Ejercicio resuelto de Inecuaciones · Matemáticas 4 ESO

Resolver las siguientes inecuaciones:

a) $x^2-7x+10>0$
b) $x^2-7x+6<0$
c) $x^2-7x+12\ge 0$
d) $-2x^2-10x-8>0$
e) $x^2-6x+9>0$
f) $3x^2+5x-2\le 0$
g) $-8x\le -x^2-15$
h) $6x^2>12x$

$\mathbf{\text{a)}}$ $x^2-7x+10>0$
Buscamos los valores que anulan el primer miembro: son los que parten la recta real en tramos.
Resolvemos la ecuación con la fórmula general, con $a=1$, $b=-7$ y $c=10$:
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle a{x}^2+bx+c=0⟹}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle x={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}}\end{array}}}$
Primero el discriminante:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle b^2-4ac}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={(-7)}^2-4\cdot 1\cdot 10}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =49-40}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =9}\end{array}$
Y ahora las raíces:
$x={\displaystyle \frac{-(-7)\pm \sqrt{9}}{2\cdot 1}}={\displaystyle \frac{7\pm 3}{2}}$
$x_1=5x_2=2$
Colocamos esos valores en la recta real y estudiamos el signo de cada tramo probando un número de cada uno:

Tramo	Valor de prueba	Signo $(-\mathrm{\infty },2)$	$1$	$+$ $(2,5)$	$3$	$-$ $(5,\mathrm{\infty })$	$6$	$+$

La desigualdad es estricta, así que $x=2$ y $x=5$ anulan la expresión y quedan fuera de la solución.









La solución son los tramos con el signo que pide la inecuación:
$x\in (-\mathrm{\infty },2)\cup (5,\mathrm{\infty })$
La inecuación se cumple en dos tramos: para todos los números menores que $2$, y para todos los números mayores que $5$.


$\mathbf{\text{b)}}$ $x^2-7x+6<0$
Buscamos los valores que anulan el primer miembro: son los que parten la recta real en tramos.
Resolvemos la ecuación con la fórmula general, con $a=1$, $b=-7$ y $c=6$:
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle a{x}^2+bx+c=0⟹}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle x={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}}\end{array}}}$
Primero el discriminante:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle b^2-4ac}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={(-7)}^2-4\cdot 1\cdot 6}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =49-24}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =25}\end{array}$
Y ahora las raíces:
$x={\displaystyle \frac{-(-7)\pm \sqrt{25}}{2\cdot 1}}={\displaystyle \frac{7\pm 5}{2}}$
$x_1=6x_2=1$
Colocamos esos valores en la recta real y estudiamos el signo de cada tramo probando un número de cada uno:

Tramo	Valor de prueba	Signo $(-\mathrm{\infty },1)$	$0$	$+$ $(1,6)$	$2$	$-$ $(6,\mathrm{\infty })$	$7$	$+$

La desigualdad es estricta, así que $x=1$ y $x=6$ anulan la expresión y quedan fuera de la solución.









La solución son los tramos con el signo que pide la inecuación:
$x\in (1,6)$
La inecuación se cumple para los números entre $1$ y $6$, los dos excluidos.


$\mathbf{\text{c)}}$ $x^2-7x+12\ge 0$
Buscamos los valores que anulan el primer miembro: son los que parten la recta real en tramos.
Resolvemos la ecuación con la fórmula general, con $a=1$, $b=-7$ y $c=12$:
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle a{x}^2+bx+c=0⟹}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle x={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}}\end{array}}}$
Primero el discriminante:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle b^2-4ac}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={(-7)}^2-4\cdot 1\cdot 12}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =49-48}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1}\end{array}$
Y ahora las raíces:
$x={\displaystyle \frac{-(-7)\pm \sqrt{1}}{2\cdot 1}}={\displaystyle \frac{7\pm 1}{2}}$
$x_1=4x_2=3$
Colocamos esos valores en la recta real y estudiamos el signo de cada tramo probando un número de cada uno:

Tramo	Valor de prueba	Signo $(-\mathrm{\infty },3)$	$2$	$+$ $(3,4)$	${\displaystyle \frac{7}{2}}$	$-$ $(4,\mathrm{\infty })$	$5$	$+$

La desigualdad no es estricta, así que $x=3$ y $x=4$ anulan la expresión y entran en la solución.









