{121}{25}}=\mathrm{4,84}$.


$\mathbf{\text{c)}}$ 1.º En decimal: escribimos cinco cifras decimales de cada número periódico (en la calculadora, todas las que quepan) y operamos:
$\mathrm{1,22222}+\mathrm{1,17777}+\mathrm{1,6}=\mathrm{3,99999}\approx 4$
2.º Con fracciones generatrices. Pasamos cada decimal a su fracción con la regla de la fracción generatriz:
$\mathrm{1,}\bar{2}={\displaystyle \frac{12-1}{9}}={\displaystyle \frac{11}{9}}$
$\mathrm{1,1}\bar{7}={\displaystyle \frac{117-11}{90}}={\displaystyle \frac{106}{90}}={\displaystyle \frac{53}{45}}$
$\mathrm{1,6}={\displaystyle \frac{16}{10}}={\displaystyle \frac{8}{5}}$
Sustituimos y operamos con las fracciones, paso a paso:
$\mathrm{1,}\bar{2}+\mathrm{1,1}\bar{7}+\mathrm{1,6}$
$={\displaystyle \frac{11}{9}}+{\displaystyle \frac{53}{45}}+{\displaystyle \frac{8}{5}}$
$={\displaystyle \frac{55}{45}}+{\displaystyle \frac{53}{45}}+{\displaystyle \frac{72}{45}}$
$={\displaystyle \frac{180}{45}}$
$=4$
Los dos caminos dan lo mismo: $4$.


$\mathbf{\text{d)}}$ 1.º En decimal: escribimos cinco cifras decimales de cada número periódico (en la calculadora, todas las que quepan) y operamos:
$\mathrm{0,66666}:\mathrm{0,05555}+\mathrm{0,25}\approx \mathrm{12,25}$
2.º Con fracciones generatrices. Pasamos cada decimal a su fracción con la regla de la fracción generatriz:
$\mathrm{0,}\bar{6}={\displaystyle \frac{6}{9}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$
$\mathrm{0,0}\bar{5}={\displaystyle \frac{5}{90}}={\displaystyle \frac{1}{18}}$
$\mathrm{0,25}={\displaystyle \frac{25}{100}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$
Sustituimos y operamos con las fracciones, paso a paso:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{b}}:{\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a\cdot d}{b\cdot c}}}}$
$\mathrm{0,}\bar{6}:\mathrm{0,0}\bar{5}+\mathrm{0,25}$
$={\displaystyle \frac{2}{3}}:{\displaystyle \frac{1}{18}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}$
$={\displaystyle \frac{2\cdot 18}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}$
$={\displaystyle \frac{36}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}$
$=12+{\displaystyle \frac{1}{4}}$
$={\displaystyle \frac{48}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}$
$={\displaystyle \frac{49}{4}}$
$=\mathrm{12,25}$
Los dos caminos dan lo mismo: ${\displaystyle \frac{49}{4}}=\mathrm{12,25}$.


$\mathbf{\text{e)}}$ 1.º En decimal: escribimos cinco cifras decimales de cada número periódico (en la calculadora, todas las que quepan) y operamos:
$\mathrm{1,13333}\cdot \mathrm{0,2}+\mathrm{1,33333}=\mathrm{1,559996}\approx \mathrm{1,56}$
2.º Con fracciones generatrices. Pasamos cada decimal a su fracción con la regla de la fracción generatriz:
$\mathrm{1,1}\bar{3}={\displaystyle \frac{113-11}{90}}={\displaystyle \frac{102}{90}}={\displaystyle \frac{17}{15}}$
$\mathrm{0,2}={\displaystyle \frac{2}{10}}={\displaystyle \frac{1}{5}}$
$\mathrm{1,}\bar{3}={\displaystyle \frac{13-1}{9}}={\displaystyle \frac{12}{9}}={\displaystyle \frac{4}{3}}$
Sustituimos y operamos con las fracciones, paso a paso:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{b}}\cdot {\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a\cdot c}{b\cdot d}}}}$
$\mathrm{1,1}\bar{3}\cdot \mathrm{0,2}+\mathrm{1,}\bar{3}$
$={\displaystyle \frac{17}{15}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{5}}+{\displaystyle \frac{4}{3}}$
$={\displaystyle \frac{17\cdot 1}{15\cdot 5}}+{\displaystyle \frac{4}{3}}$
$={\displaystyle \frac{17}{75}}+{\displaystyle \frac{4}{3}}$
$={\displaystyle \frac{17}{75}}+{\displaystyle \frac{100}{75}}$
$={\displaystyle \frac{117}{75}}$
$={\displaystyle \frac{39}{25}}$
$=\mathrm{1,56}$
Los dos caminos dan lo mismo: ${\displaystyle \frac{39}{25}}=\mathrm{1,56}$.


