Ejercicio resuelto de Fracciones algebraicas · Matemáticas 4 ESO

Utilizando las identidades notables y sacando factor común, simplifica las siguientes fracciones algebraicas:

a) ${\displaystyle \frac{9-a^2}{a^2-3a}}$
b) ${\displaystyle \frac{y^2-y}{y^3-y^2}}$
c) ${\displaystyle \frac{x^4+x^3+x^2}{3x^2+3x+3}}$
d) ${\displaystyle \frac{3x^2-3x}{3x^3-6x^2+3x}}$
e) ${\displaystyle \frac{x^3-4x}{x^3+4x^2+4x}}$
f) ${\displaystyle \frac{3a{b}^2-3b^2}{3b^3-3b^2}}$
g) ${\displaystyle \frac{x+1}{1-x^2}}$

$\mathbf{\text{a)}}$ Factorizamos el numerador:
Sacamos factor común $-1$ para que el término de mayor grado quede positivo:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)}}$
$9-a^2=-(a^2-9)$
$a^2-9$ es una diferencia de cuadrados, con $A=a$ y $B=3$:
$\boxed{{\displaystyle a^2-b^2=(a+b)(a-b)}}$
$a^2-9=(a+3)(a-3)$
En total, el polinomio factorizado queda:
$9-a^2=-(a+3)(a-3)$
Factorizamos el denominador:
Sacamos factor común $a$:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)}}$
$a^2-3a=a(a-3)$
Escribimos la fracción con numerador y denominador factorizados y tachamos los factores comunes (cada factor tachado arriba se empareja con el mismo factor tachado abajo):
${\displaystyle \frac{9-a^2}{a^2-3a}}=-{\displaystyle \frac{(a+3)(a-3)}{a(a-3)}}$
$-{\displaystyle \frac{(a+3)(a-3)}{a(a-3)}}=-{\displaystyle \frac{(a+3)\cancel{(a-3)}}{a\cancel{(a-3)}}}=-{\displaystyle \frac{a+3}{a}}$
Como se han tachado factores del denominador, la simplificación vale para $a\mathrm{\ne }3$ (los valores que anulan lo tachado).
Resultado: $-{\displaystyle \frac{a+3}{a}}$.


$\mathbf{\text{b)}}$ Factorizamos el numerador:
Sacamos factor común $y$:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)}}$
$y^2-y=y(y-1)$
Factorizamos el denominador:
Sacamos factor común $y^2$:
$y^3-y^2=y^2(y-1)$
Escribimos la fracción con numerador y denominador factorizados y tachamos los factores comunes (cada factor tachado arriba se empareja con el mismo factor tachado abajo):
${\displaystyle \frac{y^2-y}{y^3-y^2}}={\displaystyle \frac{y(y-1)}{y^2(y-1)}}$
${\displaystyle \frac{y(y-1)}{y^2(y-1)}}={\displaystyle \frac{\cancel{y}\cancel{(y-1)}}{\cancel{y}y\cancel{(y-1)}}}={\displaystyle \frac{1}{y}}$
Como se han tachado factores del denominador, la simplificación vale para $y\mathrm{\ne }0$ y $y\mathrm{\ne }1$ (los valores que anulan lo tachado).
Resultado: ${\displaystyle \frac{1}{y}}$.


$\mathbf{\text{c)}}$ Factorizamos el numerador:
Sacamos factor común $x^2$:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)}}$
$x^4+x^3+x^2=x^2(x^2+x+1)$
$x^2+x+1$ no tiene raíces reales (su discriminante, $b^2-4ac=-3$, es negativo), así que no se puede factorizar.
Factorizamos el denominador:
Sacamos factor común $3$:
$3x^2+3x+3=3(x^2+x+1)$
$x^2+x+1$ no tiene raíces reales (su discriminante, $b^2-4ac=-3$, es negativo), así que no se puede factorizar.
Escribimos la fracción con numerador y denominador factorizados y tachamos los factores comunes (cada factor tachado arriba se empareja con el mismo factor tachado abajo):
${\displaystyle \frac{x^4+x^3+x^2}{3x^2+3x+3}}={\displaystyle \frac{x^2(x^2+x+1)}{3(x^2+x+1)}}$
${\displaystyle \frac{x^2(x^2+x+1)}{3(x^2+x+1)}}={\displaystyle \frac{x^2\cancel{(x^2+x+1)}}{3\cancel{(x^2+x+1)}}}={\displaystyle \frac{x^2}{3}}$
Resultado: ${\displaystyle \frac{x^2}{3}}$.


