Ejercicio resuelto de Inecuaciones · Matemáticas 4 ESO

Resolver las siguientes inecuaciones:

a) ${\displaystyle \frac{x-2}{x+3}}>0$
b) ${\displaystyle \frac{x-3}{x+1}}\ge 0$
c) ${\displaystyle \frac{x-3}{x+1}}>0$
d) ${\displaystyle \frac{2x-1}{x}}>0$
e) ${\displaystyle \frac{x^2+x}{x-2}}>0$
f) ${\displaystyle \frac{x^2-25}{x^2-7x+10}}\le 0$
g) ${\displaystyle \frac{x^2-5x+6}{x^2-4x-5}}\ge 0$
h) ${\displaystyle \frac{x^2-4x+3}{x^2+3x+2}}\le 0$

$\mathbf{\text{a)}}$ ${\displaystyle \frac{x-2}{x+3}}>0$
Una fracción no se puede multiplicar en cruz cuando no se conoce el signo del denominador. Lo que se hace es anular el numerador y el denominador por separado: esos valores son los que parten la recta real.
Numerador:
Es de primer grado: despejamos la x.
$x-2=0⟹x=2$
Denominador:
Es de primer grado: despejamos la x.
$x+3=0⟹x=-3$
El valor que anula el denominador no puede estar en la solución, porque ahí la fracción no existe:
$\boxed{{\displaystyle q(x)=0⟹{\displaystyle \frac{p(x)}{q(x)}}\text{ no existe}}}$
$x\mathrm{\ne }-3$
Colocamos esos valores en la recta real y estudiamos el signo de cada tramo probando un número de cada uno:

Tramo	Valor de prueba	Signo $(-\mathrm{\infty },-3)$	$-4$	$+$ $(-3,2)$	$0$	$-$ $(2,\mathrm{\infty })$	$3$	$+$

La desigualdad es estricta, así que $x=2$ anula la expresión y queda fuera de la solución.









La solución son los tramos con el signo que pide la inecuación:
$x\in (-\mathrm{\infty },-3)\cup (2,\mathrm{\infty })$
La inecuación se cumple en dos tramos: para todos los números menores que $-3$, y para todos los números mayores que $2$.


$\mathbf{\text{b)}}$ ${\displaystyle \frac{x-3}{x+1}}\ge 0$
Una fracción no se puede multiplicar en cruz cuando no se conoce el signo del denominador. Lo que se hace es anular el numerador y el denominador por separado: esos valores son los que parten la recta real.
Numerador:
Es de primer grado: despejamos la x.
$x-3=0⟹x=3$
Denominador:
Es de primer grado: despejamos la x.
$x+1=0⟹x=-1$
El valor que anula el denominador no puede estar en la solución, porque ahí la fracción no existe:
$\boxed{{\displaystyle q(x)=0⟹{\displaystyle \frac{p(x)}{q(x)}}\text{ no existe}}}$
$x\mathrm{\ne }-1$
Colocamos esos valores en la recta real y estudiamos el signo de cada tramo probando un número de cada uno:

Tramo	Valor de prueba	Signo $(-\mathrm{\infty },-1)$	$-2$	$+$ $(-1,3)$	$0$	$-$ $(3,\mathrm{\infty })$	$4$	$+$

La desigualdad no es estricta, así que $x=3$ anula la expresión y entra en la solución.









La solución son los tramos con el signo que pide la inecuación:
$x\in (-\mathrm{\infty },-1)\cup [3,\mathrm{\infty })$
La inecuación se cumple en dos tramos: para todos los números menores que $-1$, y para todos los números mayores o iguales que $3$.


