Ejercicio resuelto de Inecuaciones · Matemáticas 4 ESO

Resolver las siguientes inecuaciones expresando mediante intervalos los resultados:

a) $10-3x<4x-4$
b) $10x+24<16x+12$
c) $-2x+3\ge -3x-1$
d) $5(x+6)-5>-10$
e) $2(5-7x)\ge 52$
f) $3(2x-1)+1<-13-5x$

$\mathbf{\text{a)}}$ $10-3x<4x-4$
Pasamos los términos con x al primer miembro y los números al segundo. Lo que está sumando pasa restando y lo que está restando pasa sumando:
$\boxed{{\displaystyle a+c<b⟹a<b-c}}$
$-3x-4x<-4-10$
Sumamos los términos semejantes de cada miembro:
$-7x<-14$
Dividimos los dos miembros entre $-7$. Como es un número negativo, la desigualdad SE DA LA VUELTA:
$\boxed{{\displaystyle a<b⟹{\displaystyle \frac{a}{-7}}>{\displaystyle \frac{b}{-7}}}}$
$x>{\displaystyle \frac{-14}{-7}}=2$
La solución, en forma de intervalo:
$x\in (2,\mathrm{\infty })$
La inecuación se cumple para todos los números mayores que $2$.


$\mathbf{\text{b)}}$ $10x+24<16x+12$
Pasamos los términos con x al primer miembro y los números al segundo. Lo que está sumando pasa restando y lo que está restando pasa sumando:
$\boxed{{\displaystyle a+c<b⟹a<b-c}}$
$10x-16x<12-24$
Sumamos los términos semejantes de cada miembro:
$-6x<-12$
Dividimos los dos miembros entre $-6$. Como es un número negativo, la desigualdad SE DA LA VUELTA:
$\boxed{{\displaystyle a<b⟹{\displaystyle \frac{a}{-6}}>{\displaystyle \frac{b}{-6}}}}$
$x>{\displaystyle \frac{-12}{-6}}=2$
La solución, en forma de intervalo:
$x\in (2,\mathrm{\infty })$
La inecuación se cumple para todos los números mayores que $2$.


$\mathbf{\text{c)}}$ $-2x+3\ge -3x-1$
Pasamos los términos con x al primer miembro y los números al segundo. Lo que está sumando pasa restando y lo que está restando pasa sumando:
$\boxed{{\displaystyle a+c\ge b⟹a\ge b-c}}$
$-2x+3x\ge -1-3$
Sumamos los términos semejantes de cada miembro:
$x\ge -4$
La solución, en forma de intervalo:
$x\in [-4,\mathrm{\infty })$
La inecuación se cumple para todos los números mayores o iguales que $-4$.


$\mathbf{\text{d)}}$ $5(x+6)-5>-10$
Quitamos los paréntesis con la propiedad distributiva: el número de fuera multiplica a cada término de dentro:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c}}$
$5x+30-5>-10$
Pasamos los términos con x al primer miembro y los números al segundo. Lo que está sumando pasa restando y lo que está restando pasa sumando:
$\boxed{{\displaystyle a+c>b⟹a>b-c}}$
$5x>-10-30+5$
Sumamos los términos semejantes de cada miembro:
$5x>-35$
Dividimos los dos miembros entre $5$, que es positivo, así que la desigualdad no cambia de sentido:
$\boxed{{\displaystyle a>b⟹{\displaystyle \frac{a}{5}}>{\displaystyle \frac{b}{5}}}}$
$x>{\displaystyle \frac{-35}{5}}=-7$
La solución, en forma de intervalo:
$x\in (-7,\mathrm{\infty })$
La inecuación se cumple para todos los números mayores que $-7$.


$\mathbf{\text{e)}}$ $2(5-7x)\ge 52$
Quitamos los paréntesis con la propiedad distributiva: el número de fuera multiplica a cada término de dentro:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c}}$
$-14x+10\ge 52$
Pasamos los términos con x al primer miembro y los números al segundo. Lo que está sumando pasa restando y lo que está restando pasa sumando:
$\boxed{{\displaystyle a+c\ge b⟹a\ge b-c}}$
$-14x\ge 52-10$
Sumamos los términos semejantes de cada miembro:
$-14x\ge 42$
Dividimos los dos miembros entre $-14$. Como es un número negativo, la desigualdad SE DA LA VUELTA:
$\boxed{{\displaystyle a\ge b⟹{\displaystyle \frac{a}{-14}}\le {\displaystyle \frac{b}{-14}}}}$
$x\le {\displaystyle \frac{42}{-14}}=-3$
La solución, en forma de intervalo:
$x\in (-\mathrm{\infty },-3]$
La inecuación se cumple para todos los números menores o iguales que $-3$.


$\mathbf{\text{f)}}$ $3(2x-1)+1<-13-5x$
Quitamos los paréntesis con la propiedad distributiva: el número de fuera multiplica a cada término de dentro:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c}}$
$6x-3+1<-13-5x$
Pasamos los términos con x al primer miembro y los números al segundo. Lo que está sumando pasa restando y lo que está restando pasa sumando:
$\boxed{{\displaystyle a+c<b⟹a<b-c}}$
$6x+5x<-13+3-1$
Sumamos los términos semejantes de cada miembro:
$11x<-11$
Dividimos los dos miembros entre $11$, que es positivo, así que la desigualdad no cambia de sentido:
$\boxed{{\displaystyle a<b⟹{\displaystyle \frac{a}{11}}<{\displaystyle \frac{b}{11}}}}$
$x<{\displaystyle \frac{-11}{11}}=-1$
La solución, en forma de intervalo:
$x\in (-\mathrm{\infty },-1)$
La inecuación se cumple para todos los números menores que $-1$.