Ejercicio resuelto de Inecuaciones · Matemáticas 4 ESO

Resolver las siguientes inecuaciones:

a) ${\displaystyle \frac{x^2-8x+7}{x^2-3x-10}}<0$
b) ${\displaystyle \frac{x^2-2x-8}{x^2-1}}\ge 0$
c) ${\displaystyle \frac{x^2-3x-4}{x}}>0$
d) ${\displaystyle \frac{x^2-2x-3}{x^2-4}}>0$
e) ${\displaystyle \frac{x^2-4x-21}{x+10}}\le 0$
f) ${\displaystyle \frac{x^2+4x-77}{x+8}}\ge 0$
g) ${\displaystyle \frac{x^2-4x-77}{x+5}}\ge 0$

$\mathbf{\text{a)}}$ ${\displaystyle \frac{x^2-8x+7}{x^2-3x-10}}<0$
Una fracción no se puede multiplicar en cruz cuando no se conoce el signo del denominador. Lo que se hace es anular el numerador y el denominador por separado: esos valores son los que parten la recta real.
Numerador:
Resolvemos la ecuación con la fórmula general, con $a=1$, $b=-8$ y $c=7$:
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle a{x}^2+bx+c=0⟹}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle x={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}}\end{array}}}$
Primero el discriminante:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle b^2-4ac}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={(-8)}^2-4\cdot 1\cdot 7}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =64-28}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =36}\end{array}$
Y ahora las raíces:
$x={\displaystyle \frac{-(-8)\pm \sqrt{36}}{2\cdot 1}}={\displaystyle \frac{8\pm 6}{2}}$
$x_1=7x_2=1$
Denominador:
Resolvemos la ecuación con la fórmula general, con $a=1$, $b=-3$ y $c=-10$:
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle a{x}^2+bx+c=0⟹}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle x={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}}\end{array}}}$
Primero el discriminante:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle b^2-4ac}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={(-3)}^2-4\cdot 1\cdot (-10)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =9-(-40)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =49}\end{array}$
Y ahora las raíces:
$x={\displaystyle \frac{-(-3)\pm \sqrt{49}}{2\cdot 1}}={\displaystyle \frac{3\pm 7}{2}}$
$x_1=5x_2=-2$
El valor que anula el denominador no puede estar en la solución, porque ahí la fracción no existe:
$\boxed{{\displaystyle q(x)=0⟹{\displaystyle \frac{p(x)}{q(x)}}\text{ no existe}}}$
$x\mathrm{\ne }-2,x\mathrm{\ne }5$
Colocamos esos valores en la recta real y estudiamos el signo de cada tramo probando un número de cada uno:

Tramo	Valor de prueba	Signo $(-\mathrm{\infty },-2)$	$-3$	$+$ $(-2,1)$	$0$	$-$ $(1,5)$	$2$	$+$ $(5,7)$	$6$	$-$ $(7,\mathrm{\infty })$	$8$	$+$

La desigualdad es estricta, así que $x=1$ y $x=7$ anulan la expresión y quedan fuera de la solución.









La solución son los tramos con el signo que pide la inecuación:
$x\in (-2,1)\cup (5,7)$
La inecuación se cumple en dos tramos: para los números entre $-2$ y $1$, los dos excluidos, y para los números entre $5$ y $7$, los dos excluidos.


