Ejercicio resuelto de Inecuaciones · Matemáticas 4 ESO

Resolver las siguientes inecuaciones:

a) $-27x\le -12x^2$
b) $9x^2-6x+1\le 0$
c) $x^2+5x-14<0$
d) $(x-2)(x+1)\ge 18$
e) $x^2+3x-54<0$
f) $x^2+3x-40>0$
g) $x^2+9x+14>0$

$\mathbf{\text{a)}}$ $-27x\le -12x^2$
Pasamos todo al primer miembro, para dejar la inecuación con un 0 en el segundo:
$\boxed{{\displaystyle a+c\le b⟹a\le b-c}}$
$12x^2-27x\le 0$
Los tres coeficientes son múltiplos de $3$. Dividimos entre él, que es positivo, para trabajar con números más pequeños:
$\boxed{{\displaystyle a\le b⟹{\displaystyle \frac{a}{3}}\le {\displaystyle \frac{b}{3}}}}$
$4x^2-9x\le 0$
Buscamos los valores que anulan el primer miembro: son los que parten la recta real en tramos.
Resolvemos la ecuación con la fórmula general, con $a=4$, $b=-9$ y $c=0$:
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle a{x}^2+bx+c=0⟹}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle x={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}}\end{array}}}$
Primero el discriminante:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle b^2-4ac}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={(-9)}^2-4\cdot 4\cdot 0}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =81-0}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =81}\end{array}$
Y ahora las raíces:
$x={\displaystyle \frac{-(-9)\pm \sqrt{81}}{2\cdot 4}}={\displaystyle \frac{9\pm 9}{8}}$
$x_1={\displaystyle \frac{9}{4}}{x}_2=0$
Colocamos esos valores en la recta real y estudiamos el signo de cada tramo probando un número de cada uno:

Tramo	Valor de prueba	Signo $(-\mathrm{\infty },0)$	$-1$	$+$ $(0,9\mathrm{/}4)$	$1$	$-$ $(9\mathrm{/}4,\mathrm{\infty })$	$3$	$+$

La desigualdad no es estricta, así que $x=0$ y $x={\displaystyle \frac{9}{4}}$ anulan la expresión y entran en la solución.









La solución son los tramos con el signo que pide la inecuación:
$x\in [0,9\mathrm{/}4]$
La inecuación se cumple para los números entre $0$ y $9\mathrm{/}4$, los dos incluidos.


$\mathbf{\text{b)}}$ $9x^2-6x+1\le 0$
Buscamos los valores que anulan el primer miembro: son los que parten la recta real en tramos.
Resolvemos la ecuación con la fórmula general, con $a=9$, $b=-6$ y $c=1$:
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle a{x}^2+bx+c=0⟹}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle x={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}}\end{array}}}$
Primero el discriminante:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle b^2-4ac}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={(-6)}^2-4\cdot 9\cdot 1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =36-36}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =0}\end{array}$
El discriminante vale 0, así que la raíz es única (doble):
$x={\displaystyle \frac{-(-6)}{2\cdot 9}}={\displaystyle \frac{6}{18}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$
Colocamos ese valor en la recta real y estudiamos el signo de cada tramo probando un número de cada uno:

Tramo	Valor de prueba	Signo $(-\mathrm{\infty },1\mathrm{/}3)$	$-1$	$+$ $(1\mathrm{/}3,\mathrm{\infty })$	$1$	$+$

La desigualdad no es estricta, así que $x={\displaystyle \frac{1}{3}}$ anula la expresión y entra en la solución.









Ningún tramo tiene el signo que pide la inecuación: lo único que la cumple es el valor que anula la expresión.
$x\in \{1\mathrm{/}3\}$
La inecuación se cumple solo para $1\mathrm{/}3$.


$\mathbf{\text{c)}}$ $x^2+5x-14<0$
Buscamos los valores que anulan el primer miembro: son los que parten la recta real en tramos.
Resolvemos la ecuación con la fórmula general, con $a=1$, $b=5$ y $c=-14$:
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle a{x}^2+bx+c=0⟹}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle x={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}}\end{array}}}$
Primero el discriminante:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle b^2-4ac}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =5^2-4\cdot 1\cdot (-14)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =25-(-56)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =81}\end{array}$
Y ahora las raíces:
$x={\displaystyle \frac{-5\pm \sqrt{81}}{2\cdot 1}}={\displaystyle \frac{-5\pm 9}{2}}$
$x_1=2x_2=-7$
Colocamos esos valores en la recta real y estudiamos el signo de cada tramo probando un número de cada uno:

Tramo	Valor de prueba	Signo $(-\mathrm{\infty },-7)$	$-8$	$+$ $(-7,2)$	$0$	$-$ $(2,\mathrm{\infty })$	$3$	$+$

La desigualdad es estricta, así que $x=-7$ y $x=2$ anulan la expresión y quedan fuera de la solución.









La solución son los tramos con el signo que pide la inecuación:
$x\in (-7,2)$
La inecuación se cumple para los números entre $-7$ y $2$, los dos excluidos.


