Ejercicio resuelto de Inecuaciones · Matemáticas 4 ESO

Representa las siguientes regiones:

a) $x-y\le 0$
b) $2x+3y<1$
c) $x+2y\ge 2$
d) $6x-y\ge 3$
e) $3x-2y\le 2$
f) $x-2y<3$
g) $3x-y\ge 3$
h) $4x-3y\le -1$

$\mathbf{\text{a)}}$ La frontera es la recta que sale de cambiar el signo de la desigualdad por un igual. Como el signo es $\le$, la recta es CONTINUA y sus puntos entran en la región:
$\boxed{{\displaystyle x-y=0}}$
Despejamos la y para poder dibujarla:
$-y=-x$
$y=x$
Con dos puntos basta para trazarla:

$x$	$y$ $0$	$0$ $1$	$1$

Para saber cuál de los dos semiplanos es la región, sustituimos un punto que no esté en la recta, el $(0,1)$, en el primer miembro, $x-y$:
$0-1=-1$
y lo comparamos con el segundo miembro:
$-1<0$
Cumple la desigualdad $\le$, así que la región es el semiplano que contiene a ese punto, el que queda por encima de la recta, con la recta incluida.









La región es la parte sombreada.






$\mathbf{\text{b)}}$ La frontera es la recta que sale de cambiar el signo de la desigualdad por un igual. Como el signo es $<$, la recta es DISCONTINUA y sus puntos NO entran en la región:
$\boxed{{\displaystyle 2x+3y=1}}$
Despejamos la y para poder dibujarla:
$3y=-2x+1$
$y={\displaystyle \frac{-2x+1}{3}}=-{\displaystyle \frac{2}{3}}x+{\displaystyle \frac{1}{3}}$
Con dos puntos basta para trazarla:

$x$	$y$ $-1$	$1$ $2$	$-1$

Para saber cuál de los dos semiplanos es la región, sustituimos un punto que no esté en la recta, el $(0,0)$, en el primer miembro, $2x+3y$:
$2\cdot 0+3\cdot 0=0$
y lo comparamos con el segundo miembro:
$0<1$
Cumple la desigualdad $<$, así que la región es el semiplano que contiene a ese punto, el que queda por debajo de la recta, sin la recta.









La región es la parte sombreada.






$\mathbf{\text{c)}}$ La frontera es la recta que sale de cambiar el signo de la desigualdad por un igual. Como el signo es $\ge$, la recta es CONTINUA y sus puntos entran en la región:
$\boxed{{\displaystyle x+2y=2}}$
Despejamos la y para poder dibujarla:
$2y=-x+2$
$y={\displaystyle \frac{-x+2}{2}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}x+1$
Con dos puntos basta para trazarla:

$x$	$y$ $0$	$1$ $2$	$0$

Para saber cuál de los dos semiplanos es la región, sustituimos un punto que no esté en la recta, el $(0,0)$, en el primer miembro, $x+2y$:
$0+2\cdot 0=0$
y lo comparamos con el segundo miembro:
$0<2$
No cumple la desigualdad $\ge$, así que la región es el OTRO semiplano, el que queda por encima de la recta, con la recta incluida.









La región es la parte sombreada.






$\mathbf{\text{d)}}$ La frontera es la recta que sale de cambiar el signo de la desigualdad por un igual. Como el signo es $\ge$, la recta es CONTINUA y sus puntos entran en la región:
$\boxed{{\displaystyle 6x-y=3}}$
Despejamos la y para poder dibujarla:
$-y=-6x+3$
$y=6x-3$
Con dos puntos basta para trazarla:

$x$	$y$ $0$	$-3$ $1$	$3$

Para saber cuál de los dos semiplanos es la región, sustituimos un punto que no esté en la recta, el $(0,0)$, en el primer miembro, $6x-y$:
$6\cdot 0-0=0$
y lo comparamos con el segundo miembro:
$0<3$
No cumple la desigualdad $\ge$, así que la región es el OTRO semiplano, el que queda por debajo de la recta, con la recta incluida.









