Ejercicio resuelto de Inecuaciones · Matemáticas 4 ESO

Resolver las siguientes inecuaciones expresando mediante intervalos los resultados:

a) $3x<15$
b) $3x-9>0$
c) $4x-20<0$
d) $4x-8>3x-14$
e) $3x+6>2x+12$
f) $5x+3>2x+6$

$\mathbf{\text{a)}}$ $3x<15$
Dividimos los dos miembros entre $3$, que es positivo, así que la desigualdad no cambia de sentido:
$\boxed{{\displaystyle a<b⟹{\displaystyle \frac{a}{3}}<{\displaystyle \frac{b}{3}}}}$
$x<{\displaystyle \frac{15}{3}}=5$
La solución, en forma de intervalo:
$x\in (-\mathrm{\infty },5)$
La inecuación se cumple para todos los números menores que $5$.


$\mathbf{\text{b)}}$ $3x-9>0$
Pasamos los términos con x al primer miembro y los números al segundo. Lo que está sumando pasa restando y lo que está restando pasa sumando:
$\boxed{{\displaystyle a+c>b⟹a>b-c}}$
$3x>9$
Dividimos los dos miembros entre $3$, que es positivo, así que la desigualdad no cambia de sentido:
$\boxed{{\displaystyle a>b⟹{\displaystyle \frac{a}{3}}>{\displaystyle \frac{b}{3}}}}$
$x>{\displaystyle \frac{9}{3}}=3$
La solución, en forma de intervalo:
$x\in (3,\mathrm{\infty })$
La inecuación se cumple para todos los números mayores que $3$.


$\mathbf{\text{c)}}$ $4x-20<0$
Pasamos los términos con x al primer miembro y los números al segundo. Lo que está sumando pasa restando y lo que está restando pasa sumando:
$\boxed{{\displaystyle a+c<b⟹a<b-c}}$
$4x<20$
Dividimos los dos miembros entre $4$, que es positivo, así que la desigualdad no cambia de sentido:
$\boxed{{\displaystyle a<b⟹{\displaystyle \frac{a}{4}}<{\displaystyle \frac{b}{4}}}}$
$x<{\displaystyle \frac{20}{4}}=5$
La solución, en forma de intervalo:
$x\in (-\mathrm{\infty },5)$
La inecuación se cumple para todos los números menores que $5$.


$\mathbf{\text{d)}}$ $4x-8>3x-14$
Pasamos los términos con x al primer miembro y los números al segundo. Lo que está sumando pasa restando y lo que está restando pasa sumando:
$\boxed{{\displaystyle a+c>b⟹a>b-c}}$
$4x-3x>-14+8$
Sumamos los términos semejantes de cada miembro:
$x>-6$
La solución, en forma de intervalo:
$x\in (-6,\mathrm{\infty })$
La inecuación se cumple para todos los números mayores que $-6$.


$\mathbf{\text{e)}}$ $3x+6>2x+12$
Pasamos los términos con x al primer miembro y los números al segundo. Lo que está sumando pasa restando y lo que está restando pasa sumando:
$\boxed{{\displaystyle a+c>b⟹a>b-c}}$
$3x-2x>12-6$
Sumamos los términos semejantes de cada miembro:
$x>6$
La solución, en forma de intervalo:
$x\in (6,\mathrm{\infty })$
La inecuación se cumple para todos los números mayores que $6$.


$\mathbf{\text{f)}}$ $5x+3>2x+6$
Pasamos los términos con x al primer miembro y los números al segundo. Lo que está sumando pasa restando y lo que está restando pasa sumando:
$\boxed{{\displaystyle a+c>b⟹a>b-c}}$
$5x-2x>6-3$
Sumamos los términos semejantes de cada miembro:
$3x>3$
Dividimos los dos miembros entre $3$, que es positivo, así que la desigualdad no cambia de sentido:
$\boxed{{\displaystyle a>b⟹{\displaystyle \frac{a}{3}}>{\displaystyle \frac{b}{3}}}}$
$x>{\displaystyle \frac{3}{3}}=1$
La solución, en forma de intervalo:
$x\in (1,\mathrm{\infty })$
La inecuación se cumple para todos los números mayores que $1$.