Ejercicio resuelto de Inecuaciones · Matemáticas 4 ESO

Representa las siguientes regiones:

a) $\{\begin{array}{l}x+y\ge 1\\ x-y\ge 1\end{array}$
b) $\{\begin{array}{l}x+2y\le 2\\ 2x-y\ge 4\end{array}$
c) $\{\begin{array}{l}-x+3y\le 2\\ 3x-y>1\end{array}$
d) $\{\begin{array}{l}x+2y>2\\ x-y>1\end{array}$
e) $\{\begin{array}{l}2x+y\le 2\\ x-2y>1\end{array}$
f) $\{\begin{array}{l}x-6y\le 3\\ 5x+y\ge 3\end{array}$

$\mathbf{\text{a)}}$ Cada inecuación da un semiplano; la región es la parte del plano donde se solapan todos. Vamos una por una.
La frontera de la primera inecuación es la recta que sale de cambiar el signo de la desigualdad por un igual. Como el signo es $\ge$, la recta es CONTINUA y sus puntos entran en la región:
$\boxed{{\displaystyle x+y=1}}$
Despejamos la y para poder dibujarla:
$y=-x+1$
$y=-x+1$
Con dos puntos basta para trazarla:

$x$	$y$ $0$	$1$ $1$	$0$

Para saber cuál de los dos semiplanos es la región, sustituimos un punto que no esté en la recta, el $(0,0)$, en el primer miembro, $x+y$:
$0+0=0$
y lo comparamos con el segundo miembro:
$0<1$
No cumple la desigualdad $\ge$, así que la región es el OTRO semiplano, el que queda por encima de la recta, con la recta incluida.

La frontera de la segunda inecuación es la recta que sale de cambiar el signo de la desigualdad por un igual. Como el signo es $\ge$, la recta es CONTINUA y sus puntos entran en la región:
$\boxed{{\displaystyle x-y=1}}$
Despejamos la y para poder dibujarla:
$-y=-x+1$
$y=x-1$
Con dos puntos basta para trazarla:

$x$	$y$ $0$	$-1$ $1$	$0$

Para saber cuál de los dos semiplanos es la región, sustituimos un punto que no esté en la recta, el $(0,0)$, en el primer miembro, $x-y$:
$0-0=0$
y lo comparamos con el segundo miembro:
$0<1$
No cumple la desigualdad $\ge$, así que la región es el OTRO semiplano, el que queda por debajo de la recta, con la recta incluida.
La región del sistema es la INTERSECCIÓN de los semiplanos:
$\boxed{{\displaystyle R=R_1\cap R_2}}$
Las rectas se cortan en el punto $(1,0)$.









La región es la parte sombreada.






$\mathbf{\text{b)}}$ Cada inecuación da un semiplano; la región es la parte del plano donde se solapan todos. Vamos una por una.
La frontera de la primera inecuación es la recta que sale de cambiar el signo de la desigualdad por un igual. Como el signo es $\le$, la recta es CONTINUA y sus puntos entran en la región:
$\boxed{{\displaystyle x+2y=2}}$
Despejamos la y para poder dibujarla:
$2y=-x+2$
$y={\displaystyle \frac{-x+2}{2}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}x+1$
Con dos puntos basta para trazarla:

$x$	$y$ $0$	$1$ $2$	$0$

Para saber cuál de los dos semiplanos es la región, sustituimos un punto que no esté en la recta, el $(0,0)$, en el primer miembro, $x+2y$:
$0+2\cdot 0=0$
y lo comparamos con el segundo miembro:
$0<2$
Cumple la desigualdad $\le$, así que la región es el semiplano que contiene a ese punto, el que queda por debajo de la recta, con la recta incluida.

La frontera de la segunda inecuación es la recta que sale de cambiar el signo de la desigualdad por un igual. Como el signo es $\ge$, la recta es CONTINUA y sus puntos entran en la región:
$\boxed{{\displaystyle 2x-y=4}}$
Despejamos la y para poder dibujarla:
$-y=-2x+4$
$y=2x-4$
Con dos puntos basta para trazarla:

$x$	$y$ $0$	$-4$ $1$	$-2$

Para saber cuál de los dos semiplanos es la región, sustituimos un punto que no esté en la recta, el $(0,0)$, en el primer miembro, $2x-y$:
$2\cdot 0-0=0$
y lo comparamos con el segundo miembro:
$0<4$
No cumple la desigualdad $\ge$, así que la región es el OTRO semiplano, el que queda por debajo de la recta, con la recta incluida.
La región del sistema es la INTERSECCIÓN de los semiplanos:
$\boxed{{\displaystyle R=R_1\cap R_2}}$
Las rectas se cortan en el punto $(2,0)$.