$\mathbf{\text{b)}}$ ${\displaystyle \frac{x^2-2x-8}{x^2-1}}\ge 0$
Una fracción no se puede multiplicar en cruz cuando no se conoce el signo del denominador. Lo que se hace es anular el numerador y el denominador por separado: esos valores son los que parten la recta real.
Numerador:
Resolvemos la ecuación con la fórmula general, con $a=1$, $b=-2$ y $c=-8$:
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle a{x}^2+bx+c=0⟹}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle x={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}}\end{array}}}$
Primero el discriminante:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle b^2-4ac}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={(-2)}^2-4\cdot 1\cdot (-8)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4-(-32)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =36}\end{array}$
Y ahora las raíces:
$x={\displaystyle \frac{-(-2)\pm \sqrt{36}}{2\cdot 1}}={\displaystyle \frac{2\pm 6}{2}}$
$x_1=4x_2=-2$
Denominador:
Resolvemos la ecuación con la fórmula general, con $a=1$, $b=0$ y $c=-1$:
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle a{x}^2+bx+c=0⟹}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle x={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}}\end{array}}}$
Primero el discriminante:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle b^2-4ac}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =0^2-4\cdot 1\cdot (-1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =0-(-4)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4}\end{array}$
Y ahora las raíces:
$x={\displaystyle \frac{\pm \sqrt{4}}{2\cdot 1}}={\displaystyle \frac{\pm 2}{2}}$
$x_1=1x_2=-1$
El valor que anula el denominador no puede estar en la solución, porque ahí la fracción no existe:
$\boxed{{\displaystyle q(x)=0⟹{\displaystyle \frac{p(x)}{q(x)}}\text{ no existe}}}$
$x\mathrm{\ne }-1,x\mathrm{\ne }1$
Colocamos esos valores en la recta real y estudiamos el signo de cada tramo probando un número de cada uno:

Tramo	Valor de prueba	Signo $(-\mathrm{\infty },-2)$	$-3$	$+$ $(-2,-1)$	$-{\displaystyle \frac{3}{2}}$	$-$ $(-1,1)$	$0$	$+$ $(1,4)$	$2$	$-$ $(4,\mathrm{\infty })$	$5$	$+$

La desigualdad no es estricta, así que $x=-2$ y $x=4$ anulan la expresión y entran en la solución.









La solución son los tramos con el signo que pide la inecuación:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle x\in (-\mathrm{\infty },-2]\cup (-1,1)\cup [4,\mathrm{\infty })}\end{array}$
La inecuación se cumple en varios tramos: para todos los números menores o iguales que $-2$, para los números entre $-1$ y $1$, los dos excluidos, y para todos los números mayores o iguales que $4$.


$\mathbf{\text{c)}}$ ${\displaystyle \frac{x^2-3x-4}{x}}>0$
Una fracción no se puede multiplicar en cruz cuando no se conoce el signo del denominador. Lo que se hace es anular el numerador y el denominador por separado: esos valores son los que parten la recta real.
Numerador:
Resolvemos la ecuación con la fórmula general, con $a=1$, $b=-3$ y $c=-4$:
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle a{x}^2+bx+c=0⟹}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle x={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}}\end{array}}}$
Primero el discriminante:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle b^2-4ac}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={(-3)}^2-4\cdot 1\cdot (-4)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =9-(-16)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =25}\end{array}$
Y ahora las raíces:
$x={\displaystyle \frac{-(-3)\pm \sqrt{25}}{2\cdot 1}}={\displaystyle \frac{3\pm 5}{2}}$
$x_1=4x_2=-1$
Denominador:
Es de primer grado: despejamos la x.
$x=0⟹x=0$
El valor que anula el denominador no puede estar en la solución, porque ahí la fracción no existe:
$\boxed{{\displaystyle q(x)=0⟹{\displaystyle \frac{p(x)}{q(x)}}\text{ no existe}}}$
$x\mathrm{\ne }0$
Colocamos esos valores en la recta real y estudiamos el signo de cada tramo probando un número de cada uno:

Tramo	Valor de prueba	Signo $(-\mathrm{\infty },-1)$	$-2$	$-$ $(-1,0)$	$-{\displaystyle \frac{1}{2}}$	$+$ $(0,4)$	$1$	$-$ $(4,\mathrm{\infty })$	$5$	$+$

La desigualdad es estricta, así que $x=-1$ y $x=4$ anulan la expresión y quedan fuera de la solución.









La solución son los tramos con el signo que pide la inecuación:
$x\in (-1,0)\cup (4,\mathrm{\infty })$
La inecuación se cumple en dos tramos: para los números entre $-1$ y $0$, los dos excluidos, y para todos los números mayores que $4$.


