Ejercicio resuelto de Inecuaciones · Matemáticas 4 ESO

Resolver las siguientes inecuaciones expresando los resultados mediante intervalos:

a) ${\displaystyle \frac{x}{10}}>4x-{\displaystyle \frac{78}{10}}$
b) ${\displaystyle \frac{2x}{3}}+{\displaystyle \frac{5x-1}{2}}<{\displaystyle \frac{26}{3}}$
c) ${\displaystyle \frac{3(4x-7)}{4}}-{\displaystyle \frac{x}{8}}\ge {\displaystyle \frac{3x}{8}}-{\displaystyle \frac{21}{4}}$
d) ${\displaystyle \frac{3x+5}{6}}-{\displaystyle \frac{5-2x}{2}}\le {\displaystyle \frac{x-12}{3}}$
e) ${\displaystyle \frac{4-3x}{3}}-{\displaystyle \frac{2x-3}{4}}>-{\displaystyle \frac{65}{13}}$
f) ${\displaystyle \frac{2}{3}}-x+{\displaystyle \frac{1}{6}}-{\displaystyle \frac{x}{3}}\ge {\displaystyle \frac{19-22x}{18}}$

$\mathbf{\text{a)}}$ ${\displaystyle \frac{x}{10}}>4x-{\displaystyle \frac{78}{10}}$
El denominador es $10$. Para quitarlo multiplicamos los dos miembros por $10$, que es un número positivo, así que la desigualdad no cambia de sentido:
$\boxed{{\displaystyle a>b⟹10a>10b}}$
$10\cdot {\displaystyle \frac{x}{10}}>10\cdot 4x-10\cdot {\displaystyle \frac{78}{10}}$
Simplificamos cada fracción y hacemos los productos que quedan:
$x>40x-78$
Pasamos los términos con x al primer miembro y los números al segundo. Lo que está sumando pasa restando y lo que está restando pasa sumando:
$\boxed{{\displaystyle a+c>b⟹a>b-c}}$
$x-40x>-78$
Sumamos los términos semejantes de cada miembro:
$-39x>-78$
Dividimos los dos miembros entre $-39$. Como es un número negativo, la desigualdad SE DA LA VUELTA:
$\boxed{{\displaystyle a>b⟹{\displaystyle \frac{a}{-39}}<{\displaystyle \frac{b}{-39}}}}$
$x<{\displaystyle \frac{-78}{-39}}=2$
La solución, en forma de intervalo:
$x\in (-\mathrm{\infty },2)$
La inecuación se cumple para todos los números menores que $2$.


$\mathbf{\text{b)}}$ ${\displaystyle \frac{2x}{3}}+{\displaystyle \frac{5x-1}{2}}<{\displaystyle \frac{26}{3}}$
Los denominadores son $3$ y $2$, y su mínimo común múltiplo es $6$. Multiplicamos los dos miembros por él, que es un número positivo, así que la desigualdad no cambia de sentido:
$\boxed{{\displaystyle a<b⟹6a<6b}}$
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle 6\cdot {\displaystyle \frac{2x}{3}}+6\cdot {\displaystyle \frac{5x-1}{2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle <6\cdot {\displaystyle \frac{26}{3}}}\end{array}$
Simplificamos cada fracción y hacemos los productos que quedan:
$4x+3(5x-1)<52$
Quitamos los paréntesis con la propiedad distributiva: el número de fuera multiplica a cada término de dentro:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c}}$
$4x+15x-3<52$
Pasamos los términos con x al primer miembro y los números al segundo. Lo que está sumando pasa restando y lo que está restando pasa sumando:
$\boxed{{\displaystyle a+c<b⟹a<b-c}}$
$4x+15x<52+3$
Sumamos los términos semejantes de cada miembro:
$19x<55$
Dividimos los dos miembros entre $19$, que es positivo, así que la desigualdad no cambia de sentido:
$\boxed{{\displaystyle a<b⟹{\displaystyle \frac{a}{19}}<{\displaystyle \frac{b}{19}}}}$
$x<{\displaystyle \frac{55}{19}}$
La solución, en forma de intervalo:
$x\in (-\mathrm{\infty },55\mathrm{/}19)$
La inecuación se cumple para todos los números menores que $55\mathrm{/}19$.


