Ejercicio resuelto de Fracciones algebraicas · Matemáticas 4 ESO

Realiza las siguientes operaciones simplificando el resultado:

a) ${\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{9+6x+x^2}{9-x^2}}\cdot {\displaystyle \frac{3x^2-x^3}{3x^2+x^3}}}{{\displaystyle \frac{2x-4}{{\displaystyle \frac{3}{4}}+{\displaystyle \frac{2}{8}}}}:{\displaystyle \frac{2x^2-8x+8}{x-2}}}}$
b) ${\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{3}{x+1}}-{\displaystyle \frac{2}{x^2-1}}+{\displaystyle \frac{x}{x-1}}}{{\displaystyle \frac{x^2-25}{x^2-4x-5}}}}$
c) ${\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{a^2-1}{a^2+1}}-{\displaystyle \frac{a^2+1}{a^2-1}}}{{\displaystyle \frac{a-1}{a+1}}-{\displaystyle \frac{a+1}{a-1}}}}:({\displaystyle \frac{a^2+1}{a}}-{\displaystyle \frac{a^2-2a+1}{{(a-1)}^2}})$
d) ${\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{x^2-1}{x+1}}+{\displaystyle \frac{x^2+2x+1}{x+1}}}{{\displaystyle \frac{1}{x^2-3x+2}}-{\displaystyle \frac{1}{x^2+x-6}}}}$
e) ${\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{x^2+2x+1}{{(x-1)}^2}}+{\displaystyle \frac{x^2+2x+1}{x+1}}}{{\displaystyle \frac{x+1}{x^2-1}}+{\displaystyle \frac{x^2+2x+1}{x+1}}}}$
f) ${\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{x^2+2x+1}{x^2-1}}\cdot {\displaystyle \frac{4x^2-4x}{x+1}}}{{\displaystyle \frac{2x^2+14x+20}{x^3-50+2x^2-25x}}:{\displaystyle \frac{x-5}{2x^3-20x^2+50x}}}}$

$\mathbf{\text{a)}}$ Se opera por orden: primero lo que hay dentro de los paréntesis, después productos y divisiones, y por último sumas y restas.
Es una fracción de fracciones: dividir el numerador entre el denominador, calculando antes aparte cada uno.
Numerador, ${\displaystyle \frac{9+6x+x^2}{9-x^2}}\cdot {\displaystyle \frac{3x^2-x^3}{3x^2+x^3}}$:
Multiplicamos los numeradores entre sí y los denominadores entre sí:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{b}}\cdot {\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a\cdot c}{b\cdot d}}}}$
${\displaystyle \frac{9+6x+x^2}{9-x^2}}\cdot {\displaystyle \frac{3x^2-x^3}{3x^2+x^3}}={\displaystyle \frac{(9+6x+x^2)\cdot (3x^2-x^3)}{(9-x^2)\cdot (3x^2+x^3)}}$
Factorizamos los polinomios que se puedan descomponer:
$x^2+6x+9$ es el cuadrado de un binomio, con $A=x$ y $B=3$ (el término central es $2\cdot x\cdot 3=6x$):
$\boxed{{\displaystyle a^2\pm 2ab+b^2=(a\pm b{)}^2}}$
$9+6x+x^2=(x+3{)}^2$
Sacamos factor común $-1$ para que el término de mayor grado quede positivo:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)}}$
$9-x^2=-(x^2-9)$
$x^2-9$ es una diferencia de cuadrados, con $A=x$ y $B=3$:
$\boxed{{\displaystyle a^2-b^2=(a+b)(a-b)}}$
$x^2-9=(x+3)(x-3)$
En total, el polinomio factorizado queda:
$9-x^2=-(x+3)(x-3)$
Sacamos factor común $-x^2$ (con el signo, para que el término de mayor grado quede positivo):
$\boxed{{\displaystyle a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)}}$
$3x^2-x^3=-x^2(x-3)$
Sacamos factor común $x^2$:
$3x^2+x^3=x^2(x+3)$
Con todo factorizado, tachamos los factores comunes (cada tachado de arriba se empareja con uno de abajo):
${\displaystyle \frac{(9+6x+x^2)\cdot (3x^2-x^3)}{(9-x^2)\cdot (3x^2+x^3)}}={\displaystyle \frac{x^2(x+3{)}^2(x-3)}{x^2(x+3{)}^2(x-3)}}$
Escribimos cada factor separando la parte que se va a tachar:
${\displaystyle \frac{x^2(x+3{)}^2(x-3)}{x^2(x+3{)}^2(x-3)}}={\displaystyle \frac{x^2(x+3{)}^2(x-3)}{x^2(x+3{)}^2(x-3)}}$
${\displaystyle \frac{\cancel{x^2}\cancel{(x+3{)}^2}\cancel{(x-3)}}{\cancel{x^2}\cancel{(x+3{)}^2}\cancel{(x-3)}}}=1$
Denominador, ${\displaystyle \frac{2x-4}{{\displaystyle \frac{3}{4}}+{\displaystyle \frac{2}{8}}}}:{\displaystyle \frac{2x^2-8x+8}{x-2}}$:
Es una fracción de fracciones: dividir el numerador entre el denominador, calculando antes aparte cada uno.
