Ejercicio resuelto de Inecuaciones · Matemáticas 4 ESO

Resolver el siguiente sistema de inecuaciones:
$\{\begin{array}{l}-x^2+x+2>0\\ x^2+4\le (x+2{)}^2\\ 3x+5<x+7\end{array}$

Resolvemos la primera inecuación:
$-x^2+x+2>0$
El coeficiente de $x^2$ es negativo. Dividimos los dos miembros entre $-1$, con lo que cambian todos los signos y la desigualdad SE DA LA VUELTA:
$\boxed{{\displaystyle a>b⟹{\displaystyle \frac{a}{-1}}<{\displaystyle \frac{b}{-1}}}}$
$x^2-x-2<0$
Buscamos los valores que anulan el primer miembro: son los que parten la recta real en tramos.
Resolvemos la ecuación con la fórmula general, con $a=1$, $b=-1$ y $c=-2$:
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle a{x}^2+bx+c=0⟹}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle x={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}}\end{array}}}$
Primero el discriminante:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle b^2-4ac}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={(-1)}^2-4\cdot 1\cdot (-2)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1-(-8)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =9}\end{array}$
Y ahora las raíces:
$x={\displaystyle \frac{-(-1)\pm \sqrt{9}}{2\cdot 1}}={\displaystyle \frac{1\pm 3}{2}}$
$x_1=2x_2=-1$
Colocamos esos valores en la recta real y estudiamos el signo de cada tramo probando un número de cada uno:

Tramo	Valor de prueba	Signo $(-\mathrm{\infty },-1)$	$-2$	$+$ $(-1,2)$	$0$	$-$ $(2,\mathrm{\infty })$	$3$	$+$

La desigualdad es estricta, así que $x=-1$ y $x=2$ anulan la expresión y quedan fuera de la solución.
La solución son los tramos con el signo que pide la inecuación:
$x\in (-1,2)$
Es decir, $S_1=(-1,2)$.

Resolvemos la segunda inecuación:
$x^2+4\le (x+2{)}^2$
Hay un binomio al cuadrado: lo desarrollamos con la identidad notable:
$\boxed{{\displaystyle (a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2}}$
$x^2+4\le (x^2+4x+4)$
El paréntesis lleva un signo más delante y ningún número fuera, así que se quita tal cual:
$x^2+4\le x^2+4x+4$
Los dos miembros tienen el mismo término en $x^2$ ($x^2$), así que se puede quitar de los dos y queda de primer grado:
$4\le 4x+4$
La x está solo en el segundo miembro. Damos la vuelta a los dos miembros para tenerla a la izquierda; al hacerlo, la desigualdad cambia de sentido:
$4x+4\ge 4$
Pasamos los términos con x al primer miembro y los números al segundo. Lo que está sumando pasa restando y lo que está restando pasa sumando:
$\boxed{{\displaystyle a+c\ge b⟹a\ge b-c}}$
$4x\ge 4-4$
Sumamos los términos semejantes de cada miembro:
$4x\ge 0$
Dividimos los dos miembros entre $4$, que es positivo, así que la desigualdad no cambia de sentido:
$\boxed{{\displaystyle a\ge b⟹{\displaystyle \frac{a}{4}}\ge {\displaystyle \frac{b}{4}}}}$
$x\ge 0$
Es decir, $S_2=[0,\mathrm{\infty })$.

Resolvemos la tercera inecuación:
$3x+5<x+7$
Pasamos los términos con x al primer miembro y los números al segundo. Lo que está sumando pasa restando y lo que está restando pasa sumando:
$\boxed{{\displaystyle a+c<b⟹a<b-c}}$
$3x-x<7-5$
Sumamos los términos semejantes de cada miembro:
$2x<2$
Dividimos los dos miembros entre $2$, que es positivo, así que la desigualdad no cambia de sentido:
$\boxed{{\displaystyle a<b⟹{\displaystyle \frac{a}{2}}<{\displaystyle \frac{b}{2}}}}$
$x<{\displaystyle \frac{2}{2}}=1$
Es decir, $S_3=(-\mathrm{\infty },1)$.

La solución del sistema son los números que cumplen las tres inecuaciones a la vez, es decir, la intersección de los conjuntos:
$\boxed{{\displaystyle S=S_1\cap S_2\cap S_3}}$
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle S=(-1,2)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \cap [0,\mathrm{\infty })}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \cap (-\mathrm{\infty },1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =[0,1)}\end{array}$









El sistema se cumple para los números entre $0$ y $1$, con el primero y sin el segundo.