La región es la parte sombreada.






$\mathbf{\text{c)}}$ Cada inecuación da un semiplano; la región es la parte del plano donde se solapan todos. Vamos una por una.
La frontera de la primera inecuación es la recta que sale de cambiar el signo de la desigualdad por un igual. Como el signo es $\le$, la recta es CONTINUA y sus puntos entran en la región:
$\boxed{{\displaystyle -x+3y=2}}$
Despejamos la y para poder dibujarla:
$3y=x+2$
$y={\displaystyle \frac{x+2}{3}}={\displaystyle \frac{1}{3}}x+{\displaystyle \frac{2}{3}}$
Con dos puntos basta para trazarla:

$x$	$y$ $1$	$1$ $-2$	$0$

Para saber cuál de los dos semiplanos es la región, sustituimos un punto que no esté en la recta, el $(0,0)$, en el primer miembro, $-x+3y$:
$-0+3\cdot 0=0$
y lo comparamos con el segundo miembro:
$0<2$
Cumple la desigualdad $\le$, así que la región es el semiplano que contiene a ese punto, el que queda por debajo de la recta, con la recta incluida.

La frontera de la segunda inecuación es la recta que sale de cambiar el signo de la desigualdad por un igual. Como el signo es $>$, la recta es DISCONTINUA y sus puntos NO entran en la región:
$\boxed{{\displaystyle 3x-y=1}}$
Despejamos la y para poder dibujarla:
$-y=-3x+1$
$y=3x-1$
Con dos puntos basta para trazarla:

$x$	$y$ $0$	$-1$ $1$	$2$

Para saber cuál de los dos semiplanos es la región, sustituimos un punto que no esté en la recta, el $(0,0)$, en el primer miembro, $3x-y$:
$3\cdot 0-0=0$
y lo comparamos con el segundo miembro:
$0<1$
No cumple la desigualdad $>$, así que la región es el OTRO semiplano, el que queda por debajo de la recta, sin la recta.
La región del sistema es la INTERSECCIÓN de los semiplanos:
$\boxed{{\displaystyle R=R_1\cap R_2}}$
Las rectas se cortan en el punto $({\displaystyle \frac{5}{8}},{\displaystyle \frac{7}{8}})$ (que no entra en la región, porque está en una recta discontinua).









La región es la parte sombreada.






$\mathbf{\text{d)}}$ Cada inecuación da un semiplano; la región es la parte del plano donde se solapan todos. Vamos una por una.
La frontera de la primera inecuación es la recta que sale de cambiar el signo de la desigualdad por un igual. Como el signo es $>$, la recta es DISCONTINUA y sus puntos NO entran en la región:
$\boxed{{\displaystyle x+2y=2}}$
Despejamos la y para poder dibujarla:
$2y=-x+2$
$y={\displaystyle \frac{-x+2}{2}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}x+1$
Con dos puntos basta para trazarla:

$x$	$y$ $0$	$1$ $2$	$0$

Para saber cuál de los dos semiplanos es la región, sustituimos un punto que no esté en la recta, el $(0,0)$, en el primer miembro, $x+2y$:
$0+2\cdot 0=0$
y lo comparamos con el segundo miembro:
$0<2$
No cumple la desigualdad $>$, así que la región es el OTRO semiplano, el que queda por encima de la recta, sin la recta.

La frontera de la segunda inecuación es la recta que sale de cambiar el signo de la desigualdad por un igual. Como el signo es $>$, la recta es DISCONTINUA y sus puntos NO entran en la región:
$\boxed{{\displaystyle x-y=1}}$
Despejamos la y para poder dibujarla:
$-y=-x+1$
$y=x-1$
Con dos puntos basta para trazarla:

$x$	$y$ $0$	$-1$ $1$	$0$

Para saber cuál de los dos semiplanos es la región, sustituimos un punto que no esté en la recta, el $(0,0)$, en el primer miembro, $x-y$:
$0-0=0$
y lo comparamos con el segundo miembro:
$0<1$
No cumple la desigualdad $>$, así que la región es el OTRO semiplano, el que queda por debajo de la recta, sin la recta.
La región del sistema es la INTERSECCIÓN de los semiplanos:
$\boxed{{\displaystyle R=R_1\cap R_2}}$
Las rectas se cortan en el punto $({\displaystyle \frac{4}{3}},{\displaystyle \frac{1}{3}})$ (que no entra en la región, porque está en una recta discontinua).