Denominador, ${\displaystyle \frac{3}{4}}+{\displaystyle \frac{2}{8}}$:
Antes de sumar, la fracción ${\displaystyle \frac{2}{8}}$ se puede simplificar:
${\displaystyle \frac{2}{8}}={\displaystyle \frac{\cancel{2}}{\cancel{2}\cdot 4}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$
Las fracciones ya tienen el mismo denominador, así que se suman o restan los numeradores directamente:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{b}}\pm {\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a\cdot d\pm c\cdot b}{b\cdot d}}}}$
${\displaystyle \frac{3+1}{4}}={\displaystyle \frac{4}{4}}$
El numerador es también un factor del denominador, así que se tacha:
${\displaystyle \frac{4}{4}}={\displaystyle \frac{\cancel{4}}{\cancel{4}}}=1$
Dividimos el numerador entre el denominador:
Para dividir, multiplicamos en cruz: el numerador de la primera por el denominador de la segunda, y el denominador de la primera por el numerador de la segunda:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{b}}:{\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a\cdot d}{b\cdot c}}}}$
$(2x-4):1={\displaystyle \frac{(2x-4)}{1}}$
Factorizamos los polinomios que se puedan descomponer:
Sacamos factor común $2$:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)}}$
$2x-4=2(x-2)$
Con todo factorizado no aparece ningún factor común arriba y abajo, así que no se puede simplificar:
${\displaystyle \frac{(2x-4)}{1}}=2(x-2)$
Con eso, la división queda $2(x-2):{\displaystyle \frac{2x^2-8x+8}{x-2}}$:
Para dividir, multiplicamos en cruz: el numerador de la primera por el denominador de la segunda, y el denominador de la primera por el numerador de la segunda:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{b}}:{\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a\cdot d}{b\cdot c}}}}$
$(2(x-2)):{\displaystyle \frac{2x^2-8x+8}{x-2}}={\displaystyle \frac{2(x-2)\cdot (x-2)}{(2x^2-8x+8)}}$
Factorizamos los polinomios que se puedan descomponer:
Sacamos factor común $2$:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)}}$
$2x^2-8x+8=2(x^2-4x+4)$
$x^2-4x+4$ es el cuadrado de un binomio, con $A=x$ y $B=2$ (el término central es $2\cdot x\cdot 2=4x$):
$\boxed{{\displaystyle a^2\pm 2ab+b^2=(a\pm b{)}^2}}$
$x^2-4x+4=(x-2{)}^2$
En total, el polinomio factorizado queda:
$2x^2-8x+8=2(x-2{)}^2$
Con todo factorizado, tachamos los factores comunes (cada tachado de arriba se empareja con uno de abajo):
${\displaystyle \frac{2(x-2)\cdot (x-2)}{(2x^2-8x+8)}}={\displaystyle \frac{2(x-2{)}^2}{2(x-2{)}^2}}$
${\displaystyle \frac{2(x-2{)}^2}{2(x-2{)}^2}}={\displaystyle \frac{\cancel{2}\cancel{(x-2{)}^2}}{\cancel{2}\cancel{(x-2{)}^2}}}=1$
Dividimos el numerador entre el denominador:
Para dividir, multiplicamos en cruz: el numerador de la primera por el denominador de la segunda, y el denominador de la primera por el numerador de la segunda:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{b}}:{\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a\cdot d}{b\cdot c}}}}$
$1:1={\displaystyle \frac{1}{1}}$
Con todo factorizado no aparece ningún factor común arriba y abajo, así que no se puede simplificar:
${\displaystyle \frac{1}{1}}=1$
Como se han tachado factores del denominador, la simplificación vale para $x\mathrm{\ne }-3$, $x\mathrm{\ne }0$, $x\mathrm{\ne }2$ y $x\mathrm{\ne }3$ (los valores que anulan lo tachado).
Resultado: $1$.


$\mathbf{\text{b)}}$ Se opera por orden: primero lo que hay dentro de los paréntesis, después productos y divisiones, y por último sumas y restas.
Es una fracción de fracciones: dividir el numerador entre el denominador, calculando antes aparte cada uno.
Numerador, ${\displaystyle \frac{3}{x+1}}-{\displaystyle \frac{2}{x^2-1}}+{\displaystyle \frac{x}{x-1}}$:
Para sumar o restar hace falta un denominador común, así que factorizamos los denominadores:
$x^2-1$ es una diferencia de cuadrados, con $A=x$ y $B=1$:
$\boxed{{\displaystyle a^2-b^2=(a+b)(a-b)}}$
$x^2-1=(x+1)(x-1)$
El mínimo común múltiplo de los denominadores se forma con todos los factores distintos, cada uno elevado al mayor exponente con el que aparece: $\text{mcm}=(x+1)(x-1)$. Ese es el denominador común.
Reducimos cada fracción a ese denominador, multiplicando arriba y abajo por lo que le falta:
${\displaystyle \frac{3}{x+1}}={\displaystyle \frac{3\cdot (x-1)}{(x+1)(x-1)}}$
${\displaystyle \frac{2}{x^2-1}}$ ya tiene el denominador común.