La solución son los tramos con el signo que pide la inecuación:
$x\in (-\mathrm{\infty },3]\cup [4,\mathrm{\infty })$
La inecuación se cumple en dos tramos: para todos los números menores o iguales que $3$, y para todos los números mayores o iguales que $4$.


$\mathbf{\text{d)}}$ $-2x^2-10x-8>0$
El coeficiente de $x^2$ es negativo. Dividimos los dos miembros entre $-1$, con lo que cambian todos los signos y la desigualdad SE DA LA VUELTA:
$\boxed{{\displaystyle a>b⟹{\displaystyle \frac{a}{-1}}<{\displaystyle \frac{b}{-1}}}}$
$2x^2+10x+8<0$
Los tres coeficientes son múltiplos de $2$. Dividimos entre él, que es positivo, para trabajar con números más pequeños:
$\boxed{{\displaystyle a<b⟹{\displaystyle \frac{a}{2}}<{\displaystyle \frac{b}{2}}}}$
$x^2+5x+4<0$
Buscamos los valores que anulan el primer miembro: son los que parten la recta real en tramos.
Resolvemos la ecuación con la fórmula general, con $a=1$, $b=5$ y $c=4$:
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle a{x}^2+bx+c=0⟹}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle x={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}}\end{array}}}$
Primero el discriminante:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle b^2-4ac}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =5^2-4\cdot 1\cdot 4}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =25-16}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =9}\end{array}$
Y ahora las raíces:
$x={\displaystyle \frac{-5\pm \sqrt{9}}{2\cdot 1}}={\displaystyle \frac{-5\pm 3}{2}}$
$x_1=-1x_2=-4$
Colocamos esos valores en la recta real y estudiamos el signo de cada tramo probando un número de cada uno:

Tramo	Valor de prueba	Signo $(-\mathrm{\infty },-4)$	$-5$	$+$ $(-4,-1)$	$-3$	$-$ $(-1,\mathrm{\infty })$	$0$	$+$

La desigualdad es estricta, así que $x=-4$ y $x=-1$ anulan la expresión y quedan fuera de la solución.









La solución son los tramos con el signo que pide la inecuación:
$x\in (-4,-1)$
La inecuación se cumple para los números entre $-4$ y $-1$, los dos excluidos.


$\mathbf{\text{e)}}$ $x^2-6x+9>0$
Buscamos los valores que anulan el primer miembro: son los que parten la recta real en tramos.
Resolvemos la ecuación con la fórmula general, con $a=1$, $b=-6$ y $c=9$:
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle a{x}^2+bx+c=0⟹}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle x={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}}\end{array}}}$
Primero el discriminante:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle b^2-4ac}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={(-6)}^2-4\cdot 1\cdot 9}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =36-36}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =0}\end{array}$
El discriminante vale 0, así que la raíz es única (doble):
$x={\displaystyle \frac{-(-6)}{2\cdot 1}}={\displaystyle \frac{6}{2}}=3$
Colocamos ese valor en la recta real y estudiamos el signo de cada tramo probando un número de cada uno:

Tramo	Valor de prueba	Signo $(-\mathrm{\infty },3)$	$2$	$+$ $(3,\mathrm{\infty })$	$4$	$+$

La desigualdad es estricta, así que $x=3$ anula la expresión y queda fuera de la solución.









La solución son los tramos con el signo que pide la inecuación:
$x\in \mathbb{R}-\{3\}$
La cumplen todos los números reales menos el $3$, que es donde la expresión vale 0.


$\mathbf{\text{f)}}$ $3x^2+5x-2\le 0$
Buscamos los valores que anulan el primer miembro: son los que parten la recta real en tramos.
Resolvemos la ecuación con la fórmula general, con $a=3$, $b=5$ y $c=-2$:
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle a{x}^2+bx+c=0⟹}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle x={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}}\end{array}}}$
Primero el discriminante:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle b^2-4ac}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =5^2-4\cdot 3\cdot (-2)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =25-(-24)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =49}\end{array}$
Y ahora las raíces:
$x={\displaystyle \frac{-5\pm \sqrt{49}}{2\cdot 3}}={\displaystyle \frac{-5\pm 7}{6}}$
$x_1={\displaystyle \frac{1}{3}}{x}_2=-2$
Colocamos esos valores en la recta real y estudiamos el signo de cada tramo probando un número de cada uno:

Tramo	Valor de prueba	Signo $(-\mathrm{\infty },-2)$	$-3$	$+$ $(-2,1\mathrm{/}3)$	$0$	$-$ $(1\mathrm{/}3,\mathrm{\infty })$	$1$	$+$

La desigualdad no es estricta, así que $x=-2$ y $x={\displaystyle \frac{1}{3}}$ anulan la expresión y entran en la solución.