La región es la parte sombreada.






$\mathbf{\text{e)}}$ La frontera es la recta que sale de cambiar el signo de la desigualdad por un igual. Como el signo es $\le$, la recta es CONTINUA y sus puntos entran en la región:
$\boxed{{\displaystyle 3x-2y=2}}$
Despejamos la y para poder dibujarla:
$-2y=-3x+2$
$y={\displaystyle \frac{-3x+2}{-2}}={\displaystyle \frac{3}{2}}x-1$
Con dos puntos basta para trazarla:

$x$	$y$ $0$	$-1$ $2$	$2$

Para saber cuál de los dos semiplanos es la región, sustituimos un punto que no esté en la recta, el $(0,0)$, en el primer miembro, $3x-2y$:
$3\cdot 0-2\cdot 0=0$
y lo comparamos con el segundo miembro:
$0<2$
Cumple la desigualdad $\le$, así que la región es el semiplano que contiene a ese punto, el que queda por encima de la recta, con la recta incluida.









La región es la parte sombreada.






$\mathbf{\text{f)}}$ La frontera es la recta que sale de cambiar el signo de la desigualdad por un igual. Como el signo es $<$, la recta es DISCONTINUA y sus puntos NO entran en la región:
$\boxed{{\displaystyle x-2y=3}}$
Despejamos la y para poder dibujarla:
$-2y=-x+3$
$y={\displaystyle \frac{-x+3}{-2}}={\displaystyle \frac{1}{2}}x-{\displaystyle \frac{3}{2}}$
Con dos puntos basta para trazarla:

$x$	$y$ $1$	$-1$ $-1$	$-2$

Para saber cuál de los dos semiplanos es la región, sustituimos un punto que no esté en la recta, el $(0,0)$, en el primer miembro, $x-2y$:
$0-2\cdot 0=0$
y lo comparamos con el segundo miembro:
$0<3$
Cumple la desigualdad $<$, así que la región es el semiplano que contiene a ese punto, el que queda por encima de la recta, sin la recta.









La región es la parte sombreada.






$\mathbf{\text{g)}}$ La frontera es la recta que sale de cambiar el signo de la desigualdad por un igual. Como el signo es $\ge$, la recta es CONTINUA y sus puntos entran en la región:
$\boxed{{\displaystyle 3x-y=3}}$
Despejamos la y para poder dibujarla:
$-y=-3x+3$
$y=3x-3$
Con dos puntos basta para trazarla:

$x$	$y$ $0$	$-3$ $1$	$0$

Para saber cuál de los dos semiplanos es la región, sustituimos un punto que no esté en la recta, el $(0,0)$, en el primer miembro, $3x-y$:
$3\cdot 0-0=0$
y lo comparamos con el segundo miembro:
$0<3$
No cumple la desigualdad $\ge$, así que la región es el OTRO semiplano, el que queda por debajo de la recta, con la recta incluida.









La región es la parte sombreada.






$\mathbf{\text{h)}}$ La frontera es la recta que sale de cambiar el signo de la desigualdad por un igual. Como el signo es $\le$, la recta es CONTINUA y sus puntos entran en la región:
$\boxed{{\displaystyle 4x-3y=-1}}$
Despejamos la y para poder dibujarla:
$-3y=-4x-1$
$y={\displaystyle \frac{-4x-1}{-3}}={\displaystyle \frac{4}{3}}x+{\displaystyle \frac{1}{3}}$
Con dos puntos basta para trazarla:

$x$	$y$ $-1$	$-1$ $2$	$3$

Para saber cuál de los dos semiplanos es la región, sustituimos un punto que no esté en la recta, el $(0,0)$, en el primer miembro, $4x-3y$:
$4\cdot 0-3\cdot 0=0$
y lo comparamos con el segundo miembro:
$0>-1$
No cumple la desigualdad $\le$, así que la región es el OTRO semiplano, el que queda por encima de la recta, con la recta incluida.









La región es la parte sombreada.