${\displaystyle \frac{x}{x-1}}={\displaystyle \frac{x\cdot (x+1)}{(x+1)(x-1)}}$
Sumamos y restamos los numeradores sobre el denominador común y operamos:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{b}}\pm {\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a\cdot d\pm c\cdot b}{b\cdot d}}}}$
${\displaystyle \frac{3\cdot (x-1)-2+x\cdot (x+1)}{(x+1)(x-1)}}={\displaystyle \frac{(3x-3)-2+(x^2+x)}{(x+1)(x-1)}}$
${\displaystyle \frac{(3x-3)-2+(x^2+x)}{(x+1)(x-1)}}={\displaystyle \frac{x^2+4x-5}{(x+1)(x-1)}}$
Factorizamos el numerador para ver si comparte factores con el denominador:
$x^2+4x-5$ es un polinomio de segundo grado: se resuelve la ecuación $x^2+4x-5=0$ con la fórmula, y cada raíz $x_i$ da un factor $(x-x_i)$:
$x={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}={\displaystyle \frac{-4\pm \sqrt{4^2-4\cdot 1\cdot (-5)}}{2\cdot 1}}={\displaystyle \frac{-4\pm \sqrt{36}}{2}}={\displaystyle \frac{-4\pm 6}{2}}$
Las raíces son $x_1=1$ y $x_2=-5$, así que:
$\boxed{{\displaystyle a{x}^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)}}$
$x^2+4x-5=(x-1)(x+5)$
Tachamos los factores comunes:
${\displaystyle \frac{x^2+4x-5}{(x+1)(x-1)}}={\displaystyle \frac{(x+5)\cancel{(x-1)}}{(x+1)\cancel{(x-1)}}}={\displaystyle \frac{x+5}{x+1}}$
Dividimos el numerador entre el denominador:
Para dividir, multiplicamos en cruz: el numerador de la primera por el denominador de la segunda, y el denominador de la primera por el numerador de la segunda:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{b}}:{\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a\cdot d}{b\cdot c}}}}$
${\displaystyle \frac{x+5}{x+1}}:{\displaystyle \frac{x^2-25}{x^2-4x-5}}={\displaystyle \frac{(x+5)\cdot (x^2-4x-5)}{(x+1)\cdot (x^2-25)}}$
Factorizamos los polinomios que se puedan descomponer:
$x^2-25$ es una diferencia de cuadrados, con $A=x$ y $B=5$:
$\boxed{{\displaystyle a^2-b^2=(a+b)(a-b)}}$
$x^2-25=(x+5)(x-5)$
$x^2-4x-5$ es un polinomio de segundo grado: se resuelve la ecuación $x^2-4x-5=0$ con la fórmula, y cada raíz $x_i$ da un factor $(x-x_i)$:
$x={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}={\displaystyle \frac{-(-4)\pm \sqrt{(-4{)}^2-4\cdot 1\cdot (-5)}}{2\cdot 1}}={\displaystyle \frac{4\pm \sqrt{36}}{2}}={\displaystyle \frac{4\pm 6}{2}}$
Las raíces son $x_1=5$ y $x_2=-1$, así que:
$\boxed{{\displaystyle a{x}^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)}}$
$x^2-4x-5=(x-5)(x+1)$
Con todo factorizado, tachamos los factores comunes (cada tachado de arriba se empareja con uno de abajo):
${\displaystyle \frac{(x+5)\cdot (x^2-4x-5)}{(x+1)\cdot (x^2-25)}}={\displaystyle \frac{(x+1)(x+5)(x-5)}{(x+1)(x+5)(x-5)}}$
Escribimos cada factor separando la parte que se va a tachar:
${\displaystyle \frac{(x+1)(x+5)(x-5)}{(x+1)(x+5)(x-5)}}={\displaystyle \frac{(x+1)(x+5)(x-5)}{(x+1)(x+5)(x-5)}}$
${\displaystyle \frac{\cancel{(x+1)}\cancel{(x+5)}\cancel{(x-5)}}{\cancel{(x+1)}\cancel{(x+5)}\cancel{(x-5)}}}=1$
Como se han tachado factores del denominador, la simplificación vale para $x\mathrm{\ne }-1$, $x\mathrm{\ne }-5$, $x\mathrm{\ne }1$ y $x\mathrm{\ne }5$ (los valores que anulan lo tachado).
Resultado: $1$.


$\mathbf{\text{c)}}$ Se opera por orden: primero lo que hay dentro de los paréntesis, después productos y divisiones, y por último sumas y restas.
Es una fracción de fracciones: dividir el numerador entre el denominador, calculando antes aparte cada uno.
Numerador, ${\displaystyle \frac{a^2-1}{a^2+1}}-{\displaystyle \frac{a^2+1}{a^2-1}}$:
Para sumar o restar hace falta un denominador común, así que factorizamos los denominadores:
$a^2+1$ no tiene raíces reales (su discriminante, $b^2-4ac=-4$, es negativo), así que no se puede factorizar.
$a^2-1$ es una diferencia de cuadrados, con $A=a$ y $B=1$:
$\boxed{{\displaystyle a^2-b^2=(a+b)(a-b)}}$
$a^2-1=(a+1)(a-1)$
El mínimo común múltiplo de los denominadores se forma con todos los factores distintos, cada uno elevado al mayor exponente con el que aparece: $\text{mcm}=(a+1)(a-1)(a^2+1)$. Ese es el denominador común.