$\mathbf{\text{d)}}$ ${\displaystyle \frac{x^2-2x-3}{x^2-4}}>0$
Una fracción no se puede multiplicar en cruz cuando no se conoce el signo del denominador. Lo que se hace es anular el numerador y el denominador por separado: esos valores son los que parten la recta real.
Numerador:
Resolvemos la ecuación con la fórmula general, con $a=1$, $b=-2$ y $c=-3$:
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle a{x}^2+bx+c=0⟹}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle x={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}}\end{array}}}$
Primero el discriminante:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle b^2-4ac}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={(-2)}^2-4\cdot 1\cdot (-3)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4-(-12)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =16}\end{array}$
Y ahora las raíces:
$x={\displaystyle \frac{-(-2)\pm \sqrt{16}}{2\cdot 1}}={\displaystyle \frac{2\pm 4}{2}}$
$x_1=3x_2=-1$
Denominador:
Resolvemos la ecuación con la fórmula general, con $a=1$, $b=0$ y $c=-4$:
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle a{x}^2+bx+c=0⟹}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle x={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}}\end{array}}}$
Primero el discriminante:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle b^2-4ac}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =0^2-4\cdot 1\cdot (-4)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =0-(-16)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =16}\end{array}$
Y ahora las raíces:
$x={\displaystyle \frac{\pm \sqrt{16}}{2\cdot 1}}={\displaystyle \frac{\pm 4}{2}}$
$x_1=2x_2=-2$
El valor que anula el denominador no puede estar en la solución, porque ahí la fracción no existe:
$\boxed{{\displaystyle q(x)=0⟹{\displaystyle \frac{p(x)}{q(x)}}\text{ no existe}}}$
$x\mathrm{\ne }-2,x\mathrm{\ne }2$
Colocamos esos valores en la recta real y estudiamos el signo de cada tramo probando un número de cada uno:

Tramo	Valor de prueba	Signo $(-\mathrm{\infty },-2)$	$-3$	$+$ $(-2,-1)$	$-{\displaystyle \frac{3}{2}}$	$-$ $(-1,2)$	$0$	$+$ $(2,3)$	${\displaystyle \frac{5}{2}}$	$-$ $(3,\mathrm{\infty })$	$4$	$+$

La desigualdad es estricta, así que $x=-1$ y $x=3$ anulan la expresión y quedan fuera de la solución.









La solución son los tramos con el signo que pide la inecuación:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle x\in (-\mathrm{\infty },-2)\cup (-1,2)\cup (3,\mathrm{\infty })}\end{array}$
La inecuación se cumple en varios tramos: para todos los números menores que $-2$, para los números entre $-1$ y $2$, los dos excluidos, y para todos los números mayores que $3$.


$\mathbf{\text{e)}}$ ${\displaystyle \frac{x^2-4x-21}{x+10}}\le 0$
Una fracción no se puede multiplicar en cruz cuando no se conoce el signo del denominador. Lo que se hace es anular el numerador y el denominador por separado: esos valores son los que parten la recta real.
Numerador:
Resolvemos la ecuación con la fórmula general, con $a=1$, $b=-4$ y $c=-21$:
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle a{x}^2+bx+c=0⟹}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle x={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}}\end{array}}}$
Primero el discriminante:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle b^2-4ac}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={(-4)}^2-4\cdot 1\cdot (-21)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =16-(-84)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =100}\end{array}$
Y ahora las raíces:
$x={\displaystyle \frac{-(-4)\pm \sqrt{100}}{2\cdot 1}}={\displaystyle \frac{4\pm 10}{2}}$
$x_1=7x_2=-3$
Denominador:
Es de primer grado: despejamos la x.
$x+10=0⟹x=-10$
El valor que anula el denominador no puede estar en la solución, porque ahí la fracción no existe:
$\boxed{{\displaystyle q(x)=0⟹{\displaystyle \frac{p(x)}{q(x)}}\text{ no existe}}}$
$x\mathrm{\ne }-10$
Colocamos esos valores en la recta real y estudiamos el signo de cada tramo probando un número de cada uno:

Tramo	Valor de prueba	Signo $(-\mathrm{\infty },-10)$	$-11$	$-$ $(-10,-3)$	$-9$	$+$ $(-3,7)$	$0$	$-$ $(7,\mathrm{\infty })$	$8$	$+$

La desigualdad no es estricta, así que $x=-3$ y $x=7$ anulan la expresión y entran en la solución.









