Ejercicio resuelto de Inecuaciones · Matemáticas 4 ESO

Resuelve, si se pudiese, los siguientes sistemas de inecuaciones:

a) $\{\begin{array}{l}10x+2\le 3x+10\\ 2(x+3)\ge x\end{array}$
b) $\{\begin{array}{l}x+3>0\\ x^2+x-2<0\end{array}$
c) $\{\begin{array}{l}x+1\le 0\\ x^2+x>0\end{array}$
d) $\{\begin{array}{l}{x}^2-4\le 0\\ x^2-2x-3\ge 0\end{array}$
e) $\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{x^2-4}{3-x}}>0\\ 2(4x-3)\le 9x-2\end{array}$
f) $\{\begin{array}{l}(x+1{)}^2-x^2+x+2>0\\ {\displaystyle \frac{x}{x-2}}>0\end{array}$
g) $\{\begin{array}{l}{x}^2-2x-8\le 0\\ {\displaystyle \frac{x-1}{x+1}}>0\end{array}$

$\mathbf{\text{a)}}$ Resolvemos la primera inecuación:
$10x+2\le 3x+10$
Pasamos los términos con x al primer miembro y los números al segundo. Lo que está sumando pasa restando y lo que está restando pasa sumando:
$\boxed{{\displaystyle a+c\le b⟹a\le b-c}}$
$10x-3x\le 10-2$
Sumamos los términos semejantes de cada miembro:
$7x\le 8$
Dividimos los dos miembros entre $7$, que es positivo, así que la desigualdad no cambia de sentido:
$\boxed{{\displaystyle a\le b⟹{\displaystyle \frac{a}{7}}\le {\displaystyle \frac{b}{7}}}}$
$x\le {\displaystyle \frac{8}{7}}$
Es decir, $S_1=(-\mathrm{\infty },8\mathrm{/}7]$.

Resolvemos la segunda inecuación:
$2(x+3)\ge x$
Quitamos los paréntesis con la propiedad distributiva: el número de fuera multiplica a cada término de dentro:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c}}$
$2x+6\ge x$
Pasamos los términos con x al primer miembro y los números al segundo. Lo que está sumando pasa restando y lo que está restando pasa sumando:
$\boxed{{\displaystyle a+c\ge b⟹a\ge b-c}}$
$2x-x\ge -6$
Sumamos los términos semejantes de cada miembro:
$x\ge -6$
Es decir, $S_2=[-6,\mathrm{\infty })$.

La solución del sistema son los números que cumplen las dos inecuaciones a la vez, es decir, la intersección de los conjuntos:
$\boxed{{\displaystyle S=S_1\cap S_2}}$
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle S=(-\mathrm{\infty },8\mathrm{/}7]}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \cap [-6,\mathrm{\infty })}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =[-6,8\mathrm{/}7]}\end{array}$









El sistema se cumple para los números entre $-6$ y $8\mathrm{/}7$, los dos incluidos.


$\mathbf{\text{b)}}$ Resolvemos la primera inecuación:
$x+3>0$
Pasamos los términos con x al primer miembro y los números al segundo. Lo que está sumando pasa restando y lo que está restando pasa sumando:
$\boxed{{\displaystyle a+c>b⟹a>b-c}}$
$x>-3$
Es decir, $S_1=(-3,\mathrm{\infty })$.

Resolvemos la segunda inecuación:
$x^2+x-2<0$
Buscamos los valores que anulan el primer miembro: son los que parten la recta real en tramos.
Resolvemos la ecuación con la fórmula general, con $a=1$, $b=1$ y $c=-2$:
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle a{x}^2+bx+c=0⟹}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle x={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}}\end{array}}}$
Primero el discriminante:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle b^2-4ac}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1^2-4\cdot 1\cdot (-2)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1-(-8)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =9}\end{array}$
Y ahora las raíces:
$x={\displaystyle \frac{-1\pm \sqrt{9}}{2\cdot 1}}={\displaystyle \frac{-1\pm 3}{2}}$
$x_1=1x_2=-2$
Colocamos esos valores en la recta real y estudiamos el signo de cada tramo probando un número de cada uno:

Tramo	Valor de prueba	Signo $(-\mathrm{\infty },-2)$	$-3$	$+$ $(-2,1)$	$0$	$-$ $(1,\mathrm{\infty })$	$2$	$+$

La desigualdad es estricta, así que $x=-2$ y $x=1$ anulan la expresión y quedan fuera de la solución.
La solución son los tramos con el signo que pide la inecuación:
$x\in (-2,1)$
Es decir, $S_2=(-2,1)$.