Reducimos cada fracción a ese denominador, multiplicando arriba y abajo por lo que le falta:
${\displaystyle \frac{a^2-1}{a^2+1}}={\displaystyle \frac{(a^2-1)\cdot (a+1)(a-1)}{(a+1)(a-1)(a^2+1)}}$
${\displaystyle \frac{a^2+1}{(a+1)(a-1)}}={\displaystyle \frac{(a^2+1)\cdot (a^2+1)}{(a+1)(a-1)(a^2+1)}}$
Sumamos y restamos los numeradores sobre el denominador común y operamos:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{b}}\pm {\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a\cdot d\pm c\cdot b}{b\cdot d}}}}$
${\displaystyle \frac{(a^2-1)\cdot (a+1)(a-1)-(a^2+1)\cdot (a^2+1)}{(a+1)(a-1)(a^2+1)}}={\displaystyle \frac{(a^4-2a^2+1)-(a^4+2a^2+1)}{(a+1)(a-1)(a^2+1)}}$
${\displaystyle \frac{(a^4-2a^2+1)-(a^4+2a^2+1)}{(a+1)(a-1)(a^2+1)}}={\displaystyle \frac{-4a^2}{(a+1)(a-1)(a^2+1)}}$
El numerador $-4a^2$ no comparte ningún factor con el denominador, así que la fracción ya está simplificada.
Denominador, ${\displaystyle \frac{a-1}{a+1}}-{\displaystyle \frac{a+1}{a-1}}$:
El mínimo común múltiplo de los denominadores se forma con todos los factores distintos, cada uno elevado al mayor exponente con el que aparece: $\text{mcm}=(a+1)(a-1)$. Ese es el denominador común.
Reducimos cada fracción a ese denominador, multiplicando arriba y abajo por lo que le falta:
${\displaystyle \frac{a-1}{a+1}}={\displaystyle \frac{(a-1)\cdot (a-1)}{(a+1)(a-1)}}$
${\displaystyle \frac{a+1}{a-1}}={\displaystyle \frac{(a+1)\cdot (a+1)}{(a+1)(a-1)}}$
Sumamos y restamos los numeradores sobre el denominador común y operamos:
${\displaystyle \frac{(a-1)\cdot (a-1)-(a+1)\cdot (a+1)}{(a+1)(a-1)}}={\displaystyle \frac{(a^2-2a+1)-(a^2+2a+1)}{(a+1)(a-1)}}$
${\displaystyle \frac{(a^2-2a+1)-(a^2+2a+1)}{(a+1)(a-1)}}={\displaystyle \frac{-4a}{(a+1)(a-1)}}$
El numerador $-4a$ no comparte ningún factor con el denominador, así que la fracción ya está simplificada.
Dividimos el numerador entre el denominador:
Para dividir, multiplicamos en cruz: el numerador de la primera por el denominador de la segunda, y el denominador de la primera por el numerador de la segunda:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{b}}:{\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a\cdot d}{b\cdot c}}}}$
$-{\displaystyle \frac{4a^2}{(a+1)(a-1)(a^2+1)}}:-{\displaystyle \frac{4a}{(a+1)(a-1)}}={\displaystyle \frac{4a^2\cdot (a+1)(a-1)}{(a+1)(a-1)(a^2+1)\cdot 4a}}$
Con todo factorizado, tachamos los factores comunes (cada tachado de arriba se empareja con uno de abajo):
${\displaystyle \frac{4a^2\cdot (a+1)(a-1)}{(a+1)(a-1)(a^2+1)\cdot 4a}}={\displaystyle \frac{4a^2(a+1)(a-1)}{4a(a+1)(a-1)(a^2+1)}}$
Escribimos cada factor separando la parte que se va a tachar:
${\displaystyle \frac{4a^2(a+1)(a-1)}{4a(a+1)(a-1)(a^2+1)}}={\displaystyle \frac{4aa(a+1)(a-1)}{4a(a+1)(a-1)(a^2+1)}}$
${\displaystyle \frac{\cancel{4}\cancel{a}a\cancel{(a+1)}\cancel{(a-1)}}{\cancel{4}\cancel{a}\cancel{(a+1)}\cancel{(a-1)}(a^2+1)}}={\displaystyle \frac{a}{a^2+1}}$
Segundo paréntesis, $({\displaystyle \frac{a^2+1}{a}}-{\displaystyle \frac{a^2-2a+1}{{(a-1)}^2}})$:
Antes de sumar, la fracción ${\displaystyle \frac{a^2-2a+1}{{(a-1)}^2}}$ se puede simplificar:
$a^2-2a+1$ es el cuadrado de un binomio, con $A=a$ y $B=1$ (el término central es $2\cdot a\cdot 1=2a$):
$\boxed{{\displaystyle a^2\pm 2ab+b^2=(a\pm b{)}^2}}$
$a^2-2a+1=(a-1{)}^2$
${\displaystyle \frac{a^2-2a+1}{{(a-1)}^2}}={\displaystyle \frac{(a-1{)}^2}{(a-1{)}^2}}$
${\displaystyle \frac{(a-1{)}^2}{(a-1{)}^2}}={\displaystyle \frac{\cancel{(a-1{)}^2}}{\cancel{(a-1{)}^2}}}=1$
El mínimo común múltiplo de los denominadores se forma con todos los factores distintos, cada uno elevado al mayor exponente con el que aparece: $\text{mcm}=a$. Ese es el denominador común.
Reducimos cada fracción a ese denominador, multiplicando arriba y abajo por lo que le falta:
${\displaystyle \frac{a^2+1}{a}}$ ya tiene el denominador común.
$1={\displaystyle \frac{1\cdot a}{a}}$
Sumamos y restamos los numeradores sobre el denominador común y operamos:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{b}}\pm {\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a\cdot d\pm c\cdot b}{b\cdot d}}}}$
${\displaystyle \frac{(a^2+1)-1\cdot a}{a}}={\displaystyle \frac{(a^2+1)-a}{a}}$
${\displaystyle \frac{(a^2+1)-a}{a}}={\displaystyle \frac{a^2-a+1}{a}}$
El numerador $a^2-a+1$ no comparte ningún factor con el denominador, así que la fracción ya está simplificada.