La solución son los tramos con el signo que pide la inecuación:
$x\in (-\mathrm{\infty },-10)\cup [-3,7]$
La inecuación se cumple en dos tramos: para todos los números menores que $-10$, y para los números entre $-3$ y $7$, los dos incluidos.


$\mathbf{\text{f)}}$ ${\displaystyle \frac{x^2+4x-77}{x+8}}\ge 0$
Una fracción no se puede multiplicar en cruz cuando no se conoce el signo del denominador. Lo que se hace es anular el numerador y el denominador por separado: esos valores son los que parten la recta real.
Numerador:
Resolvemos la ecuación con la fórmula general, con $a=1$, $b=4$ y $c=-77$:
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle a{x}^2+bx+c=0⟹}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle x={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}}\end{array}}}$
Primero el discriminante:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle b^2-4ac}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4^2-4\cdot 1\cdot (-77)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =16-(-308)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =324}\end{array}$
Y ahora las raíces:
$x={\displaystyle \frac{-4\pm \sqrt{324}}{2\cdot 1}}={\displaystyle \frac{-4\pm 18}{2}}$
$x_1=7x_2=-11$
Denominador:
Es de primer grado: despejamos la x.
$x+8=0⟹x=-8$
El valor que anula el denominador no puede estar en la solución, porque ahí la fracción no existe:
$\boxed{{\displaystyle q(x)=0⟹{\displaystyle \frac{p(x)}{q(x)}}\text{ no existe}}}$
$x\mathrm{\ne }-8$
Colocamos esos valores en la recta real y estudiamos el signo de cada tramo probando un número de cada uno:

Tramo	Valor de prueba	Signo $(-\mathrm{\infty },-11)$	$-12$	$-$ $(-11,-8)$	$-10$	$+$ $(-8,7)$	$0$	$-$ $(7,\mathrm{\infty })$	$8$	$+$

La desigualdad no es estricta, así que $x=-11$ y $x=7$ anulan la expresión y entran en la solución.









La solución son los tramos con el signo que pide la inecuación:
$x\in [-11,-8)\cup [7,\mathrm{\infty })$
La inecuación se cumple en dos tramos: para los números entre $-11$ y $-8$, con el primero y sin el segundo, y para todos los números mayores o iguales que $7$.


$\mathbf{\text{g)}}$ ${\displaystyle \frac{x^2-4x-77}{x+5}}\ge 0$
Una fracción no se puede multiplicar en cruz cuando no se conoce el signo del denominador. Lo que se hace es anular el numerador y el denominador por separado: esos valores son los que parten la recta real.
Numerador:
Resolvemos la ecuación con la fórmula general, con $a=1$, $b=-4$ y $c=-77$:
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle a{x}^2+bx+c=0⟹}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle x={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}}\end{array}}}$
Primero el discriminante:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle b^2-4ac}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={(-4)}^2-4\cdot 1\cdot (-77)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =16-(-308)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =324}\end{array}$
Y ahora las raíces:
$x={\displaystyle \frac{-(-4)\pm \sqrt{324}}{2\cdot 1}}={\displaystyle \frac{4\pm 18}{2}}$
$x_1=11x_2=-7$
Denominador:
Es de primer grado: despejamos la x.
$x+5=0⟹x=-5$
El valor que anula el denominador no puede estar en la solución, porque ahí la fracción no existe:
$\boxed{{\displaystyle q(x)=0⟹{\displaystyle \frac{p(x)}{q(x)}}\text{ no existe}}}$
$x\mathrm{\ne }-5$
Colocamos esos valores en la recta real y estudiamos el signo de cada tramo probando un número de cada uno:

Tramo	Valor de prueba	Signo $(-\mathrm{\infty },-7)$	$-8$	$-$ $(-7,-5)$	$-6$	$+$ $(-5,11)$	$0$	$-$ $(11,\mathrm{\infty })$	$12$	$+$

La desigualdad no es estricta, así que $x=-7$ y $x=11$ anulan la expresión y entran en la solución.









La solución son los tramos con el signo que pide la inecuación:
$x\in [-7,-5)\cup [11,\mathrm{\infty })$
La inecuación se cumple en dos tramos: para los números entre $-7$ y $-5$, con el primero y sin el segundo, y para todos los números mayores o iguales que $11$.