Ejercicio resuelto de Números reales · Matemáticas 4 ESO

Realizar las siguientes operaciones de dos formas distintas, y comprobar que se obtiene idéntico resultado:
1.º Operando directamente en forma decimal (en las operaciones largas, utilizar la calculadora).
2.º Pasando previamente a fracción generatriz y operando a continuación las fracciones resultantes.

a) $\mathrm{0,}\bar{3}+\mathrm{0,}\bar{6}=$
b) $\mathrm{0,3}-\mathrm{0,}\overline{15}=$
c) $\mathrm{3,4}\bar{1}+\mathrm{2,37}\bar{8}=$
d) $\mathrm{0,}\bar{4}\cdot \mathrm{0,1}=$
e) $\mathrm{3,}\bar{1}+\mathrm{2,0}\bar{3}=$
f) $\mathrm{0,}\bar{3}+\mathrm{0,1}\bar{6}=$
g) $4\cdot \mathrm{2,}\bar{5}=$
h) $\mathrm{4,}\overline{89}-\mathrm{3,}\overline{78}=$
i) $8-\mathrm{2,}\bar{7}=$

$\mathbf{\text{a)}}$ 1.º En decimal: escribimos cinco cifras decimales de cada número periódico (en la calculadora, todas las que quepan) y operamos:
$\mathrm{0,33333}+\mathrm{0,66666}=\mathrm{0,99999}\approx 1$
2.º Con fracciones generatrices. Pasamos cada decimal a su fracción con la regla de la fracción generatriz:
$\mathrm{0,}\bar{3}={\displaystyle \frac{3}{9}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$
$\mathrm{0,}\bar{6}={\displaystyle \frac{6}{9}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$
Sustituimos y operamos con las fracciones, paso a paso:
$\mathrm{0,}\bar{3}+\mathrm{0,}\bar{6}$
$={\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{2}{3}}$
$={\displaystyle \frac{3}{3}}$
$=1$
Los dos caminos dan lo mismo: $1$.


$\mathbf{\text{b)}}$ 1.º En decimal: escribimos cinco cifras decimales de cada número periódico (en la calculadora, todas las que quepan) y operamos:
$\mathrm{0,3}-\mathrm{0,15151}=\mathrm{0,14849}\approx \mathrm{0,1485}$
Sale aproximado, porque hemos cortado los períodos; el valor exacto es $\mathrm{0,1}\overline{48}$.
2.º Con fracciones generatrices. Pasamos cada decimal a su fracción con la regla de la fracción generatriz:
$\mathrm{0,3}={\displaystyle \frac{3}{10}}$
$\mathrm{0,}\overline{15}={\displaystyle \frac{15}{99}}={\displaystyle \frac{5}{33}}$
Sustituimos y operamos con las fracciones, paso a paso:
$\mathrm{0,3}-\mathrm{0,}\overline{15}$
$={\displaystyle \frac{3}{10}}-{\displaystyle \frac{5}{33}}$
$={\displaystyle \frac{99}{330}}-{\displaystyle \frac{50}{330}}$
$={\displaystyle \frac{49}{330}}$
$=\mathrm{0,1}\overline{48}$
Los dos caminos dan lo mismo: ${\displaystyle \frac{49}{330}}=\mathrm{0,1}\overline{48}$.


$\mathbf{\text{c)}}$ 1.º En decimal: escribimos cinco cifras decimales de cada número periódico (en la calculadora, todas las que quepan) y operamos:
$\mathrm{3,41111}+\mathrm{2,37888}=\mathrm{5,78999}\approx \mathrm{5,79}$
2.º Con fracciones generatrices. Pasamos cada decimal a su fracción con la regla de la fracción generatriz:
$\mathrm{3,4}\bar{1}={\displaystyle \frac{341-34}{90}}={\displaystyle \frac{307}{90}}$
$\mathrm{2,37}\bar{8}={\displaystyle \frac{2378-237}{900}}={\displaystyle \frac{2141}{900}}$
Sustituimos y operamos con las fracciones, paso a paso:
$\mathrm{3,4}\bar{1}+\mathrm{2,37}\bar{8}$
$={\displaystyle \frac{307}{90}}+{\displaystyle \frac{2141}{900}}$
$={\displaystyle \frac{3070}{900}}+{\displaystyle \frac{2141}{900}}$
$={\displaystyle \frac{5211}{900}}$
$={\displaystyle \frac{579}{100}}$
$=\mathrm{5,79}$
Los dos caminos dan lo mismo: ${\displaystyle \frac{579}{100}}=\mathrm{5,79}$.