La solución del sistema son los números que cumplen las dos inecuaciones a la vez, es decir, la intersección de los conjuntos:
$\boxed{{\displaystyle S=S_1\cap S_2}}$
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle S=(-3,\mathrm{\infty })}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \cap (-2,1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(-2,1)}\end{array}$









El sistema se cumple para los números entre $-2$ y $1$, los dos excluidos.


$\mathbf{\text{c)}}$ Resolvemos la primera inecuación:
$x+1\le 0$
Pasamos los términos con x al primer miembro y los números al segundo. Lo que está sumando pasa restando y lo que está restando pasa sumando:
$\boxed{{\displaystyle a+c\le b⟹a\le b-c}}$
$x\le -1$
Es decir, $S_1=(-\mathrm{\infty },-1]$.

Resolvemos la segunda inecuación:
$x^2+x>0$
Buscamos los valores que anulan el primer miembro: son los que parten la recta real en tramos.
Resolvemos la ecuación con la fórmula general, con $a=1$, $b=1$ y $c=0$:
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle a{x}^2+bx+c=0⟹}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle x={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}}\end{array}}}$
Primero el discriminante:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle b^2-4ac}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1^2-4\cdot 1\cdot 0}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1-0}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1}\end{array}$
Y ahora las raíces:
$x={\displaystyle \frac{-1\pm \sqrt{1}}{2\cdot 1}}={\displaystyle \frac{-1\pm 1}{2}}$
$x_1=0x_2=-1$
Colocamos esos valores en la recta real y estudiamos el signo de cada tramo probando un número de cada uno:

Tramo	Valor de prueba	Signo $(-\mathrm{\infty },-1)$	$-2$	$+$ $(-1,0)$	$-{\displaystyle \frac{1}{2}}$	$-$ $(0,\mathrm{\infty })$	$1$	$+$

La desigualdad es estricta, así que $x=-1$ y $x=0$ anulan la expresión y quedan fuera de la solución.
La solución son los tramos con el signo que pide la inecuación:
$x\in (-\mathrm{\infty },-1)\cup (0,\mathrm{\infty })$
Es decir, $S_2=(-\mathrm{\infty },-1)\cup (0,\mathrm{\infty })$.

La solución del sistema son los números que cumplen las dos inecuaciones a la vez, es decir, la intersección de los conjuntos:
$\boxed{{\displaystyle S=S_1\cap S_2}}$
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle S=(-\mathrm{\infty },-1]}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \cap ((-\mathrm{\infty },-1)\cup (0,\mathrm{\infty }))}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(-\mathrm{\infty },-1)}\end{array}$









El sistema se cumple para todos los números menores que $-1$.


$\mathbf{\text{d)}}$ Resolvemos la primera inecuación:
$x^2-4\le 0$
Buscamos los valores que anulan el primer miembro: son los que parten la recta real en tramos.
Resolvemos la ecuación con la fórmula general, con $a=1$, $b=0$ y $c=-4$:
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle a{x}^2+bx+c=0⟹}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle x={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}}\end{array}}}$
Primero el discriminante:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle b^2-4ac}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =0^2-4\cdot 1\cdot (-4)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =0-(-16)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =16}\end{array}$
Y ahora las raíces:
$x={\displaystyle \frac{\pm \sqrt{16}}{2\cdot 1}}={\displaystyle \frac{\pm 4}{2}}$
$x_1=2x_2=-2$
Colocamos esos valores en la recta real y estudiamos el signo de cada tramo probando un número de cada uno:

Tramo	Valor de prueba	Signo $(-\mathrm{\infty },-2)$	$-3$	$+$ $(-2,2)$	$0$	$-$ $(2,\mathrm{\infty })$	$3$	$+$

La desigualdad no es estricta, así que $x=-2$ y $x=2$ anulan la expresión y entran en la solución.
La solución son los tramos con el signo que pide la inecuación:
$x\in [-2,2]$
Es decir, $S_1=[-2,2]$.