La región es la parte sombreada.






$\mathbf{\text{e)}}$ Cada inecuación da un semiplano; la región es la parte del plano donde se solapan todos. Vamos una por una.
La frontera de la primera inecuación es la recta que sale de cambiar el signo de la desigualdad por un igual. Como el signo es $\le$, la recta es CONTINUA y sus puntos entran en la región:
$\boxed{{\displaystyle 2x+y=2}}$
Despejamos la y para poder dibujarla:
$y=-2x+2$
$y=-2x+2$
Con dos puntos basta para trazarla:

$x$	$y$ $0$	$2$ $1$	$0$

Para saber cuál de los dos semiplanos es la región, sustituimos un punto que no esté en la recta, el $(0,0)$, en el primer miembro, $2x+y$:
$2\cdot 0+0=0$
y lo comparamos con el segundo miembro:
$0<2$
Cumple la desigualdad $\le$, así que la región es el semiplano que contiene a ese punto, el que queda por debajo de la recta, con la recta incluida.

La frontera de la segunda inecuación es la recta que sale de cambiar el signo de la desigualdad por un igual. Como el signo es $>$, la recta es DISCONTINUA y sus puntos NO entran en la región:
$\boxed{{\displaystyle x-2y=1}}$
Despejamos la y para poder dibujarla:
$-2y=-x+1$
$y={\displaystyle \frac{-x+1}{-2}}={\displaystyle \frac{1}{2}}x-{\displaystyle \frac{1}{2}}$
Con dos puntos basta para trazarla:

$x$	$y$ $1$	$0$ $-1$	$-1$

Para saber cuál de los dos semiplanos es la región, sustituimos un punto que no esté en la recta, el $(0,0)$, en el primer miembro, $x-2y$:
$0-2\cdot 0=0$
y lo comparamos con el segundo miembro:
$0<1$
No cumple la desigualdad $>$, así que la región es el OTRO semiplano, el que queda por debajo de la recta, sin la recta.
La región del sistema es la INTERSECCIÓN de los semiplanos:
$\boxed{{\displaystyle R=R_1\cap R_2}}$
Las rectas se cortan en el punto $(1,0)$ (que no entra en la región, porque está en una recta discontinua).









La región es la parte sombreada.






$\mathbf{\text{f)}}$ Cada inecuación da un semiplano; la región es la parte del plano donde se solapan todos. Vamos una por una.
La frontera de la primera inecuación es la recta que sale de cambiar el signo de la desigualdad por un igual. Como el signo es $\le$, la recta es CONTINUA y sus puntos entran en la región:
$\boxed{{\displaystyle x-6y=3}}$
Despejamos la y para poder dibujarla:
$-6y=-x+3$
$y={\displaystyle \frac{-x+3}{-6}}={\displaystyle \frac{1}{6}}x-{\displaystyle \frac{1}{2}}$
Con dos puntos basta para trazarla:

$x$	$y$ $3$	$0$ $-3$	$-1$

Para saber cuál de los dos semiplanos es la región, sustituimos un punto que no esté en la recta, el $(0,0)$, en el primer miembro, $x-6y$:
$0-6\cdot 0=0$
y lo comparamos con el segundo miembro:
$0<3$
Cumple la desigualdad $\le$, así que la región es el semiplano que contiene a ese punto, el que queda por encima de la recta, con la recta incluida.

La frontera de la segunda inecuación es la recta que sale de cambiar el signo de la desigualdad por un igual. Como el signo es $\ge$, la recta es CONTINUA y sus puntos entran en la región:
$\boxed{{\displaystyle 5x+y=3}}$
Despejamos la y para poder dibujarla:
$y=-5x+3$
$y=-5x+3$
Con dos puntos basta para trazarla:

$x$	$y$ $0$	$3$ $1$	$-2$

Para saber cuál de los dos semiplanos es la región, sustituimos un punto que no esté en la recta, el $(0,0)$, en el primer miembro, $5x+y$:
$5\cdot 0+0=0$
y lo comparamos con el segundo miembro:
$0<3$
No cumple la desigualdad $\ge$, así que la región es el OTRO semiplano, el que queda por encima de la recta, con la recta incluida.
La región del sistema es la INTERSECCIÓN de los semiplanos:
$\boxed{{\displaystyle R=R_1\cap R_2}}$
Las rectas se cortan en el punto $({\displaystyle \frac{21}{31}},-{\displaystyle \frac{12}{31}})$.









La región es la parte sombreada.