Ejercicio resuelto de Inecuaciones · Matemáticas 4 ESO

Resuelve, si se pudiese, los siguientes sistemas de inecuaciones:

a) $\{\begin{array}{l}2x-4>0\\ 3x+12>0\end{array}$
b) $\{\begin{array}{l}x-5>0\\ x+8>0\end{array}$
c) $\{\begin{array}{l}2-x>0\\ 1+x>0\end{array}$
d) $\{\begin{array}{l}2x+3\ge 1\\ -x+2\ge -1\end{array}$
e) $\{\begin{array}{l}2x+3\ge 1\\ -x+2<-1\end{array}$
f) $\{\begin{array}{l}2x+3<1\\ -x+6<3\end{array}$
g) $\{\begin{array}{l}3x-2<x\\ 6x-4>3-x\end{array}$
h) $\{\begin{array}{l}x+3x\ge 4\\ 2x+3\le 10-x\end{array}$

$\mathbf{\text{a)}}$ Resolvemos la primera inecuación:
$2x-4>0$
Pasamos los términos con x al primer miembro y los números al segundo. Lo que está sumando pasa restando y lo que está restando pasa sumando:
$\boxed{{\displaystyle a+c>b⟹a>b-c}}$
$2x>4$
Dividimos los dos miembros entre $2$, que es positivo, así que la desigualdad no cambia de sentido:
$\boxed{{\displaystyle a>b⟹{\displaystyle \frac{a}{2}}>{\displaystyle \frac{b}{2}}}}$
$x>{\displaystyle \frac{4}{2}}=2$
Es decir, $S_1=(2,\mathrm{\infty })$.

Resolvemos la segunda inecuación:
$3x+12>0$
Pasamos los términos con x al primer miembro y los números al segundo. Lo que está sumando pasa restando y lo que está restando pasa sumando:
$\boxed{{\displaystyle a+c>b⟹a>b-c}}$
$3x>-12$
Dividimos los dos miembros entre $3$, que es positivo, así que la desigualdad no cambia de sentido:
$\boxed{{\displaystyle a>b⟹{\displaystyle \frac{a}{3}}>{\displaystyle \frac{b}{3}}}}$
$x>{\displaystyle \frac{-12}{3}}=-4$
Es decir, $S_2=(-4,\mathrm{\infty })$.

La solución del sistema son los números que cumplen las dos inecuaciones a la vez, es decir, la intersección de los conjuntos:
$\boxed{{\displaystyle S=S_1\cap S_2}}$
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle S=(2,\mathrm{\infty })}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \cap (-4,\mathrm{\infty })}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(2,\mathrm{\infty })}\end{array}$









El sistema se cumple para todos los números mayores que $2$.


$\mathbf{\text{b)}}$ Resolvemos la primera inecuación:
$x-5>0$
Pasamos los términos con x al primer miembro y los números al segundo. Lo que está sumando pasa restando y lo que está restando pasa sumando:
$\boxed{{\displaystyle a+c>b⟹a>b-c}}$
$x>5$
Es decir, $S_1=(5,\mathrm{\infty })$.

Resolvemos la segunda inecuación:
$x+8>0$
Pasamos los términos con x al primer miembro y los números al segundo. Lo que está sumando pasa restando y lo que está restando pasa sumando:
$\boxed{{\displaystyle a+c>b⟹a>b-c}}$
$x>-8$
Es decir, $S_2=(-8,\mathrm{\infty })$.

La solución del sistema son los números que cumplen las dos inecuaciones a la vez, es decir, la intersección de los conjuntos:
$\boxed{{\displaystyle S=S_1\cap S_2}}$
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle S=(5,\mathrm{\infty })}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \cap (-8,\mathrm{\infty })}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(5,\mathrm{\infty })}\end{array}$









El sistema se cumple para todos los números mayores que $5$.


$\mathbf{\text{c)}}$ Resolvemos la primera inecuación:
$2-x>0$
Pasamos los términos con x al primer miembro y los números al segundo. Lo que está sumando pasa restando y lo que está restando pasa sumando:
$\boxed{{\displaystyle a+c>b⟹a>b-c}}$
$-x>-2$
Dividimos los dos miembros entre $-1$. Como es un número negativo, la desigualdad SE DA LA VUELTA:
$\boxed{{\displaystyle a>b⟹{\displaystyle \frac{a}{-1}}<{\displaystyle \frac{b}{-1}}}}$
$x<{\displaystyle \frac{-2}{-1}}=2$
Es decir, $S_1=(-\mathrm{\infty },2)$.

Resolvemos la segunda inecuación:
$1+x>0$
Pasamos los términos con x al primer miembro y los números al segundo. Lo que está sumando pasa restando y lo que está restando pasa sumando:
$\boxed{{\displaystyle a+c>b⟹a>b-c}}$
$x>-1$
Es decir, $S_2=(-1,\mathrm{\infty })$.