La solución son los tramos con el signo que pide la inecuación:
$x\in [-2,1\mathrm{/}3]$
La inecuación se cumple para los números entre $-2$ y $1\mathrm{/}3$, los dos incluidos.


$\mathbf{\text{g)}}$ $-8x\le -x^2-15$
Pasamos todo al primer miembro, para dejar la inecuación con un 0 en el segundo:
$\boxed{{\displaystyle a+c\le b⟹a\le b-c}}$
$x^2-8x+15\le 0$
Buscamos los valores que anulan el primer miembro: son los que parten la recta real en tramos.
Resolvemos la ecuación con la fórmula general, con $a=1$, $b=-8$ y $c=15$:
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle a{x}^2+bx+c=0⟹}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle x={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}}\end{array}}}$
Primero el discriminante:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle b^2-4ac}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={(-8)}^2-4\cdot 1\cdot 15}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =64-60}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4}\end{array}$
Y ahora las raíces:
$x={\displaystyle \frac{-(-8)\pm \sqrt{4}}{2\cdot 1}}={\displaystyle \frac{8\pm 2}{2}}$
$x_1=5x_2=3$
Colocamos esos valores en la recta real y estudiamos el signo de cada tramo probando un número de cada uno:

Tramo	Valor de prueba	Signo $(-\mathrm{\infty },3)$	$2$	$+$ $(3,5)$	$4$	$-$ $(5,\mathrm{\infty })$	$6$	$+$

La desigualdad no es estricta, así que $x=3$ y $x=5$ anulan la expresión y entran en la solución.









La solución son los tramos con el signo que pide la inecuación:
$x\in [3,5]$
La inecuación se cumple para los números entre $3$ y $5$, los dos incluidos.


$\mathbf{\text{h)}}$ $6x^2>12x$
Pasamos todo al primer miembro, para dejar la inecuación con un 0 en el segundo:
$\boxed{{\displaystyle a+c>b⟹a>b-c}}$
$6x^2-12x>0$
Los tres coeficientes son múltiplos de $6$. Dividimos entre él, que es positivo, para trabajar con números más pequeños:
$\boxed{{\displaystyle a>b⟹{\displaystyle \frac{a}{6}}>{\displaystyle \frac{b}{6}}}}$
$x^2-2x>0$
Buscamos los valores que anulan el primer miembro: son los que parten la recta real en tramos.
Resolvemos la ecuación con la fórmula general, con $a=1$, $b=-2$ y $c=0$:
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle a{x}^2+bx+c=0⟹}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle x={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}}\end{array}}}$
Primero el discriminante:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle b^2-4ac}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={(-2)}^2-4\cdot 1\cdot 0}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4-0}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4}\end{array}$
Y ahora las raíces:
$x={\displaystyle \frac{-(-2)\pm \sqrt{4}}{2\cdot 1}}={\displaystyle \frac{2\pm 2}{2}}$
$x_1=2x_2=0$
Colocamos esos valores en la recta real y estudiamos el signo de cada tramo probando un número de cada uno:

Tramo	Valor de prueba	Signo $(-\mathrm{\infty },0)$	$-1$	$+$ $(0,2)$	$1$	$-$ $(2,\mathrm{\infty })$	$3$	$+$

La desigualdad es estricta, así que $x=0$ y $x=2$ anulan la expresión y quedan fuera de la solución.









La solución son los tramos con el signo que pide la inecuación:
$x\in (-\mathrm{\infty },0)\cup (2,\mathrm{\infty })$
La inecuación se cumple en dos tramos: para todos los números menores que $0$, y para todos los números mayores que $2$.