Ejercicio resuelto de Inecuaciones · Matemáticas 4 ESO

Representa las siguientes regiones:

a) $\{\begin{array}{l}x-y\ge 1\\ y\ge 0\\ x\le 4\end{array}$
b) $\{\begin{array}{l}x-2y\le 2\\ x+2y\le 3\\ y-2x\le 3\end{array}$
c) $\{\begin{array}{l}x+y\ge 1\\ y\le 3\\ x\ge 0\\ x\le 4\end{array}$

$\mathbf{\text{a)}}$ Cada inecuación da un semiplano; la región es la parte del plano donde se solapan todos. Vamos una por una.
La frontera de la primera inecuación es la recta que sale de cambiar el signo de la desigualdad por un igual. Como el signo es $\ge$, la recta es CONTINUA y sus puntos entran en la región:
$\boxed{{\displaystyle x-y=1}}$
Despejamos la y para poder dibujarla:
$-y=-x+1$
$y=x-1$
Con dos puntos basta para trazarla:

$x$	$y$ $0$	$-1$ $1$	$0$

Para saber cuál de los dos semiplanos es la región, sustituimos un punto que no esté en la recta, el $(0,1)$, en el primer miembro, $x-y$:
$0-1=-1$
y lo comparamos con el segundo miembro:
$-1<1$
No cumple la desigualdad $\ge$, así que la región es el OTRO semiplano, el que queda por debajo de la recta, con la recta incluida.

La frontera de la segunda inecuación es la recta que sale de cambiar el signo de la desigualdad por un igual. Como el signo es $\ge$, la recta es CONTINUA y sus puntos entran en la región:
$\boxed{{\displaystyle y=0}}$
Despejamos la y para poder dibujarla:
$y=0$
Con dos puntos basta para trazarla:

$x$	$y$ $0$	$0$ $1$	$0$

Para saber cuál de los dos semiplanos es la región, sustituimos un punto que no esté en la recta, el $(0,1)$, en el primer miembro, $y$:
$1$
y lo comparamos con el segundo miembro:
$1>0$
Cumple la desigualdad $\ge$, así que la región es el semiplano que contiene a ese punto, el que queda por encima de la recta, con la recta incluida.

La frontera de la tercera inecuación es la recta que sale de cambiar el signo de la desigualdad por un igual. Como el signo es $\le$, la recta es CONTINUA y sus puntos entran en la región:
$\boxed{{\displaystyle x=4}}$
No hay y: es la recta vertical que pasa por $x=4$.
Para saber cuál de los dos semiplanos es la región, sustituimos un punto que no esté en la recta, el $(0,1)$, en el primer miembro, $x$:
$0$
y lo comparamos con el segundo miembro:
$0<4$
Cumple la desigualdad $\le$, así que la región es el semiplano que contiene a ese punto, el que queda a la izquierda de la recta, con la recta incluida.
La región del sistema es la INTERSECCIÓN de los semiplanos:
$\boxed{{\displaystyle R=R_1\cap R_2\cap R_3}}$
Las rectas se cortan en los puntos $(1,0)$, $(4,3)$ y $(4,0)$.









La región es la parte sombreada.






$\mathbf{\text{b)}}$ Cada inecuación da un semiplano; la región es la parte del plano donde se solapan todos. Vamos una por una.
La frontera de la primera inecuación es la recta que sale de cambiar el signo de la desigualdad por un igual. Como el signo es $\le$, la recta es CONTINUA y sus puntos entran en la región:
$\boxed{{\displaystyle x-2y=2}}$
Despejamos la y para poder dibujarla:
$-2y=-x+2$
$y={\displaystyle \frac{-x+2}{-2}}={\displaystyle \frac{1}{2}}x-1$
Con dos puntos basta para trazarla:

$x$	$y$ $0$	$-1$ $2$	$0$

Para saber cuál de los dos semiplanos es la región, sustituimos un punto que no esté en la recta, el $(0,0)$, en el primer miembro, $x-2y$:
$0-2\cdot 0=0$
y lo comparamos con el segundo miembro:
$0<2$
Cumple la desigualdad $\le$, así que la región es el semiplano que contiene a ese punto, el que queda por encima de la recta, con la recta incluida.

La frontera de la segunda inecuación es la recta que sale de cambiar el signo de la desigualdad por un igual. Como el signo es $\le$, la recta es CONTINUA y sus puntos entran en la región:
$\boxed{{\displaystyle x+2y=3}}$
Despejamos la y para poder dibujarla:
$2y=-x+3$
$y={\displaystyle \frac{-x+3}{2}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}x+{\displaystyle \frac{3}{2}}$
Con dos puntos basta para trazarla:

$x$	$y$ $1$	$1$ $-1$	$2$

Para saber cuál de los dos semiplanos es la región, sustituimos un punto que no esté en la recta, el $(0,0)$, en el primer miembro, $x+2y$:
$0+2\cdot 0=0$
y lo comparamos con el segundo miembro:
$0<3$
Cumple la desigualdad $\le$, así que la región es el semiplano que contiene a ese punto, el que queda por debajo de la recta, con la recta incluida.