Resolvemos la segunda inecuación:
$x^2-2x-3\ge 0$
Buscamos los valores que anulan el primer miembro: son los que parten la recta real en tramos.
Resolvemos la ecuación con la fórmula general, con $a=1$, $b=-2$ y $c=-3$:
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle a{x}^2+bx+c=0⟹}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle x={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}}\end{array}}}$
Primero el discriminante:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle b^2-4ac}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={(-2)}^2-4\cdot 1\cdot (-3)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4-(-12)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =16}\end{array}$
Y ahora las raíces:
$x={\displaystyle \frac{-(-2)\pm \sqrt{16}}{2\cdot 1}}={\displaystyle \frac{2\pm 4}{2}}$
$x_1=3x_2=-1$
Colocamos esos valores en la recta real y estudiamos el signo de cada tramo probando un número de cada uno:

Tramo	Valor de prueba	Signo $(-\mathrm{\infty },-1)$	$-2$	$+$ $(-1,3)$	$0$	$-$ $(3,\mathrm{\infty })$	$4$	$+$

La desigualdad no es estricta, así que $x=-1$ y $x=3$ anulan la expresión y entran en la solución.
La solución son los tramos con el signo que pide la inecuación:
$x\in (-\mathrm{\infty },-1]\cup [3,\mathrm{\infty })$
Es decir, $S_2=(-\mathrm{\infty },-1]\cup [3,\mathrm{\infty })$.

La solución del sistema son los números que cumplen las dos inecuaciones a la vez, es decir, la intersección de los conjuntos:
$\boxed{{\displaystyle S=S_1\cap S_2}}$
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle S=[-2,2]}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \cap ((-\mathrm{\infty },-1]\cup [3,\mathrm{\infty }))}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =[-2,-1]}\end{array}$









El sistema se cumple para los números entre $-2$ y $-1$, los dos incluidos.


$\mathbf{\text{e)}}$ Resolvemos la primera inecuación:
${\displaystyle \frac{x^2-4}{3-x}}>0$
Una fracción no se puede multiplicar en cruz cuando no se conoce el signo del denominador. Lo que se hace es anular el numerador y el denominador por separado: esos valores son los que parten la recta real.
Numerador:
Resolvemos la ecuación con la fórmula general, con $a=1$, $b=0$ y $c=-4$:
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle a{x}^2+bx+c=0⟹}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle x={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}}\end{array}}}$
Primero el discriminante:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle b^2-4ac}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =0^2-4\cdot 1\cdot (-4)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =0-(-16)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =16}\end{array}$
Y ahora las raíces:
$x={\displaystyle \frac{\pm \sqrt{16}}{2\cdot 1}}={\displaystyle \frac{\pm 4}{2}}$
$x_1=2x_2=-2$
Denominador:
Es de primer grado: despejamos la x.
$-x+3=0⟹x=3$
El valor que anula el denominador no puede estar en la solución, porque ahí la fracción no existe:
$\boxed{{\displaystyle q(x)=0⟹{\displaystyle \frac{p(x)}{q(x)}}\text{ no existe}}}$
$x\mathrm{\ne }3$
Colocamos esos valores en la recta real y estudiamos el signo de cada tramo probando un número de cada uno:

Tramo	Valor de prueba	Signo $(-\mathrm{\infty },-2)$	$-3$	$+$ $(-2,2)$	$0$	$-$ $(2,3)$	${\displaystyle \frac{5}{2}}$	$+$ $(3,\mathrm{\infty })$	$4$	$-$

La desigualdad es estricta, así que $x=-2$ y $x=2$ anulan la expresión y quedan fuera de la solución.
La solución son los tramos con el signo que pide la inecuación:
$x\in (-\mathrm{\infty },-2)\cup (2,3)$
Es decir, $S_1=(-\mathrm{\infty },-2)\cup (2,3)$.