$\mathbf{\text{d)}}$ 1.º En decimal: escribimos cinco cifras decimales de cada número periódico (en la calculadora, todas las que quepan) y operamos:
$\mathrm{0,44444}\cdot \mathrm{0,1}=\mathrm{0,044444}\approx \mathrm{0,0444}$
Sale aproximado, porque hemos cortado los períodos; el valor exacto es $\mathrm{0,0}\bar{4}$.
2.º Con fracciones generatrices. Pasamos cada decimal a su fracción con la regla de la fracción generatriz:
$\mathrm{0,}\bar{4}={\displaystyle \frac{4}{9}}$
$\mathrm{0,1}={\displaystyle \frac{1}{10}}$
Sustituimos y operamos con las fracciones, paso a paso:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{b}}\cdot {\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a\cdot c}{b\cdot d}}}}$
$\mathrm{0,}\bar{4}\cdot \mathrm{0,1}$
$={\displaystyle \frac{4}{9}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{10}}$
$={\displaystyle \frac{4\cdot 1}{9\cdot 10}}$
$={\displaystyle \frac{4}{90}}$
$={\displaystyle \frac{2}{45}}$
$=\mathrm{0,0}\bar{4}$
Los dos caminos dan lo mismo: ${\displaystyle \frac{2}{45}}=\mathrm{0,0}\bar{4}$.


$\mathbf{\text{e)}}$ 1.º En decimal: escribimos cinco cifras decimales de cada número periódico (en la calculadora, todas las que quepan) y operamos:
$\mathrm{3,11111}+\mathrm{2,03333}=\mathrm{5,14444}\approx \mathrm{5,1444}$
Sale aproximado, porque hemos cortado los períodos; el valor exacto es $\mathrm{5,1}\bar{4}$.
2.º Con fracciones generatrices. Pasamos cada decimal a su fracción con la regla de la fracción generatriz:
$\mathrm{3,}\bar{1}={\displaystyle \frac{31-3}{9}}={\displaystyle \frac{28}{9}}$
$\mathrm{2,0}\bar{3}={\displaystyle \frac{203-20}{90}}={\displaystyle \frac{183}{90}}={\displaystyle \frac{61}{30}}$
Sustituimos y operamos con las fracciones, paso a paso:
$\mathrm{3,}\bar{1}+\mathrm{2,0}\bar{3}$
$={\displaystyle \frac{28}{9}}+{\displaystyle \frac{61}{30}}$
$={\displaystyle \frac{280}{90}}+{\displaystyle \frac{183}{90}}$
$={\displaystyle \frac{463}{90}}$
$=\mathrm{5,1}\bar{4}$
Los dos caminos dan lo mismo: ${\displaystyle \frac{463}{90}}=\mathrm{5,1}\bar{4}$.


$\mathbf{\text{f)}}$ 1.º En decimal: escribimos cinco cifras decimales de cada número periódico (en la calculadora, todas las que quepan) y operamos:
$\mathrm{0,33333}+\mathrm{0,16666}=\mathrm{0,49999}\approx \mathrm{0,5}$
2.º Con fracciones generatrices. Pasamos cada decimal a su fracción con la regla de la fracción generatriz:
$\mathrm{0,}\bar{3}={\displaystyle \frac{3}{9}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$
$\mathrm{0,1}\bar{6}={\displaystyle \frac{16-1}{90}}={\displaystyle \frac{15}{90}}={\displaystyle \frac{1}{6}}$
Sustituimos y operamos con las fracciones, paso a paso:
$\mathrm{0,}\bar{3}+\mathrm{0,1}\bar{6}$
$={\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}$
$={\displaystyle \frac{2}{6}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}$
$={\displaystyle \frac{3}{6}}$
$={\displaystyle \frac{1}{2}}$
$=\mathrm{0,5}$
Los dos caminos dan lo mismo: ${\displaystyle \frac{1}{2}}=\mathrm{0,5}$.