$\mathbf{\text{f)}}$ 1.º En decimal: escribimos cinco cifras decimales de cada número periódico (en la calculadora, todas las que quepan) y operamos:
$\mathrm{3,5}+\mathrm{1,33333}\cdot \mathrm{1,16666}\approx \mathrm{5,0556}$
Sale aproximado, porque hemos cortado los períodos; el valor exacto es $\mathrm{5,0}\bar{5}$.
2.º Con fracciones generatrices. Pasamos cada decimal a su fracción con la regla de la fracción generatriz:
$\mathrm{3,5}={\displaystyle \frac{35}{10}}={\displaystyle \frac{7}{2}}$
$\mathrm{1,}\bar{3}={\displaystyle \frac{13-1}{9}}={\displaystyle \frac{12}{9}}={\displaystyle \frac{4}{3}}$
$\mathrm{1,1}\bar{6}={\displaystyle \frac{116-11}{90}}={\displaystyle \frac{105}{90}}={\displaystyle \frac{7}{6}}$
Sustituimos y operamos con las fracciones, paso a paso:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{b}}\cdot {\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a\cdot c}{b\cdot d}}}}$
$\mathrm{3,5}+\mathrm{1,}\bar{3}\cdot \mathrm{1,1}\bar{6}$
$={\displaystyle \frac{7}{2}}+{\displaystyle \frac{4}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{7}{6}}$
$={\displaystyle \frac{7}{2}}+{\displaystyle \frac{4\cdot 7}{3\cdot 6}}$
$={\displaystyle \frac{7}{2}}+{\displaystyle \frac{28}{18}}$
$={\displaystyle \frac{7}{2}}+{\displaystyle \frac{14}{9}}$
$={\displaystyle \frac{63}{18}}+{\displaystyle \frac{28}{18}}$
$={\displaystyle \frac{91}{18}}$
$=\mathrm{5,0}\bar{5}$
Los dos caminos dan lo mismo: ${\displaystyle \frac{91}{18}}=\mathrm{5,0}\bar{5}$.


$\mathbf{\text{g)}}$ 1.º En decimal: escribimos cinco cifras decimales de cada número periódico (en la calculadora, todas las que quepan) y operamos:
$\mathrm{1,25}-\mathrm{1,16666}+\mathrm{1,11111}=\mathrm{1,19445}\approx \mathrm{1,1944}$
Sale aproximado, porque hemos cortado los períodos; el valor exacto es $\mathrm{1,19}\bar{4}$.
2.º Con fracciones generatrices. Pasamos cada decimal a su fracción con la regla de la fracción generatriz:
$\mathrm{1,25}={\displaystyle \frac{125}{100}}={\displaystyle \frac{5}{4}}$
$\mathrm{1,1}\bar{6}={\displaystyle \frac{116-11}{90}}={\displaystyle \frac{105}{90}}={\displaystyle \frac{7}{6}}$
$\mathrm{1,}\bar{1}={\displaystyle \frac{11-1}{9}}={\displaystyle \frac{10}{9}}$
Sustituimos y operamos con las fracciones, paso a paso:
$\mathrm{1,25}-\mathrm{1,1}\bar{6}+\mathrm{1,}\bar{1}$
$={\displaystyle \frac{5}{4}}-{\displaystyle \frac{7}{6}}+{\displaystyle \frac{10}{9}}$
$={\displaystyle \frac{45}{36}}-{\displaystyle \frac{42}{36}}+{\displaystyle \frac{40}{36}}$
$={\displaystyle \frac{43}{36}}$
$=\mathrm{1,19}\bar{4}$
Los dos caminos dan lo mismo: ${\displaystyle \frac{43}{36}}=\mathrm{1,19}\bar{4}$.


$\mathbf{\text{h)}}$ 1.º En decimal: escribimos cinco cifras decimales de cada número periódico (en la calculadora, todas las que quepan) y operamos:
$\mathrm{2,77777}\cdot \mathrm{1,8}+\mathrm{2,26262}:\mathrm{0,11313}\approx 25$
2.º Con fracciones generatrices. Pasamos cada decimal a su fracción con la regla de la fracción generatriz:
$\mathrm{2,}\bar{7}={\displaystyle \frac{27-2}{9}}={\displaystyle \frac{25}{9}}$
$\mathrm{1,8}={\displaystyle \frac{18}{10}}={\displaystyle \frac{9}{5}}$
$\mathrm{2,}\overline{26}={\displaystyle \frac{226-2}{99}}={\displaystyle \frac{224}{99}}$
$\mathrm{0,1}\overline{13}={\displaystyle \frac{113-1}{990}}={\displaystyle \frac{112}{990}}={\displaystyle \frac{56}{495}}$
Sustituimos y operamos con las fracciones, paso a paso:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{b}}\cdot {\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a\cdot c}{b\cdot d}}{\displaystyle \frac{a}{b}}:{\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a\cdot d}{b\cdot c}}}}$
$\mathrm{2,}\bar{7}\cdot \mathrm{1,8}+\mathrm{2,}\overline{26}:\mathrm{0,1}\overline{13}$
$={\displaystyle \frac{25}{9}}\cdot {\displaystyle \frac{9}{5}}+{\displaystyle \frac{224}{99}}:{\displaystyle \frac{56}{495}}$
$={\displaystyle \frac{25\cdot 9}{9\cdot 5}}+{\displaystyle \frac{224}{99}}:{\displaystyle \frac{56}{495}}$
$={\displaystyle \frac{225}{45}}+{\displaystyle \frac{224}{99}}:{\displaystyle \frac{56}{495}}$
$=5+{\displaystyle \frac{224}{99}}:{\displaystyle \frac{56}{495}}$
$=5+{\displaystyle \frac{224\cdot 495}{99\cdot 56}}$
$=5+{\displaystyle \frac{110880}{5544}}$
$=5+20$
$=25$
Los dos caminos dan lo mismo: $25$.