Resolvemos la segunda inecuación:
$2(4x-3)\le 9x-2$
Quitamos los paréntesis con la propiedad distributiva: el número de fuera multiplica a cada término de dentro:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c}}$
$8x-6\le 9x-2$
Pasamos los términos con x al primer miembro y los números al segundo. Lo que está sumando pasa restando y lo que está restando pasa sumando:
$\boxed{{\displaystyle a+c\le b⟹a\le b-c}}$
$8x-9x\le -2+6$
Sumamos los términos semejantes de cada miembro:
$-x\le 4$
Dividimos los dos miembros entre $-1$. Como es un número negativo, la desigualdad SE DA LA VUELTA:
$\boxed{{\displaystyle a\le b⟹{\displaystyle \frac{a}{-1}}\ge {\displaystyle \frac{b}{-1}}}}$
$x\ge {\displaystyle \frac{4}{-1}}=-4$
Es decir, $S_2=[-4,\mathrm{\infty })$.

La solución del sistema son los números que cumplen las dos inecuaciones a la vez, es decir, la intersección de los conjuntos:
$\boxed{{\displaystyle S=S_1\cap S_2}}$
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle S=((-\mathrm{\infty },-2)\cup (2,3))}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \cap [-4,\mathrm{\infty })}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =[-4,-2)\cup (2,3)}\end{array}$









El sistema se cumple en dos tramos: para los números entre $-4$ y $-2$, con el primero y sin el segundo, y para los números entre $2$ y $3$, los dos excluidos.


$\mathbf{\text{f)}}$ Resolvemos la primera inecuación:
$(x+1{)}^2-x^2+x+2>0$
Hay un binomio al cuadrado: lo desarrollamos con la identidad notable:
$\boxed{{\displaystyle (a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2}}$
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle (x^2+2x+1)-x^2+x+2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle >0}\end{array}$
El paréntesis lleva un signo más delante y ningún número fuera, así que se quita tal cual:
$x^2+2x+1-x^2+x+2>0$
Los términos en $x^2$ se cancelan entre sí, así que queda de primer grado:
$2x+1+x+2>0$
Pasamos los términos con x al primer miembro y los números al segundo. Lo que está sumando pasa restando y lo que está restando pasa sumando:
$\boxed{{\displaystyle a+c>b⟹a>b-c}}$
$2x+x>-1-2$
Sumamos los términos semejantes de cada miembro:
$3x>-3$
Dividimos los dos miembros entre $3$, que es positivo, así que la desigualdad no cambia de sentido:
$\boxed{{\displaystyle a>b⟹{\displaystyle \frac{a}{3}}>{\displaystyle \frac{b}{3}}}}$
$x>{\displaystyle \frac{-3}{3}}=-1$
Es decir, $S_1=(-1,\mathrm{\infty })$.

Resolvemos la segunda inecuación:
${\displaystyle \frac{x}{x-2}}>0$
Una fracción no se puede multiplicar en cruz cuando no se conoce el signo del denominador. Lo que se hace es anular el numerador y el denominador por separado: esos valores son los que parten la recta real.
Numerador:
Es de primer grado: despejamos la x.
$x=0⟹x=0$
Denominador:
Es de primer grado: despejamos la x.
$x-2=0⟹x=2$
El valor que anula el denominador no puede estar en la solución, porque ahí la fracción no existe:
$\boxed{{\displaystyle q(x)=0⟹{\displaystyle \frac{p(x)}{q(x)}}\text{ no existe}}}$
$x\mathrm{\ne }2$
Colocamos esos valores en la recta real y estudiamos el signo de cada tramo probando un número de cada uno:

Tramo	Valor de prueba	Signo $(-\mathrm{\infty },0)$	$-1$	$+$ $(0,2)$	$1$	$-$ $(2,\mathrm{\infty })$	$3$	$+$

La desigualdad es estricta, así que $x=0$ anula la expresión y queda fuera de la solución.
La solución son los tramos con el signo que pide la inecuación:
$x\in (-\mathrm{\infty },0)\cup (2,\mathrm{\infty })$
Es decir, $S_2=(-\mathrm{\infty },0)\cup (2,\mathrm{\infty })$.