$\mathbf{\text{g)}}$ 1.º En decimal: escribimos cinco cifras decimales de cada número periódico (en la calculadora, todas las que quepan) y operamos:
$4\cdot \mathrm{2,55555}=\mathrm{10,2222}$
Sale aproximado, porque hemos cortado los períodos; el valor exacto es $\mathrm{10,}\bar{2}$.
2.º Con fracciones generatrices. Pasamos cada decimal a su fracción con la regla de la fracción generatriz:
$\mathrm{2,}\bar{5}={\displaystyle \frac{25-2}{9}}={\displaystyle \frac{23}{9}}$
Sustituimos y operamos con las fracciones, paso a paso:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{b}}\cdot {\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a\cdot c}{b\cdot d}}}}$
$4\cdot \mathrm{2,}\bar{5}$
$=4\cdot {\displaystyle \frac{23}{9}}$
$={\displaystyle \frac{4\cdot 23}{9}}$
$={\displaystyle \frac{92}{9}}$
$=\mathrm{10,}\bar{2}$
Los dos caminos dan lo mismo: ${\displaystyle \frac{92}{9}}=\mathrm{10,}\bar{2}$.


$\mathbf{\text{h)}}$ 1.º En decimal: escribimos cinco cifras decimales de cada número periódico (en la calculadora, todas las que quepan) y operamos:
$\mathrm{4,89898}-\mathrm{3,78787}=\mathrm{1,11111}\approx \mathrm{1,1111}$
Sale aproximado, porque hemos cortado los períodos; el valor exacto es $\mathrm{1,}\bar{1}$.
2.º Con fracciones generatrices. Pasamos cada decimal a su fracción con la regla de la fracción generatriz:
$\mathrm{4,}\overline{89}={\displaystyle \frac{489-4}{99}}={\displaystyle \frac{485}{99}}$
$\mathrm{3,}\overline{78}={\displaystyle \frac{378-3}{99}}={\displaystyle \frac{375}{99}}={\displaystyle \frac{125}{33}}$
Sustituimos y operamos con las fracciones, paso a paso:
$\mathrm{4,}\overline{89}-\mathrm{3,}\overline{78}$
$={\displaystyle \frac{485}{99}}-{\displaystyle \frac{125}{33}}$
$={\displaystyle \frac{485}{99}}-{\displaystyle \frac{375}{99}}$
$={\displaystyle \frac{110}{99}}$
$={\displaystyle \frac{10}{9}}$
$=\mathrm{1,}\bar{1}$
Los dos caminos dan lo mismo: ${\displaystyle \frac{10}{9}}=\mathrm{1,}\bar{1}$.


$\mathbf{\text{i)}}$ 1.º En decimal: escribimos cinco cifras decimales de cada número periódico (en la calculadora, todas las que quepan) y operamos:
$8-\mathrm{2,77777}=\mathrm{5,22223}\approx \mathrm{5,2222}$
Sale aproximado, porque hemos cortado los períodos; el valor exacto es $\mathrm{5,}\bar{2}$.
2.º Con fracciones generatrices. Pasamos cada decimal a su fracción con la regla de la fracción generatriz:
$\mathrm{2,}\bar{7}={\displaystyle \frac{27-2}{9}}={\displaystyle \frac{25}{9}}$
Sustituimos y operamos con las fracciones, paso a paso:
$8-\mathrm{2,}\bar{7}$
$=8-{\displaystyle \frac{25}{9}}$
$={\displaystyle \frac{72}{9}}-{\displaystyle \frac{25}{9}}$
$={\displaystyle \frac{47}{9}}$
$=\mathrm{5,}\bar{2}$
Los dos caminos dan lo mismo: ${\displaystyle \frac{47}{9}}=\mathrm{5,}\bar{2}$.