Ejercicio resuelto de Números reales · Matemáticas 4 ESO

Utilizando la regla práctica (si los únicos divisores primos del denominador de una fracción irreducible son el 2 y/o el 5, su expresión decimal es exacta; en caso contrario, es periódica), indicar si las siguientes fracciones conducen a un decimal exacto o periódico. Comprobar el resultado haciendo la división directamente (¡sin usar la calculadora!):

a) ${\displaystyle \frac{1}{2}}$
b) ${\displaystyle \frac{3}{20}}$
c) ${\displaystyle \frac{7}{50}}$
d) ${\displaystyle \frac{23}{12}}$
e) ${\displaystyle \frac{1}{7}}$
f) ${\displaystyle \frac{1}{21}}$
g) ${\displaystyle \frac{3}{12}}$
h) ${\displaystyle \frac{23}{18}}$
i) ${\displaystyle \frac{1}{18}}$
j) ${\displaystyle \frac{7}{35}}$

$\mathbf{\text{a)}}$ El denominador 2 es primo.
Solo aparecen el 2 y el 5, así que la expresión decimal es exacta.
Comprobación, haciendo la división:
${\displaystyle \frac{1}{2}}=\mathrm{0,5}$
La división termina: decimal exacto con 1 cifra decimal.


$\mathbf{\text{b)}}$ Descomponemos el denominador en factores primos:
$20=2^2\cdot 5$
Solo aparecen el 2 y el 5, así que la expresión decimal es exacta.
Comprobación, haciendo la división:
${\displaystyle \frac{3}{20}}=\mathrm{0,15}$
La división termina: decimal exacto con 2 cifras decimales.


$\mathbf{\text{c)}}$ Descomponemos el denominador en factores primos:
$50=2\cdot 5^2$
Solo aparecen el 2 y el 5, así que la expresión decimal es exacta.
Comprobación, haciendo la división:
${\displaystyle \frac{7}{50}}=\mathrm{0,14}$
La división termina: decimal exacto con 2 cifras decimales.


$\mathbf{\text{d)}}$ Descomponemos el denominador en factores primos:
$12=2^2\cdot 3$
Aparece el factor 3, que no es ni 2 ni 5, así que la expresión decimal es periódica.
Comprobación, haciendo la división:
${\displaystyle \frac{23}{12}}=\mathrm{1,91}\bar{6}$
La división no termina: los restos se repiten y aparece el período 6, tras el anteperíodo 91.


$\mathbf{\text{e)}}$ El denominador 7 es primo, y no es ni 2 ni 5.
Aparece el factor 7, que no es ni 2 ni 5, así que la expresión decimal es periódica.
Comprobación, haciendo la división:
${\displaystyle \frac{1}{7}}=\mathrm{0,}\overline{142857}$
La división no termina: los restos se repiten y aparece el período 142857.


$\mathbf{\text{f)}}$ Descomponemos el denominador en factores primos:
$21=3\cdot 7$
Aparece el factor 3 y el 7, que no es ni 2 ni 5, así que la expresión decimal es periódica.
Comprobación, haciendo la división:
${\displaystyle \frac{1}{21}}=\mathrm{0,}\overline{047619}$
La división no termina: los restos se repiten y aparece el período 047619.


$\mathbf{\text{g)}}$ Primero simplificamos, porque la regla vale para la fracción irreducible:
${\displaystyle \frac{3}{12}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$
Descomponemos el denominador en factores primos:
$4=2^2$
Solo aparecen el 2 y el 5, así que la expresión decimal es exacta.
Comprobación, haciendo la división:
${\displaystyle \frac{1}{4}}=\mathrm{0,25}$
La división termina: decimal exacto con 2 cifras decimales.


$\mathbf{\text{h)}}$ Descomponemos el denominador en factores primos:
$18=2\cdot 3^2$
Aparece el factor 3, que no es ni 2 ni 5, así que la expresión decimal es periódica.
Comprobación, haciendo la división:
${\displaystyle \frac{23}{18}}=\mathrm{1,2}\bar{7}$
La división no termina: los restos se repiten y aparece el período 7, tras el anteperíodo 2.


$\mathbf{\text{i)}}$ Descomponemos el denominador en factores primos:
$18=2\cdot 3^2$
Aparece el factor 3, que no es ni 2 ni 5, así que la expresión decimal es periódica.
Comprobación, haciendo la división:
${\displaystyle \frac{1}{18}}=\mathrm{0,0}\bar{5}$
La división no termina: los restos se repiten y aparece el período 5, tras el anteperíodo 0.


$\mathbf{\text{j)}}$ Primero simplificamos, porque la regla vale para la fracción irreducible:
${\displaystyle \frac{7}{35}}={\displaystyle \frac{1}{5}}$
El denominador 5 es primo.
Solo aparecen el 2 y el 5, así que la expresión decimal es exacta.
Comprobación, haciendo la división:
${\displaystyle \frac{1}{5}}=\mathrm{0,2}$
La división termina: decimal exacto con 1 cifra decimal.