$\mathbf{\text{d)}}$ $(x-2)(x+1)\ge 18$
Quitamos los paréntesis con la propiedad distributiva: el número de fuera multiplica a cada término de dentro:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c}}$
$x^2-x-2\ge 18$
Pasamos todo al primer miembro, para dejar la inecuación con un 0 en el segundo:
$\boxed{{\displaystyle a+c\ge b⟹a\ge b-c}}$
$x^2-x-20\ge 0$
Buscamos los valores que anulan el primer miembro: son los que parten la recta real en tramos.
Resolvemos la ecuación con la fórmula general, con $a=1$, $b=-1$ y $c=-20$:
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle a{x}^2+bx+c=0⟹}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle x={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}}\end{array}}}$
Primero el discriminante:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle b^2-4ac}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={(-1)}^2-4\cdot 1\cdot (-20)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1-(-80)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =81}\end{array}$
Y ahora las raíces:
$x={\displaystyle \frac{-(-1)\pm \sqrt{81}}{2\cdot 1}}={\displaystyle \frac{1\pm 9}{2}}$
$x_1=5x_2=-4$
Colocamos esos valores en la recta real y estudiamos el signo de cada tramo probando un número de cada uno:

Tramo	Valor de prueba	Signo $(-\mathrm{\infty },-4)$	$-5$	$+$ $(-4,5)$	$0$	$-$ $(5,\mathrm{\infty })$	$6$	$+$

La desigualdad no es estricta, así que $x=-4$ y $x=5$ anulan la expresión y entran en la solución.









La solución son los tramos con el signo que pide la inecuación:
$x\in (-\mathrm{\infty },-4]\cup [5,\mathrm{\infty })$
La inecuación se cumple en dos tramos: para todos los números menores o iguales que $-4$, y para todos los números mayores o iguales que $5$.


$\mathbf{\text{e)}}$ $x^2+3x-54<0$
Buscamos los valores que anulan el primer miembro: son los que parten la recta real en tramos.
Resolvemos la ecuación con la fórmula general, con $a=1$, $b=3$ y $c=-54$:
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle a{x}^2+bx+c=0⟹}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle x={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}}\end{array}}}$
Primero el discriminante:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle b^2-4ac}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =3^2-4\cdot 1\cdot (-54)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =9-(-216)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =225}\end{array}$
Y ahora las raíces:
$x={\displaystyle \frac{-3\pm \sqrt{225}}{2\cdot 1}}={\displaystyle \frac{-3\pm 15}{2}}$
$x_1=6x_2=-9$
Colocamos esos valores en la recta real y estudiamos el signo de cada tramo probando un número de cada uno:

Tramo	Valor de prueba	Signo $(-\mathrm{\infty },-9)$	$-10$	$+$ $(-9,6)$	$0$	$-$ $(6,\mathrm{\infty })$	$7$	$+$

La desigualdad es estricta, así que $x=-9$ y $x=6$ anulan la expresión y quedan fuera de la solución.









La solución son los tramos con el signo que pide la inecuación:
$x\in (-9,6)$
La inecuación se cumple para los números entre $-9$ y $6$, los dos excluidos.


$\mathbf{\text{f)}}$ $x^2+3x-40>0$
Buscamos los valores que anulan el primer miembro: son los que parten la recta real en tramos.
Resolvemos la ecuación con la fórmula general, con $a=1$, $b=3$ y $c=-40$:
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle a{x}^2+bx+c=0⟹}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle x={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}}\end{array}}}$
Primero el discriminante:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle b^2-4ac}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =3^2-4\cdot 1\cdot (-40)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =9-(-160)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =169}\end{array}$
Y ahora las raíces:
$x={\displaystyle \frac{-3\pm \sqrt{169}}{2\cdot 1}}={\displaystyle \frac{-3\pm 13}{2}}$
$x_1=5x_2=-8$
Colocamos esos valores en la recta real y estudiamos el signo de cada tramo probando un número de cada uno:

Tramo	Valor de prueba	Signo $(-\mathrm{\infty },-8)$	$-9$	$+$ $(-8,5)$	$0$	$-$ $(5,\mathrm{\infty })$	$6$	$+$

La desigualdad es estricta, así que $x=-8$ y $x=5$ anulan la expresión y quedan fuera de la solución.









La solución son los tramos con el signo que pide la inecuación:
$x\in (-\mathrm{\infty },-8)\cup (5,\mathrm{\infty })$
La inecuación se cumple en dos tramos: para todos los números menores que $-8$, y para todos los números mayores que $5$.


$\mathbf{\text{g)}}$ $x^2+9x+14>0$
Buscamos los valores que anulan el primer miembro: son los que parten la recta real en tramos.
Resolvemos la ecuación con la fórmula general, con $a=1$, $b=9$ y $c=14$:
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle a{x}^2+bx+c=0⟹}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle x={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}}\end{array}}}$
Primero el discriminante:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle b^2-4ac}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =9^2-4\cdot 1\cdot 14}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =81-56}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =25}\end{array}$
Y ahora las raíces:
$x={\displaystyle \frac{-9\pm \sqrt{25}}{2\cdot 1}}={\displaystyle \frac{-9\pm 5}{2}}$
$x_1=-2x_2=-7$
Colocamos esos valores en la recta real y estudiamos el signo de cada tramo probando un número de cada uno:

Tramo	Valor de prueba	Signo $(-\mathrm{\infty },-7)$	$-8$	$+$ $(-7,-2)$	$-6$	$-$ $(-2,\mathrm{\infty })$	$-1$	$+$

La desigualdad es estricta, así que $x=-7$ y $x=-2$ anulan la expresión y quedan fuera de la solución.









La solución son los tramos con el signo que pide la inecuación:
$x\in (-\mathrm{\infty },-7)\cup (-2,\mathrm{\infty })$
La inecuación se cumple en dos tramos: para todos los números menores que $-7$, y para todos los números mayores que $-2$.