La frontera de la tercera inecuación es la recta que sale de cambiar el signo de la desigualdad por un igual. Como el signo es $\le$, la recta es CONTINUA y sus puntos entran en la región:
$\boxed{{\displaystyle y-2x=3}}$
Despejamos la y para poder dibujarla:
$y=2x+3$
$y=2x+3$
Con dos puntos basta para trazarla:

$x$	$y$ $0$	$3$ $1$	$5$

Para saber cuál de los dos semiplanos es la región, sustituimos un punto que no esté en la recta, el $(0,0)$, en el primer miembro, $y-2x$:
$0-2\cdot 0=0$
y lo comparamos con el segundo miembro:
$0<3$
Cumple la desigualdad $\le$, así que la región es el semiplano que contiene a ese punto, el que queda por debajo de la recta, con la recta incluida.
La región del sistema es la INTERSECCIÓN de los semiplanos:
$\boxed{{\displaystyle R=R_1\cap R_2\cap R_3}}$
Las rectas se cortan en los puntos $({\displaystyle \frac{5}{2}},{\displaystyle \frac{1}{4}})$, $(-{\displaystyle \frac{8}{3}},-{\displaystyle \frac{7}{3}})$ y $(-{\displaystyle \frac{3}{5}},{\displaystyle \frac{9}{5}})$.









La región es la parte sombreada.






$\mathbf{\text{c)}}$ Cada inecuación da un semiplano; la región es la parte del plano donde se solapan todos. Vamos una por una.
La frontera de la primera inecuación es la recta que sale de cambiar el signo de la desigualdad por un igual. Como el signo es $\ge$, la recta es CONTINUA y sus puntos entran en la región:
$\boxed{{\displaystyle x+y=1}}$
Despejamos la y para poder dibujarla:
$y=-x+1$
$y=-x+1$
Con dos puntos basta para trazarla:

$x$	$y$ $0$	$1$ $1$	$0$

Para saber cuál de los dos semiplanos es la región, sustituimos un punto que no esté en la recta, el $(-1,0)$, en el primer miembro, $x+y$:
$(-1)+0=-1$
y lo comparamos con el segundo miembro:
$-1<1$
No cumple la desigualdad $\ge$, así que la región es el OTRO semiplano, el que queda por encima de la recta, con la recta incluida.

La frontera de la segunda inecuación es la recta que sale de cambiar el signo de la desigualdad por un igual. Como el signo es $\le$, la recta es CONTINUA y sus puntos entran en la región:
$\boxed{{\displaystyle y=3}}$
Despejamos la y para poder dibujarla:
$y=3$
Con dos puntos basta para trazarla:

$x$	$y$ $0$	$3$ $1$	$3$

Para saber cuál de los dos semiplanos es la región, sustituimos un punto que no esté en la recta, el $(-1,0)$, en el primer miembro, $y$:
$0$
y lo comparamos con el segundo miembro:
$0<3$
Cumple la desigualdad $\le$, así que la región es el semiplano que contiene a ese punto, el que queda por debajo de la recta, con la recta incluida.

La frontera de la tercera inecuación es la recta que sale de cambiar el signo de la desigualdad por un igual. Como el signo es $\ge$, la recta es CONTINUA y sus puntos entran en la región:
$\boxed{{\displaystyle x=0}}$
No hay y: es la recta vertical que pasa por $x=0$.
Para saber cuál de los dos semiplanos es la región, sustituimos un punto que no esté en la recta, el $(-1,0)$, en el primer miembro, $x$:
$(-1)=-1$
y lo comparamos con el segundo miembro:
$-1<0$
No cumple la desigualdad $\ge$, así que la región es el OTRO semiplano, el que queda a la derecha de la recta, con la recta incluida.

La frontera de la cuarta inecuación es la recta que sale de cambiar el signo de la desigualdad por un igual. Como el signo es $\le$, la recta es CONTINUA y sus puntos entran en la región:
$\boxed{{\displaystyle x=4}}$
No hay y: es la recta vertical que pasa por $x=4$.
Para saber cuál de los dos semiplanos es la región, sustituimos un punto que no esté en la recta, el $(-1,0)$, en el primer miembro, $x$:
$(-1)=-1$
y lo comparamos con el segundo miembro:
$-1<4$
Cumple la desigualdad $\le$, así que la región es el semiplano que contiene a ese punto, el que queda a la izquierda de la recta, con la recta incluida.
La región del sistema es la INTERSECCIÓN de los semiplanos:
$\boxed{{\displaystyle R=R_1\cap R_2\cap R_3\cap R_4}}$
Las rectas se cortan en los puntos $(0,1)$, $(4,-3)$, $(0,3)$ y $(4,3)$.









La región es la parte sombreada.