Con eso, la división queda ${\displaystyle \frac{a}{a^2+1}}:{\displaystyle \frac{a^2-a+1}{a}}$:
Para dividir, multiplicamos en cruz: el numerador de la primera por el denominador de la segunda, y el denominador de la primera por el numerador de la segunda:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{b}}:{\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a\cdot d}{b\cdot c}}}}$
${\displaystyle \frac{a}{a^2+1}}:{\displaystyle \frac{a^2-a+1}{a}}={\displaystyle \frac{a\cdot a}{(a^2+1)\cdot (a^2-a+1)}}$
Con todo factorizado no aparece ningún factor común arriba y abajo, así que no se puede simplificar:
${\displaystyle \frac{a\cdot a}{(a^2+1)\cdot (a^2-a+1)}}={\displaystyle \frac{a^2}{(a^2+1)(a^2-a+1)}}$
Como se han tachado factores del denominador, la simplificación vale para $a\mathrm{\ne }-1$, $a\mathrm{\ne }0$ y $a\mathrm{\ne }1$ (los valores que anulan lo tachado).
Resultado: ${\displaystyle \frac{a^2}{(a^2+1)(a^2-a+1)}}$.


$\mathbf{\text{d)}}$ Se opera por orden: primero lo que hay dentro de los paréntesis, después productos y divisiones, y por último sumas y restas.
Es una fracción de fracciones: dividir el numerador entre el denominador, calculando antes aparte cada uno.
Numerador, ${\displaystyle \frac{x^2-1}{x+1}}+{\displaystyle \frac{x^2+2x+1}{x+1}}$:
Antes de sumar, la fracción ${\displaystyle \frac{x^2-1}{x+1}}$ se puede simplificar:
$x^2-1$ es una diferencia de cuadrados, con $A=x$ y $B=1$:
$\boxed{{\displaystyle a^2-b^2=(a+b)(a-b)}}$
$x^2-1=(x+1)(x-1)$
${\displaystyle \frac{x^2-1}{x+1}}={\displaystyle \frac{(x+1)(x-1)}{x+1}}$
${\displaystyle \frac{(x+1)(x-1)}{x+1}}={\displaystyle \frac{\cancel{(x+1)}(x-1)}{\cancel{(x+1)}}}=x-1$
Antes de sumar, la fracción ${\displaystyle \frac{x^2+2x+1}{x+1}}$ se puede simplificar:
$x^2+2x+1$ es el cuadrado de un binomio, con $A=x$ y $B=1$ (el término central es $2\cdot x\cdot 1=2x$):
$\boxed{{\displaystyle a^2\pm 2ab+b^2=(a\pm b{)}^2}}$
$x^2+2x+1=(x+1{)}^2$
${\displaystyle \frac{x^2+2x+1}{x+1}}={\displaystyle \frac{(x+1{)}^2}{x+1}}$
${\displaystyle \frac{(x+1{)}^2}{x+1}}={\displaystyle \frac{\cancel{(x+1)}(x+1)}{\cancel{(x+1)}}}=x+1$
Son polinomios, así que basta con quitar paréntesis y agrupar términos semejantes:
$(x-1)+(x+1)=2x$
Denominador, ${\displaystyle \frac{1}{x^2-3x+2}}-{\displaystyle \frac{1}{x^2+x-6}}$:
Para sumar o restar hace falta un denominador común, así que factorizamos los denominadores:
$x^2-3x+2$ es un polinomio de segundo grado: se resuelve la ecuación $x^2-3x+2=0$ con la fórmula, y cada raíz $x_i$ da un factor $(x-x_i)$:
$x={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}={\displaystyle \frac{-(-3)\pm \sqrt{(-3{)}^2-4\cdot 1\cdot 2}}{2\cdot 1}}={\displaystyle \frac{3\pm \sqrt{1}}{2}}={\displaystyle \frac{3\pm 1}{2}}$
Las raíces son $x_1=2$ y $x_2=1$, así que:
$\boxed{{\displaystyle a{x}^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)}}$
$x^2-3x+2=(x-2)(x-1)$
$x^2+x-6$ es un polinomio de segundo grado: se resuelve la ecuación $x^2+x-6=0$ con la fórmula, y cada raíz $x_i$ da un factor $(x-x_i)$:
$x={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}={\displaystyle \frac{-1\pm \sqrt{1^2-4\cdot 1\cdot (-6)}}{2\cdot 1}}={\displaystyle \frac{-1\pm \sqrt{25}}{2}}={\displaystyle \frac{-1\pm 5}{2}}$
Las raíces son $x_1=2$ y $x_2=-3$, así que:
$x^2+x-6=(x-2)(x+3)$
El mínimo común múltiplo de los denominadores se forma con todos los factores distintos, cada uno elevado al mayor exponente con el que aparece: $\text{mcm}=(x+3)(x-1)(x-2)$. Ese es el denominador común.