La solución del sistema son los números que cumplen las dos inecuaciones a la vez, es decir, la intersección de los conjuntos:
$\boxed{{\displaystyle S=S_1\cap S_2}}$
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle S=(-\mathrm{\infty },2)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \cap (-1,\mathrm{\infty })}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(-1,2)}\end{array}$









El sistema se cumple para los números entre $-1$ y $2$, los dos excluidos.


$\mathbf{\text{d)}}$ Resolvemos la primera inecuación:
$2x+3\ge 1$
Pasamos los términos con x al primer miembro y los números al segundo. Lo que está sumando pasa restando y lo que está restando pasa sumando:
$\boxed{{\displaystyle a+c\ge b⟹a\ge b-c}}$
$2x\ge 1-3$
Sumamos los términos semejantes de cada miembro:
$2x\ge -2$
Dividimos los dos miembros entre $2$, que es positivo, así que la desigualdad no cambia de sentido:
$\boxed{{\displaystyle a\ge b⟹{\displaystyle \frac{a}{2}}\ge {\displaystyle \frac{b}{2}}}}$
$x\ge {\displaystyle \frac{-2}{2}}=-1$
Es decir, $S_1=[-1,\mathrm{\infty })$.

Resolvemos la segunda inecuación:
$-x+2\ge -1$
Pasamos los términos con x al primer miembro y los números al segundo. Lo que está sumando pasa restando y lo que está restando pasa sumando:
$\boxed{{\displaystyle a+c\ge b⟹a\ge b-c}}$
$-x\ge -1-2$
Sumamos los términos semejantes de cada miembro:
$-x\ge -3$
Dividimos los dos miembros entre $-1$. Como es un número negativo, la desigualdad SE DA LA VUELTA:
$\boxed{{\displaystyle a\ge b⟹{\displaystyle \frac{a}{-1}}\le {\displaystyle \frac{b}{-1}}}}$
$x\le {\displaystyle \frac{-3}{-1}}=3$
Es decir, $S_2=(-\mathrm{\infty },3]$.

La solución del sistema son los números que cumplen las dos inecuaciones a la vez, es decir, la intersección de los conjuntos:
$\boxed{{\displaystyle S=S_1\cap S_2}}$
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle S=[-1,\mathrm{\infty })}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \cap (-\mathrm{\infty },3]}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =[-1,3]}\end{array}$









El sistema se cumple para los números entre $-1$ y $3$, los dos incluidos.


$\mathbf{\text{e)}}$ Resolvemos la primera inecuación:
$2x+3\ge 1$
Pasamos los términos con x al primer miembro y los números al segundo. Lo que está sumando pasa restando y lo que está restando pasa sumando:
$\boxed{{\displaystyle a+c\ge b⟹a\ge b-c}}$
$2x\ge 1-3$
Sumamos los términos semejantes de cada miembro:
$2x\ge -2$
Dividimos los dos miembros entre $2$, que es positivo, así que la desigualdad no cambia de sentido:
$\boxed{{\displaystyle a\ge b⟹{\displaystyle \frac{a}{2}}\ge {\displaystyle \frac{b}{2}}}}$
$x\ge {\displaystyle \frac{-2}{2}}=-1$
Es decir, $S_1=[-1,\mathrm{\infty })$.

Resolvemos la segunda inecuación:
$-x+2<-1$
Pasamos los términos con x al primer miembro y los números al segundo. Lo que está sumando pasa restando y lo que está restando pasa sumando:
$\boxed{{\displaystyle a+c<b⟹a<b-c}}$
$-x<-1-2$
Sumamos los términos semejantes de cada miembro:
$-x<-3$
Dividimos los dos miembros entre $-1$. Como es un número negativo, la desigualdad SE DA LA VUELTA:
$\boxed{{\displaystyle a<b⟹{\displaystyle \frac{a}{-1}}>{\displaystyle \frac{b}{-1}}}}$
$x>{\displaystyle \frac{-3}{-1}}=3$
Es decir, $S_2=(3,\mathrm{\infty })$.

La solución del sistema son los números que cumplen las dos inecuaciones a la vez, es decir, la intersección de los conjuntos:
$\boxed{{\displaystyle S=S_1\cap S_2}}$
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle S=[-1,\mathrm{\infty })}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \cap (3,\mathrm{\infty })}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(3,\mathrm{\infty })}\end{array}$









El sistema se cumple para todos los números mayores que $3$.


$\mathbf{\text{f)}}$ Resolvemos la primera inecuación:
$2x+3<1$
Pasamos los términos con x al primer miembro y los números al segundo. Lo que está sumando pasa restando y lo que está restando pasa sumando:
$\boxed{{\displaystyle a+c<b⟹a<b-c}}$
$2x<1-3$
Sumamos los términos semejantes de cada miembro:
$2x<-2$
Dividimos los dos miembros entre $2$, que es positivo, así que la desigualdad no cambia de sentido:
$\boxed{{\displaystyle a<b⟹{\displaystyle \frac{a}{2}}<{\displaystyle \frac{b}{2}}}}$
$x<{\displaystyle \frac{-2}{2}}=-1$
Es decir, $S_1=(-\mathrm{\infty },-1)$.

