Ejercicio resuelto de Números reales · Matemáticas 4 ESO

¿Verdadero o falso? Razonar la respuesta:

a) Todo número real es racional.
b) Todo número natural es entero.
c) Todo número entero es racional.
d) Siempre que multiplicamos dos números racionales obtenemos otro racional.
e) Siempre que multiplicamos dos números irracionales obtenemos otro irracional.
f) Entre dos números racionales existe siempre un racional.
g) Entre dos números reales existe siempre un racional.
h) Entre dos números reales existe siempre un real.
i) Dado un número real, podemos establecer su siguiente.

$\mathbf{\text{a)}}$ Falso. Los reales son los racionales junto con los irracionales, y hay reales que no son racionales: $\sqrt{2}$ es real (mide la diagonal de un cuadrado de lado 1) y su expresión decimal no es exacta ni periódica:
$\sqrt{2}\approx \mathrm{1,4142}$
Basta un contraejemplo para que la afirmación sea falsa.


$\mathbf{\text{b)}}$ Verdadero. Los enteros son los naturales, sus opuestos y el cero: $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}$. Por ejemplo, 7 es natural y también es entero.


$\mathbf{\text{c)}}$ Verdadero. Un entero se puede escribir como cociente de enteros con denominador 1:
$-3={\displaystyle \frac{-3}{1}}$
así que $\mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}$.


$\mathbf{\text{d)}}$ Verdadero. El producto de dos fracciones de enteros es otra fracción de enteros (numerador por numerador y denominador por denominador):
${\displaystyle \frac{a}{b}}\cdot {\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a\cdot c}{b\cdot d}}$
Por ejemplo:
${\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{5}{7}}={\displaystyle \frac{10}{21}}$


$\mathbf{\text{e)}}$ Falso. Puede salir racional: $\sqrt{2}$ es irracional y
$\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=2$
que es entero. Otro ejemplo:
$\sqrt{2}\cdot \sqrt{8}=\sqrt{16}=4$


$\mathbf{\text{f)}}$ Verdadero. La media aritmética de dos racionales es racional (suma de fracciones dividida entre 2) y está entre los dos. Por ejemplo, entre ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ y ${\displaystyle \frac{1}{2}}$:
${\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{2}})={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{5}{6}}={\displaystyle \frac{5}{12}}$
${\displaystyle \frac{1}{3}}<{\displaystyle \frac{5}{12}}<{\displaystyle \frac{1}{2}}$
Y como esto se puede repetir siempre, entre dos racionales hay infinitos racionales: se dice que $\mathbb{Q}$ es denso.


$\mathbf{\text{g)}}$ Verdadero. Dados dos reales distintos, sus expresiones decimales empiezan a diferenciarse en alguna cifra; cortando ahí uno de ellos y ajustando la cifra se obtiene un decimal exacto (que es racional) situado entre los dos. Por ejemplo, entre $\sqrt{2}$ y $\mathrm{1,4143}$:
$\sqrt{2}<\mathrm{1,41425}<\mathrm{1,4143}$


$\mathbf{\text{h)}}$ Verdadero. La media aritmética de dos reales es real y está entre los dos; repitiendo, hay infinitos: $\mathbb{R}$ también es denso.


$\mathbf{\text{i)}}$ Falso. Los naturales sí tienen siguiente (después del 7 va el 8), pero los reales no: si $y$ fuera el siguiente de $x$, la media
${\displaystyle \frac{x+y}{2}}$
sería un real mayor que $x$ y menor que $y$, es decir, estaría entre los dos, y entonces $y$ no sería el siguiente. Ningún real tiene siguiente.