Reducimos cada fracción a ese denominador, multiplicando arriba y abajo por lo que le falta:
${\displaystyle \frac{1}{(x-1)(x-2)}}={\displaystyle \frac{1\cdot (x+3)}{(x+3)(x-1)(x-2)}}$
${\displaystyle \frac{1}{(x+3)(x-2)}}={\displaystyle \frac{1\cdot (x-1)}{(x+3)(x-1)(x-2)}}$
Sumamos y restamos los numeradores sobre el denominador común y operamos:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{b}}\pm {\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a\cdot d\pm c\cdot b}{b\cdot d}}}}$
${\displaystyle \frac{1\cdot (x+3)-1\cdot (x-1)}{(x+3)(x-1)(x-2)}}={\displaystyle \frac{(x+3)-(x-1)}{(x+3)(x-1)(x-2)}}$
${\displaystyle \frac{(x+3)-(x-1)}{(x+3)(x-1)(x-2)}}={\displaystyle \frac{4}{(x+3)(x-1)(x-2)}}$
El numerador $4$ no comparte ningún factor con el denominador, así que la fracción ya está simplificada.
Dividimos el numerador entre el denominador:
Para dividir, multiplicamos en cruz: el numerador de la primera por el denominador de la segunda, y el denominador de la primera por el numerador de la segunda:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{b}}:{\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a\cdot d}{b\cdot c}}}}$
$(2x):{\displaystyle \frac{4}{(x+3)(x-1)(x-2)}}={\displaystyle \frac{2x\cdot (x+3)(x-1)(x-2)}{4}}$
Con todo factorizado, tachamos los factores comunes (cada tachado de arriba se empareja con uno de abajo):
${\displaystyle \frac{2x\cdot (x+3)(x-1)(x-2)}{4}}={\displaystyle \frac{2x(x+3)(x-1)(x-2)}{4}}$
${\displaystyle \frac{2x(x+3)(x-1)(x-2)}{4}}={\displaystyle \frac{\cancel{2}x(x+3)(x-1)(x-2)}{\cancel{2}\cdot 2}}={\displaystyle \frac{x(x+3)(x-1)(x-2)}{2}}$
Como se han tachado factores del denominador, la simplificación vale para $x\mathrm{\ne }-1$ (los valores que anulan lo tachado).
Resultado: ${\displaystyle \frac{x(x+3)(x-1)(x-2)}{2}}$.


$\mathbf{\text{e)}}$ Se opera por orden: primero lo que hay dentro de los paréntesis, después productos y divisiones, y por último sumas y restas.
Es una fracción de fracciones: dividir el numerador entre el denominador, calculando antes aparte cada uno.
Numerador, ${\displaystyle \frac{x^2+2x+1}{{(x-1)}^2}}+{\displaystyle \frac{x^2+2x+1}{x+1}}$:
Antes de sumar, la fracción ${\displaystyle \frac{x^2+2x+1}{x+1}}$ se puede simplificar:
$x^2+2x+1$ es el cuadrado de un binomio, con $A=x$ y $B=1$ (el término central es $2\cdot x\cdot 1=2x$):
$\boxed{{\displaystyle a^2\pm 2ab+b^2=(a\pm b{)}^2}}$
$x^2+2x+1=(x+1{)}^2$
${\displaystyle \frac{x^2+2x+1}{x+1}}={\displaystyle \frac{(x+1{)}^2}{x+1}}$
${\displaystyle \frac{(x+1{)}^2}{x+1}}={\displaystyle \frac{\cancel{(x+1)}(x+1)}{\cancel{(x+1)}}}=x+1$
El mínimo común múltiplo de los denominadores se forma con todos los factores distintos, cada uno elevado al mayor exponente con el que aparece: $\text{mcm}=(x-1{)}^2$. Ese es el denominador común.
Reducimos cada fracción a ese denominador, multiplicando arriba y abajo por lo que le falta:
${\displaystyle \frac{x^2+2x+1}{{(x-1)}^2}}$ ya tiene el denominador común.
$x+1={\displaystyle \frac{(x+1)\cdot (x-1{)}^2}{(x-1{)}^2}}$
Sumamos y restamos los numeradores sobre el denominador común y operamos:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{b}}\pm {\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a\cdot d\pm c\cdot b}{b\cdot d}}}}$
${\displaystyle \frac{(x^2+2x+1)+(x+1)\cdot (x-1{)}^2}{(x-1{)}^2}}={\displaystyle \frac{(x^2+2x+1)+(x^3-x^2-x+1)}{(x-1{)}^2}}$
${\displaystyle \frac{(x^2+2x+1)+(x^3-x^2-x+1)}{(x-1{)}^2}}={\displaystyle \frac{x^3+x+2}{(x-1{)}^2}}$
El numerador $x^3+x+2$ no comparte ningún factor con el denominador, así que la fracción ya está simplificada.
Denominador, ${\displaystyle \frac{x+1}{x^2-1}}+{\displaystyle \frac{x^2+2x+1}{x+1}}$:
Antes de sumar, la fracción ${\displaystyle \frac{x+1}{x^2-1}}$ se puede simplificar:
$x^2-1$ es una diferencia de cuadrados, con $A=x$ y $B=1$:
$\boxed{{\displaystyle a^2-b^2=(a+b)(a-b)}}$
$x^2-1=(x+1)(x-1)$
${\displaystyle \frac{x+1}{x^2-1}}={\displaystyle \frac{x+1}{(x+1)(x-1)}}$
${\displaystyle \frac{x+1}{(x+1)(x-1)}}={\displaystyle \frac{\cancel{(x+1)}}{\cancel{(x+1)}(x-1)}}={\displaystyle \frac{1}{x-1}}$
Antes de sumar, la fracción ${\displaystyle \frac{x^2+2x+1}{x+1}}$ se puede simplificar:
$x^2+2x+1$ es el cuadrado de un binomio, con $A=x$ y $B=1$ (el término central es $2\cdot x\cdot 1=2x$):
$\boxed{{\displaystyle a^2\pm 2ab+b^2=(a\pm b{)}^2}}$
$x^2+2x+1=(x+1{)}^2$
${\displaystyle \frac{x^2+2x+1}{x+1}}={\displaystyle \frac{(x+1{)}^2}{x+1}}$
${\displaystyle \frac{(x+1{)}^2}{x+1}}={\displaystyle \frac{\cancel{(x+1)}(x+1)}{\cancel{(x+1)}}}=x+1$
El mínimo común múltiplo de los denominadores se forma con todos los factores distintos, cada uno elevado al mayor exponente con el que aparece: $\text{mcm}=x-1$. Ese es el denominador común.