Resolvemos la segunda inecuación:
$-x+6<3$
Pasamos los términos con x al primer miembro y los números al segundo. Lo que está sumando pasa restando y lo que está restando pasa sumando:
$\boxed{{\displaystyle a+c<b⟹a<b-c}}$
$-x<3-6$
Sumamos los términos semejantes de cada miembro:
$-x<-3$
Dividimos los dos miembros entre $-1$. Como es un número negativo, la desigualdad SE DA LA VUELTA:
$\boxed{{\displaystyle a<b⟹{\displaystyle \frac{a}{-1}}>{\displaystyle \frac{b}{-1}}}}$
$x>{\displaystyle \frac{-3}{-1}}=3$
Es decir, $S_2=(3,\mathrm{\infty })$.

La solución del sistema son los números que cumplen las dos inecuaciones a la vez, es decir, la intersección de los conjuntos:
$\boxed{{\displaystyle S=S_1\cap S_2}}$
$S=(-\mathrm{\infty },-1)\cap (3,\mathrm{\infty })=\mathrm{\varnothing }$









No hay ningún número que las cumpla todas a la vez: el sistema no tiene solución.


$\mathbf{\text{g)}}$ Resolvemos la primera inecuación:
$3x-2<x$
Pasamos los términos con x al primer miembro y los números al segundo. Lo que está sumando pasa restando y lo que está restando pasa sumando:
$\boxed{{\displaystyle a+c<b⟹a<b-c}}$
$3x-x<2$
Sumamos los términos semejantes de cada miembro:
$2x<2$
Dividimos los dos miembros entre $2$, que es positivo, así que la desigualdad no cambia de sentido:
$\boxed{{\displaystyle a<b⟹{\displaystyle \frac{a}{2}}<{\displaystyle \frac{b}{2}}}}$
$x<{\displaystyle \frac{2}{2}}=1$
Es decir, $S_1=(-\mathrm{\infty },1)$.

Resolvemos la segunda inecuación:
$6x-4>3-x$
Pasamos los términos con x al primer miembro y los números al segundo. Lo que está sumando pasa restando y lo que está restando pasa sumando:
$\boxed{{\displaystyle a+c>b⟹a>b-c}}$
$6x+x>3+4$
Sumamos los términos semejantes de cada miembro:
$7x>7$
Dividimos los dos miembros entre $7$, que es positivo, así que la desigualdad no cambia de sentido:
$\boxed{{\displaystyle a>b⟹{\displaystyle \frac{a}{7}}>{\displaystyle \frac{b}{7}}}}$
$x>{\displaystyle \frac{7}{7}}=1$
Es decir, $S_2=(1,\mathrm{\infty })$.

La solución del sistema son los números que cumplen las dos inecuaciones a la vez, es decir, la intersección de los conjuntos:
$\boxed{{\displaystyle S=S_1\cap S_2}}$
$S=(-\mathrm{\infty },1)\cap (1,\mathrm{\infty })=\mathrm{\varnothing }$









No hay ningún número que las cumpla todas a la vez: el sistema no tiene solución.


$\mathbf{\text{h)}}$ Resolvemos la primera inecuación:
$x+3x\ge 4$
Sumamos los términos semejantes de cada miembro:
$4x\ge 4$
Dividimos los dos miembros entre $4$, que es positivo, así que la desigualdad no cambia de sentido:
$\boxed{{\displaystyle a\ge b⟹{\displaystyle \frac{a}{4}}\ge {\displaystyle \frac{b}{4}}}}$
$x\ge {\displaystyle \frac{4}{4}}=1$
Es decir, $S_1=[1,\mathrm{\infty })$.

Resolvemos la segunda inecuación:
$2x+3\le 10-x$
Pasamos los términos con x al primer miembro y los números al segundo. Lo que está sumando pasa restando y lo que está restando pasa sumando:
$\boxed{{\displaystyle a+c\le b⟹a\le b-c}}$
$2x+x\le 10-3$
Sumamos los términos semejantes de cada miembro:
$3x\le 7$
Dividimos los dos miembros entre $3$, que es positivo, así que la desigualdad no cambia de sentido:
$\boxed{{\displaystyle a\le b⟹{\displaystyle \frac{a}{3}}\le {\displaystyle \frac{b}{3}}}}$
$x\le {\displaystyle \frac{7}{3}}$
Es decir, $S_2=(-\mathrm{\infty },7\mathrm{/}3]$.

La solución del sistema son los números que cumplen las dos inecuaciones a la vez, es decir, la intersección de los conjuntos:
$\boxed{{\displaystyle S=S_1\cap S_2}}$
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle S=[1,\mathrm{\infty })}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \cap (-\mathrm{\infty },7\mathrm{/}3]}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =[1,7\mathrm{/}3]}\end{array}$









El sistema se cumple para los números entre $1$ y $7\mathrm{/}3$, los dos incluidos.