$\mathbf{\text{c)}}$ ${\displaystyle \frac{3(4x-7)}{4}}-{\displaystyle \frac{x}{8}}\ge {\displaystyle \frac{3x}{8}}-{\displaystyle \frac{21}{4}}$
Los denominadores son $4$ y $8$, y su mínimo común múltiplo es $8$. Multiplicamos los dos miembros por él, que es un número positivo, así que la desigualdad no cambia de sentido:
$\boxed{{\displaystyle a\ge b⟹8a\ge 8b}}$
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle 8\cdot {\displaystyle \frac{3(4x-7)}{4}}-8\cdot {\displaystyle \frac{x}{8}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \ge 8\cdot {\displaystyle \frac{3x}{8}}-8\cdot {\displaystyle \frac{21}{4}}}\end{array}$
Simplificamos cada fracción y hacemos los productos que quedan:
$6(4x-7)-x\ge 3x-42$
Quitamos los paréntesis con la propiedad distributiva: el número de fuera multiplica a cada término de dentro:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c}}$
$24x-42-x\ge 3x-42$
Pasamos los términos con x al primer miembro y los números al segundo. Lo que está sumando pasa restando y lo que está restando pasa sumando:
$\boxed{{\displaystyle a+c\ge b⟹a\ge b-c}}$
$24x-x-3x\ge -42+42$
Sumamos los términos semejantes de cada miembro:
$20x\ge 0$
Dividimos los dos miembros entre $20$, que es positivo, así que la desigualdad no cambia de sentido:
$\boxed{{\displaystyle a\ge b⟹{\displaystyle \frac{a}{20}}\ge {\displaystyle \frac{b}{20}}}}$
$x\ge 0$
La solución, en forma de intervalo:
$x\in [0,\mathrm{\infty })$
La inecuación se cumple para todos los números mayores o iguales que $0$.


$\mathbf{\text{d)}}$ ${\displaystyle \frac{3x+5}{6}}-{\displaystyle \frac{5-2x}{2}}\le {\displaystyle \frac{x-12}{3}}$
Los denominadores son $6$, $2$ y $3$, y su mínimo común múltiplo es $6$. Multiplicamos los dos miembros por él, que es un número positivo, así que la desigualdad no cambia de sentido:
$\boxed{{\displaystyle a\le b⟹6a\le 6b}}$
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle 6\cdot {\displaystyle \frac{3x+5}{6}}-6\cdot {\displaystyle \frac{5-2x}{2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \le 6\cdot {\displaystyle \frac{x-12}{3}}}\end{array}$
Simplificamos cada fracción y hacemos los productos que quedan:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle 3x+5-3(5-2x)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \le 2(x-12)}\end{array}$
Quitamos los paréntesis con la propiedad distributiva: el número de fuera multiplica a cada término de dentro, y un signo menos delante cambia el signo de todo lo de dentro:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c}}$
$3x+5+6x-15\le 2x-24$
Pasamos los términos con x al primer miembro y los números al segundo. Lo que está sumando pasa restando y lo que está restando pasa sumando:
$\boxed{{\displaystyle a+c\le b⟹a\le b-c}}$
$3x+6x-2x\le -24-5+15$
Sumamos los términos semejantes de cada miembro:
$7x\le -14$
Dividimos los dos miembros entre $7$, que es positivo, así que la desigualdad no cambia de sentido:
$\boxed{{\displaystyle a\le b⟹{\displaystyle \frac{a}{7}}\le {\displaystyle \frac{b}{7}}}}$
$x\le {\displaystyle \frac{-14}{7}}=-2$
La solución, en forma de intervalo:
$x\in (-\mathrm{\infty },-2]$
La inecuación se cumple para todos los números menores o iguales que $-2$.