$\mathbf{\text{c)}}$ ${\displaystyle \frac{x-3}{x+1}}>0$
Una fracción no se puede multiplicar en cruz cuando no se conoce el signo del denominador. Lo que se hace es anular el numerador y el denominador por separado: esos valores son los que parten la recta real.
Numerador:
Es de primer grado: despejamos la x.
$x-3=0⟹x=3$
Denominador:
Es de primer grado: despejamos la x.
$x+1=0⟹x=-1$
El valor que anula el denominador no puede estar en la solución, porque ahí la fracción no existe:
$\boxed{{\displaystyle q(x)=0⟹{\displaystyle \frac{p(x)}{q(x)}}\text{ no existe}}}$
$x\mathrm{\ne }-1$
Colocamos esos valores en la recta real y estudiamos el signo de cada tramo probando un número de cada uno:

Tramo	Valor de prueba	Signo $(-\mathrm{\infty },-1)$	$-2$	$+$ $(-1,3)$	$0$	$-$ $(3,\mathrm{\infty })$	$4$	$+$

La desigualdad es estricta, así que $x=3$ anula la expresión y queda fuera de la solución.









La solución son los tramos con el signo que pide la inecuación:
$x\in (-\mathrm{\infty },-1)\cup (3,\mathrm{\infty })$
La inecuación se cumple en dos tramos: para todos los números menores que $-1$, y para todos los números mayores que $3$.


$\mathbf{\text{d)}}$ ${\displaystyle \frac{2x-1}{x}}>0$
Una fracción no se puede multiplicar en cruz cuando no se conoce el signo del denominador. Lo que se hace es anular el numerador y el denominador por separado: esos valores son los que parten la recta real.
Numerador:
Es de primer grado: despejamos la x.
$2x-1=0⟹x={\displaystyle \frac{1}{2}}$
Denominador:
Es de primer grado: despejamos la x.
$x=0⟹x=0$
El valor que anula el denominador no puede estar en la solución, porque ahí la fracción no existe:
$\boxed{{\displaystyle q(x)=0⟹{\displaystyle \frac{p(x)}{q(x)}}\text{ no existe}}}$
$x\mathrm{\ne }0$
Colocamos esos valores en la recta real y estudiamos el signo de cada tramo probando un número de cada uno:

Tramo	Valor de prueba	Signo $(-\mathrm{\infty },0)$	$-1$	$+$ $(0,1\mathrm{/}2)$	${\displaystyle \frac{1}{4}}$	$-$ $(1\mathrm{/}2,\mathrm{\infty })$	$1$	$+$

La desigualdad es estricta, así que $x={\displaystyle \frac{1}{2}}$ anula la expresión y queda fuera de la solución.









La solución son los tramos con el signo que pide la inecuación:
$x\in (-\mathrm{\infty },0)\cup (1\mathrm{/}2,\mathrm{\infty })$
La inecuación se cumple en dos tramos: para todos los números menores que $0$, y para todos los números mayores que $1\mathrm{/}2$.


$\mathbf{\text{e)}}$ ${\displaystyle \frac{x^2+x}{x-2}}>0$
Una fracción no se puede multiplicar en cruz cuando no se conoce el signo del denominador. Lo que se hace es anular el numerador y el denominador por separado: esos valores son los que parten la recta real.
Numerador:
Resolvemos la ecuación con la fórmula general, con $a=1$, $b=1$ y $c=0$:
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle a{x}^2+bx+c=0⟹}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle x={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}}\end{array}}}$
Primero el discriminante:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle b^2-4ac}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1^2-4\cdot 1\cdot 0}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1-0}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1}\end{array}$
Y ahora las raíces:
$x={\displaystyle \frac{-1\pm \sqrt{1}}{2\cdot 1}}={\displaystyle \frac{-1\pm 1}{2}}$
$x_1=0x_2=-1$
Denominador:
Es de primer grado: despejamos la x.
$x-2=0⟹x=2$
El valor que anula el denominador no puede estar en la solución, porque ahí la fracción no existe:
$\boxed{{\displaystyle q(x)=0⟹{\displaystyle \frac{p(x)}{q(x)}}\text{ no existe}}}$
$x\mathrm{\ne }2$
Colocamos esos valores en la recta real y estudiamos el signo de cada tramo probando un número de cada uno:

Tramo	Valor de prueba	Signo $(-\mathrm{\infty },-1)$	$-2$	$-$ $(-1,0)$	$-{\displaystyle \frac{1}{2}}$	$+$ $(0,2)$	$1$	$-$ $(2,\mathrm{\infty })$	$3$	$+$

La desigualdad es estricta, así que $x=-1$ y $x=0$ anulan la expresión y quedan fuera de la solución.