La solución del sistema son los números que cumplen las dos inecuaciones a la vez, es decir, la intersección de los conjuntos:
$\boxed{{\displaystyle S=S_1\cap S_2}}$
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle S=(-1,\mathrm{\infty })}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \cap ((-\mathrm{\infty },0)\cup (2,\mathrm{\infty }))}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(-1,0)\cup (2,\mathrm{\infty })}\end{array}$









El sistema se cumple en dos tramos: para los números entre $-1$ y $0$, los dos excluidos, y para todos los números mayores que $2$.


$\mathbf{\text{g)}}$ Resolvemos la primera inecuación:
$x^2-2x-8\le 0$
Buscamos los valores que anulan el primer miembro: son los que parten la recta real en tramos.
Resolvemos la ecuación con la fórmula general, con $a=1$, $b=-2$ y $c=-8$:
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle a{x}^2+bx+c=0⟹}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle x={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}}\end{array}}}$
Primero el discriminante:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle b^2-4ac}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={(-2)}^2-4\cdot 1\cdot (-8)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4-(-32)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =36}\end{array}$
Y ahora las raíces:
$x={\displaystyle \frac{-(-2)\pm \sqrt{36}}{2\cdot 1}}={\displaystyle \frac{2\pm 6}{2}}$
$x_1=4x_2=-2$
Colocamos esos valores en la recta real y estudiamos el signo de cada tramo probando un número de cada uno:

Tramo	Valor de prueba	Signo $(-\mathrm{\infty },-2)$	$-3$	$+$ $(-2,4)$	$0$	$-$ $(4,\mathrm{\infty })$	$5$	$+$

La desigualdad no es estricta, así que $x=-2$ y $x=4$ anulan la expresión y entran en la solución.
La solución son los tramos con el signo que pide la inecuación:
$x\in [-2,4]$
Es decir, $S_1=[-2,4]$.

Resolvemos la segunda inecuación:
${\displaystyle \frac{x-1}{x+1}}>0$
Una fracción no se puede multiplicar en cruz cuando no se conoce el signo del denominador. Lo que se hace es anular el numerador y el denominador por separado: esos valores son los que parten la recta real.
Numerador:
Es de primer grado: despejamos la x.
$x-1=0⟹x=1$
Denominador:
Es de primer grado: despejamos la x.
$x+1=0⟹x=-1$
El valor que anula el denominador no puede estar en la solución, porque ahí la fracción no existe:
$\boxed{{\displaystyle q(x)=0⟹{\displaystyle \frac{p(x)}{q(x)}}\text{ no existe}}}$
$x\mathrm{\ne }-1$
Colocamos esos valores en la recta real y estudiamos el signo de cada tramo probando un número de cada uno:

Tramo	Valor de prueba	Signo $(-\mathrm{\infty },-1)$	$-2$	$+$ $(-1,1)$	$0$	$-$ $(1,\mathrm{\infty })$	$2$	$+$

La desigualdad es estricta, así que $x=1$ anula la expresión y queda fuera de la solución.
La solución son los tramos con el signo que pide la inecuación:
$x\in (-\mathrm{\infty },-1)\cup (1,\mathrm{\infty })$
Es decir, $S_2=(-\mathrm{\infty },-1)\cup (1,\mathrm{\infty })$.

La solución del sistema son los números que cumplen las dos inecuaciones a la vez, es decir, la intersección de los conjuntos:
$\boxed{{\displaystyle S=S_1\cap S_2}}$
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle S=[-2,4]}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \cap ((-\mathrm{\infty },-1)\cup (1,\mathrm{\infty }))}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =[-2,-1)\cup (1,4]}\end{array}$









El sistema se cumple en dos tramos: para los números entre $-2$ y $-1$, con el primero y sin el segundo, y para los números entre $1$ y $4$, sin el primero y con el segundo.