Reducimos cada fracción a ese denominador, multiplicando arriba y abajo por lo que le falta:
${\displaystyle \frac{1}{x-1}}$ ya tiene el denominador común.
$x+1={\displaystyle \frac{(x+1)\cdot (x-1)}{x-1}}$
Sumamos y restamos los numeradores sobre el denominador común y operamos:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{b}}\pm {\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a\cdot d\pm c\cdot b}{b\cdot d}}}}$
${\displaystyle \frac{1+(x+1)\cdot (x-1)}{x-1}}={\displaystyle \frac{1+(x^2-1)}{x-1}}$
${\displaystyle \frac{1+(x^2-1)}{x-1}}={\displaystyle \frac{x^2}{x-1}}$
El numerador $x^2$ no comparte ningún factor con el denominador, así que la fracción ya está simplificada.
Dividimos el numerador entre el denominador:
Para dividir, multiplicamos en cruz: el numerador de la primera por el denominador de la segunda, y el denominador de la primera por el numerador de la segunda:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{b}}:{\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a\cdot d}{b\cdot c}}}}$
${\displaystyle \frac{x^3+x+2}{(x-1{)}^2}}:{\displaystyle \frac{x^2}{x-1}}={\displaystyle \frac{(x+1)(x^2-x+2)\cdot (x-1)}{(x-1{)}^2\cdot x^2}}$
Con todo factorizado, tachamos los factores comunes (cada tachado de arriba se empareja con uno de abajo):
${\displaystyle \frac{(x+1)(x^2-x+2)\cdot (x-1)}{(x-1{)}^2\cdot x^2}}={\displaystyle \frac{(x+1)(x-1)(x^2-x+2)}{x^2(x-1{)}^2}}$
Escribimos cada factor separando la parte que se va a tachar:
${\displaystyle \frac{(x+1)(x-1)(x^2-x+2)}{x^2(x-1{)}^2}}={\displaystyle \frac{(x+1)(x-1)(x^2-x+2)}{x^2(x-1)(x-1)}}$
${\displaystyle \frac{(x+1)\cancel{(x-1)}(x^2-x+2)}{x^2\cancel{(x-1)}(x-1)}}={\displaystyle \frac{(x+1)(x^2-x+2)}{x^2(x-1)}}$
Como se han tachado factores del denominador, la simplificación vale para $x\mathrm{\ne }-1$ y $x\mathrm{\ne }1$ (los valores que anulan lo tachado).
Resultado: ${\displaystyle \frac{(x+1)(x^2-x+2)}{x^2(x-1)}}$.


$\mathbf{\text{f)}}$ Se opera por orden: primero lo que hay dentro de los paréntesis, después productos y divisiones, y por último sumas y restas.
Es una fracción de fracciones: dividir el numerador entre el denominador, calculando antes aparte cada uno.
Numerador, ${\displaystyle \frac{x^2+2x+1}{x^2-1}}\cdot {\displaystyle \frac{4x^2-4x}{x+1}}$:
Multiplicamos los numeradores entre sí y los denominadores entre sí:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{b}}\cdot {\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a\cdot c}{b\cdot d}}}}$
${\displaystyle \frac{x^2+2x+1}{x^2-1}}\cdot {\displaystyle \frac{4x^2-4x}{x+1}}={\displaystyle \frac{(x^2+2x+1)\cdot (4x^2-4x)}{(x^2-1)\cdot (x+1)}}$
Factorizamos los polinomios que se puedan descomponer:
$x^2+2x+1$ es el cuadrado de un binomio, con $A=x$ y $B=1$ (el término central es $2\cdot x\cdot 1=2x$):
$\boxed{{\displaystyle a^2\pm 2ab+b^2=(a\pm b{)}^2}}$
$x^2+2x+1=(x+1{)}^2$
$x^2-1$ es una diferencia de cuadrados, con $A=x$ y $B=1$:
$\boxed{{\displaystyle a^2-b^2=(a+b)(a-b)}}$
$x^2-1=(x+1)(x-1)$
Sacamos factor común $4x$:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)}}$
$4x^2-4x=4x(x-1)$
Con todo factorizado, tachamos los factores comunes (cada tachado de arriba se empareja con uno de abajo):
${\displaystyle \frac{(x^2+2x+1)\cdot (4x^2-4x)}{(x^2-1)\cdot (x+1)}}={\displaystyle \frac{4x(x+1{)}^2(x-1)}{(x+1{)}^2(x-1)}}$
Escribimos cada factor separando la parte que se va a tachar:
${\displaystyle \frac{4x(x+1{)}^2(x-1)}{(x+1{)}^2(x-1)}}={\displaystyle \frac{4x(x+1{)}^2(x-1)}{(x+1{)}^2(x-1)}}$
${\displaystyle \frac{4x\cancel{(x+1{)}^2}\cancel{(x-1)}}{\cancel{(x+1{)}^2}\cancel{(x-1)}}}=4x$