La solución son los tramos con el signo que pide la inecuación:
$x\in (-1,0)\cup (2,\mathrm{\infty })$
La inecuación se cumple en dos tramos: para los números entre $-1$ y $0$, los dos excluidos, y para todos los números mayores que $2$.


$\mathbf{\text{f)}}$ ${\displaystyle \frac{x^2-25}{x^2-7x+10}}\le 0$
Una fracción no se puede multiplicar en cruz cuando no se conoce el signo del denominador. Lo que se hace es anular el numerador y el denominador por separado: esos valores son los que parten la recta real.
Numerador:
Resolvemos la ecuación con la fórmula general, con $a=1$, $b=0$ y $c=-25$:
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle a{x}^2+bx+c=0⟹}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle x={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}}\end{array}}}$
Primero el discriminante:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle b^2-4ac}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =0^2-4\cdot 1\cdot (-25)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =0-(-100)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =100}\end{array}$
Y ahora las raíces:
$x={\displaystyle \frac{\pm \sqrt{100}}{2\cdot 1}}={\displaystyle \frac{\pm 10}{2}}$
$x_1=5x_2=-5$
Denominador:
Resolvemos la ecuación con la fórmula general, con $a=1$, $b=-7$ y $c=10$:
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle a{x}^2+bx+c=0⟹}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle x={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}}\end{array}}}$
Primero el discriminante:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle b^2-4ac}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={(-7)}^2-4\cdot 1\cdot 10}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =49-40}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =9}\end{array}$
Y ahora las raíces:
$x={\displaystyle \frac{-(-7)\pm \sqrt{9}}{2\cdot 1}}={\displaystyle \frac{7\pm 3}{2}}$
$x_1=5x_2=2$
El valor que anula el denominador no puede estar en la solución, porque ahí la fracción no existe:
$\boxed{{\displaystyle q(x)=0⟹{\displaystyle \frac{p(x)}{q(x)}}\text{ no existe}}}$
$x\mathrm{\ne }2,x\mathrm{\ne }5$
Ojo con $x=5$: anula también el numerador, pero eso da igual, porque si el denominador es 0 la fracción no existe.
Colocamos esos valores en la recta real y estudiamos el signo de cada tramo probando un número de cada uno:

Tramo	Valor de prueba	Signo $(-\mathrm{\infty },-5)$	$-6$	$+$ $(-5,2)$	$0$	$-$ $(2,5)$	$3$	$+$ $(5,\mathrm{\infty })$	$6$	$+$

La desigualdad no es estricta, así que $x=-5$ anula la expresión y entra en la solución.









La solución son los tramos con el signo que pide la inecuación:
$x\in [-5,2)$
La inecuación se cumple para los números entre $-5$ y $2$, con el primero y sin el segundo.


$\mathbf{\text{g)}}$ ${\displaystyle \frac{x^2-5x+6}{x^2-4x-5}}\ge 0$
Una fracción no se puede multiplicar en cruz cuando no se conoce el signo del denominador. Lo que se hace es anular el numerador y el denominador por separado: esos valores son los que parten la recta real.
Numerador:
Resolvemos la ecuación con la fórmula general, con $a=1$, $b=-5$ y $c=6$:
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle a{x}^2+bx+c=0⟹}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle x={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}}\end{array}}}$
Primero el discriminante:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle b^2-4ac}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={(-5)}^2-4\cdot 1\cdot 6}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =25-24}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1}\end{array}$
Y ahora las raíces:
$x={\displaystyle \frac{-(-5)\pm \sqrt{1}}{2\cdot 1}}={\displaystyle \frac{5\pm 1}{2}}$
$x_1=3x_2=2$
Denominador:
Resolvemos la ecuación con la fórmula general, con $a=1$, $b=-4$ y $c=-5$:
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle a{x}^2+bx+c=0⟹}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle x={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}}\end{array}}}$
Primero el discriminante:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle b^2-4ac}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={(-4)}^2-4\cdot 1\cdot (-5)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =16-(-20)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =36}\end{array}$
Y ahora las raíces:
$x={\displaystyle \frac{-(-4)\pm \sqrt{36}}{2\cdot 1}}={\displaystyle \frac{4\pm 6}{2}}$
$x_1=5x_2=-1$
El valor que anula el denominador no puede estar en la solución, porque ahí la fracción no existe:
$\boxed{{\displaystyle q(x)=0⟹{\displaystyle \frac{p(x)}{q(x)}}\text{ no existe}}}$
$x\mathrm{\ne }-1,x\mathrm{\ne }5$
Colocamos esos valores en la recta real y estudiamos el signo de cada tramo probando un número de cada uno:

Tramo	Valor de prueba	Signo $(-\mathrm{\infty },-1)$	$-2$	$+$ $(-1,2)$	$0$	$-$ $(2,3)$	${\displaystyle \frac{5}{2}}$	$+$ $(3,5)$	$4$	$-$ $(5,\mathrm{\infty })$	$6$	$+$

La desigualdad no es estricta, así que $x=2$ y $x=3$ anulan la expresión y entran en la solución.









La solución son los tramos con el signo que pide la inecuación:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle x\in (-\mathrm{\infty },-1)\cup [2,3]\cup (5,\mathrm{\infty })}\end{array}$
La inecuación se cumple en varios tramos: para todos los números menores que $-1$, para los números entre $2$ y $3$, los dos incluidos, y para todos los números mayores que $5$.


$\mathbf{\text{h)}}$ ${\displaystyle \frac{x^2-4x+3}{x^2+3x+2}}\le 0$
Una fracción no se puede multiplicar en cruz cuando no se conoce el signo del denominador. Lo que se hace es anular el numerador y el denominador por separado: esos valores son los que parten la recta real.
Numerador:
Resolvemos la ecuación con la fórmula general, con $a=1$, $b=-4$ y $c=3$:
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle a{x}^2+bx+c=0⟹}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle x={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}}\end{array}}}$
Primero el discriminante:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle b^2-4ac}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={(-4)}^2-4\cdot 1\cdot 3}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =16-12}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4}\end{array}$
Y ahora las raíces:
$x={\displaystyle \frac{-(-4)\pm \sqrt{4}}{2\cdot 1}}={\displaystyle \frac{4\pm 2}{2}}$
$x_1=3x_2=1$
Denominador:
Resolvemos la ecuación con la fórmula general, con $a=1$, $b=3$ y $c=2$:
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle a{x}^2+bx+c=0⟹}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle x={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}}\end{array}}}$
Primero el discriminante:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle b^2-4ac}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =3^2-4\cdot 1\cdot 2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =9-8}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1}\end{array}$
Y ahora las raíces:
$x={\displaystyle \frac{-3\pm \sqrt{1}}{2\cdot 1}}={\displaystyle \frac{-3\pm 1}{2}}$
$x_1=-1x_2=-2$
El valor que anula el denominador no puede estar en la solución, porque ahí la fracción no existe:
$\boxed{{\displaystyle q(x)=0⟹{\displaystyle \frac{p(x)}{q(x)}}\text{ no existe}}}$
$x\mathrm{\ne }-2,x\mathrm{\ne }-1$
Colocamos esos valores en la recta real y estudiamos el signo de cada tramo probando un número de cada uno:

Tramo	Valor de prueba	Signo $(-\mathrm{\infty },-2)$	$-3$	$+$ $(-2,-1)$	$-{\displaystyle \frac{3}{2}}$	$-$ $(-1,1)$	$0$	$+$ $(1,3)$	$2$	$-$ $(3,\mathrm{\infty })$	$4$	$+$

La desigualdad no es estricta, así que $x=1$ y $x=3$ anulan la expresión y entran en la solución.









La solución son los tramos con el signo que pide la inecuación:
$x\in (-2,-1)\cup [1,3]$
La inecuación se cumple en dos tramos: para los números entre $-2$ y $-1$, los dos excluidos, y para los números entre $1$ y $3$, los dos incluidos.