$\mathbf{\text{e)}}$ ${\displaystyle \frac{4-3x}{3}}-{\displaystyle \frac{2x-3}{4}}>-{\displaystyle \frac{65}{13}}$
Los denominadores son $3$, $4$ y $13$, y su mínimo común múltiplo es $12$. Multiplicamos los dos miembros por él, que es un número positivo, así que la desigualdad no cambia de sentido:
$\boxed{{\displaystyle a>b⟹12a>12b}}$
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle 12\cdot {\displaystyle \frac{4-3x}{3}}-12\cdot {\displaystyle \frac{2x-3}{4}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle >-12\cdot {\displaystyle \frac{65}{13}}}\end{array}$
Simplificamos cada fracción y hacemos los productos que quedan:
$4(4-3x)-3(2x-3)>-60$
Quitamos los paréntesis con la propiedad distributiva: el número de fuera multiplica a cada término de dentro, y un signo menos delante cambia el signo de todo lo de dentro:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c}}$
$-12x+16-6x+9>-60$
Pasamos los términos con x al primer miembro y los números al segundo. Lo que está sumando pasa restando y lo que está restando pasa sumando:
$\boxed{{\displaystyle a+c>b⟹a>b-c}}$
$-12x-6x>-60-16-9$
Sumamos los términos semejantes de cada miembro:
$-18x>-85$
Dividimos los dos miembros entre $-18$. Como es un número negativo, la desigualdad SE DA LA VUELTA:
$\boxed{{\displaystyle a>b⟹{\displaystyle \frac{a}{-18}}<{\displaystyle \frac{b}{-18}}}}$
$x<{\displaystyle \frac{-85}{-18}}={\displaystyle \frac{85}{18}}$
La solución, en forma de intervalo:
$x\in (-\mathrm{\infty },85\mathrm{/}18)$
La inecuación se cumple para todos los números menores que $85\mathrm{/}18$.


$\mathbf{\text{f)}}$ ${\displaystyle \frac{2}{3}}-x+{\displaystyle \frac{1}{6}}-{\displaystyle \frac{x}{3}}\ge {\displaystyle \frac{19-22x}{18}}$
Los denominadores son $3$, $6$ y $18$, y su mínimo común múltiplo es $18$. Multiplicamos los dos miembros por él, que es un número positivo, así que la desigualdad no cambia de sentido:
$\boxed{{\displaystyle a\ge b⟹18a\ge 18b}}$
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle 18\cdot {\displaystyle \frac{2}{3}}-18\cdot x+18\cdot {\displaystyle \frac{1}{6}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle -18\cdot {\displaystyle \frac{x}{3}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \ge 18\cdot {\displaystyle \frac{19-22x}{18}}}\end{array}$
Simplificamos cada fracción y hacemos los productos que quedan:
$12-18x+3-6x\ge 19-22x$
Pasamos los términos con x al primer miembro y los números al segundo. Lo que está sumando pasa restando y lo que está restando pasa sumando:
$\boxed{{\displaystyle a+c\ge b⟹a\ge b-c}}$
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle -18x-6x+22x}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \ge 19-12-3}\end{array}$
Sumamos los términos semejantes de cada miembro:
$-2x\ge 4$
Dividimos los dos miembros entre $-2$. Como es un número negativo, la desigualdad SE DA LA VUELTA:
$\boxed{{\displaystyle a\ge b⟹{\displaystyle \frac{a}{-2}}\le {\displaystyle \frac{b}{-2}}}}$
$x\le {\displaystyle \frac{4}{-2}}=-2$
La solución, en forma de intervalo:
$x\in (-\mathrm{\infty },-2]$
La inecuación se cumple para todos los números menores o iguales que $-2$.