Denominador, ${\displaystyle \frac{2x^2+14x+20}{x^3-50+2x^2-25x}}:{\displaystyle \frac{x-5}{2x^3-20x^2+50x}}$:
Para dividir, multiplicamos en cruz: el numerador de la primera por el denominador de la segunda, y el denominador de la primera por el numerador de la segunda:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{b}}:{\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a\cdot d}{b\cdot c}}}}$
${\displaystyle \frac{2x^2+14x+20}{x^3-50+2x^2-25x}}:{\displaystyle \frac{x-5}{2x^3-20x^2+50x}}={\displaystyle \frac{(2x^2+14x+20)\cdot (2x^3-20x^2+50x)}{(x^3-50+2x^2-25x)\cdot (x-5)}}$
Factorizamos los polinomios que se puedan descomponer:
Sacamos factor común $2$:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)}}$
$2x^2+14x+20=2(x^2+7x+10)$
$x^2+7x+10$ es un polinomio de segundo grado: se resuelve la ecuación $x^2+7x+10=0$ con la fórmula, y cada raíz $x_i$ da un factor $(x-x_i)$:
$x={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}={\displaystyle \frac{-7\pm \sqrt{7^2-4\cdot 1\cdot 10}}{2\cdot 1}}={\displaystyle \frac{-7\pm \sqrt{9}}{2}}={\displaystyle \frac{-7\pm 3}{2}}$
Las raíces son $x_1=-2$ y $x_2=-5$, así que:
$\boxed{{\displaystyle a{x}^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)}}$
$x^2+7x+10=(x+2)(x+5)$
En total, el polinomio factorizado queda:
$2x^2+14x+20=2(x+2)(x+5)$
$x^3+2x^2-25x-50$ es de grado 3: buscamos una raíz entre los divisores del término independiente y dividimos por Ruffini. Con $x=-2$ el resto sale 0, así que es raíz:
$\begin{array}{rrrrr}& 1& 2& -25& -50\\ -2& & -2& 0& 50\\ & 1& 0& -25& 0\end{array}$
Los coeficientes de la última fila son el cociente, y el polinomio es (x menos la raíz) por ese cociente:
$\boxed{{\displaystyle P(x)=(x-r)\cdot C(x)}}$
$x^3-50+2x^2-25x=(x+2)(x^2-25)$
$x^2-25$ es una diferencia de cuadrados, con $A=x$ y $B=5$:
$\boxed{{\displaystyle a^2-b^2=(a+b)(a-b)}}$
$x^2-25=(x+5)(x-5)$
En total:
$x^3-50+2x^2-25x=(x+2)(x+5)(x-5)$
Sacamos factor común $2x$:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)}}$
$2x^3-20x^2+50x=2x(x^2-10x+25)$
$x^2-10x+25$ es el cuadrado de un binomio, con $A=x$ y $B=5$ (el término central es $2\cdot x\cdot 5=10x$):
$\boxed{{\displaystyle a^2\pm 2ab+b^2=(a\pm b{)}^2}}$
$x^2-10x+25=(x-5{)}^2$
En total, el polinomio factorizado queda:
$2x^3-20x^2+50x=2x(x-5{)}^2$
Con todo factorizado, tachamos los factores comunes (cada tachado de arriba se empareja con uno de abajo):
${\displaystyle \frac{(2x^2+14x+20)\cdot (2x^3-20x^2+50x)}{(x^3-50+2x^2-25x)\cdot (x-5)}}={\displaystyle \frac{4x(x+2)(x+5)(x-5{)}^2}{(x+2)(x+5)(x-5{)}^2}}$
Escribimos cada factor separando la parte que se va a tachar:
${\displaystyle \frac{4x(x+2)(x+5)(x-5{)}^2}{(x+2)(x+5)(x-5{)}^2}}={\displaystyle \frac{4x(x+2)(x+5)(x-5{)}^2}{(x+2)(x+5)(x-5{)}^2}}$
${\displaystyle \frac{4x\cancel{(x+2)}\cancel{(x+5)}\cancel{(x-5{)}^2}}{\cancel{(x+2)}\cancel{(x+5)}\cancel{(x-5{)}^2}}}=4x$
Dividimos el numerador entre el denominador:
Para dividir, multiplicamos en cruz: el numerador de la primera por el denominador de la segunda, y el denominador de la primera por el numerador de la segunda:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{b}}:{\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a\cdot d}{b\cdot c}}}}$
$(4x):(4x)={\displaystyle \frac{4x}{4x}}$
Con todo factorizado, tachamos los factores comunes (cada tachado de arriba se empareja con uno de abajo):
${\displaystyle \frac{4x}{4x}}={\displaystyle \frac{\cancel{4}\cancel{x}}{\cancel{4}\cancel{x}}}=1$
Como se han tachado factores del denominador, la simplificación vale para $x\mathrm{\ne }-1$, $x\mathrm{\ne }-2$, $x\mathrm{\ne }-5$, $x\mathrm{\ne }0$, $x\mathrm{\ne }1$ y $x\mathrm{\ne }5$ (los valores que anulan lo tachado).
Resultado: $1$.