$\mathbf{\text{d)}}$ Factorizamos el numerador:
Sacamos factor común $3x$:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)}}$
$3x^2-3x=3x(x-1)$
Factorizamos el denominador:
Sacamos factor común $3x$:
$3x^3-6x^2+3x=3x(x^2-2x+1)$
$x^2-2x+1$ es el cuadrado de un binomio, con $A=x$ y $B=1$ (el término central es $2\cdot x\cdot 1=2x$):
$\boxed{{\displaystyle a^2\pm 2ab+b^2=(a\pm b{)}^2}}$
$x^2-2x+1=(x-1{)}^2$
En total, el polinomio factorizado queda:
$3x^3-6x^2+3x=3x(x-1{)}^2$
Escribimos la fracción con numerador y denominador factorizados y tachamos los factores comunes (cada factor tachado arriba se empareja con el mismo factor tachado abajo):
${\displaystyle \frac{3x^2-3x}{3x^3-6x^2+3x}}={\displaystyle \frac{3x(x-1)}{3x(x-1{)}^2}}$
Escribimos cada factor separando la parte que se va a tachar:
${\displaystyle \frac{3x(x-1)}{3x(x-1{)}^2}}={\displaystyle \frac{3x(x-1)}{3x(x-1)(x-1)}}$
${\displaystyle \frac{\cancel{3}\cancel{x}\cancel{(x-1)}}{\cancel{3}\cancel{x}\cancel{(x-1)}(x-1)}}={\displaystyle \frac{1}{x-1}}$
Como se han tachado factores del denominador, la simplificación vale para $x\mathrm{\ne }0$ y $x\mathrm{\ne }1$ (los valores que anulan lo tachado).
Resultado: ${\displaystyle \frac{1}{x-1}}$.


$\mathbf{\text{e)}}$ Factorizamos el numerador:
Sacamos factor común $x$:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)}}$
$x^3-4x=x(x^2-4)$
$x^2-4$ es una diferencia de cuadrados, con $A=x$ y $B=2$:
$\boxed{{\displaystyle a^2-b^2=(a+b)(a-b)}}$
$x^2-4=(x+2)(x-2)$
En total, el polinomio factorizado queda:
$x^3-4x=x(x+2)(x-2)$
Factorizamos el denominador:
Sacamos factor común $x$:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)}}$
$x^3+4x^2+4x=x(x^2+4x+4)$
$x^2+4x+4$ es el cuadrado de un binomio, con $A=x$ y $B=2$ (el término central es $2\cdot x\cdot 2=4x$):
$\boxed{{\displaystyle a^2\pm 2ab+b^2=(a\pm b{)}^2}}$
$x^2+4x+4=(x+2{)}^2$
En total, el polinomio factorizado queda:
$x^3+4x^2+4x=x(x+2{)}^2$
Escribimos la fracción con numerador y denominador factorizados y tachamos los factores comunes (cada factor tachado arriba se empareja con el mismo factor tachado abajo):
${\displaystyle \frac{x^3-4x}{x^3+4x^2+4x}}={\displaystyle \frac{x(x+2)(x-2)}{x(x+2{)}^2}}$
Escribimos cada factor separando la parte que se va a tachar:
${\displaystyle \frac{x(x+2)(x-2)}{x(x+2{)}^2}}={\displaystyle \frac{x(x+2)(x-2)}{x(x+2)(x+2)}}$
${\displaystyle \frac{\cancel{x}\cancel{(x+2)}(x-2)}{\cancel{x}\cancel{(x+2)}(x+2)}}={\displaystyle \frac{x-2}{x+2}}$
Como se han tachado factores del denominador, la simplificación vale para $x\mathrm{\ne }-2$ y $x\mathrm{\ne }0$ (los valores que anulan lo tachado).
Resultado: ${\displaystyle \frac{x-2}{x+2}}$.


$\mathbf{\text{f)}}$ Factorizamos el numerador:
Sacamos factor común $3b^2$:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)}}$
$3a{b}^2-3b^2=3b^2(a-1)$
Factorizamos el denominador:
Sacamos factor común $3b^2$:
$3b^3-3b^2=3b^2(b-1)$
Escribimos la fracción con numerador y denominador factorizados y tachamos los factores comunes (cada factor tachado arriba se empareja con el mismo factor tachado abajo):
${\displaystyle \frac{3a{b}^2-3b^2}{3b^3-3b^2}}={\displaystyle \frac{3b^2(a-1)}{3b^2(b-1)}}$
Escribimos cada factor separando la parte que se va a tachar:
${\displaystyle \frac{3b^2(a-1)}{3b^2(b-1)}}={\displaystyle \frac{3b^2(a-1)}{3b^2(b-1)}}$
${\displaystyle \frac{\cancel{3}\cancel{b^2}(a-1)}{\cancel{3}\cancel{b^2}(b-1)}}={\displaystyle \frac{a-1}{b-1}}$
Como se han tachado factores del denominador, la simplificación vale para $b\mathrm{\ne }0$ (los valores que anulan lo tachado).
Resultado: ${\displaystyle \frac{a-1}{b-1}}$.


$\mathbf{\text{g)}}$ Factorizamos el denominador:
Sacamos factor común $-1$ para que el término de mayor grado quede positivo:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)}}$
$1-x^2=-(x^2-1)$
$x^2-1$ es una diferencia de cuadrados, con $A=x$ y $B=1$:
$\boxed{{\displaystyle a^2-b^2=(a+b)(a-b)}}$
$x^2-1=(x+1)(x-1)$
En total, el polinomio factorizado queda:
$1-x^2=-(x+1)(x-1)$
Escribimos la fracción con numerador y denominador factorizados y tachamos los factores comunes (cada factor tachado arriba se empareja con el mismo factor tachado abajo):
${\displaystyle \frac{x+1}{1-x^2}}=-{\displaystyle \frac{x+1}{(x+1)(x-1)}}$
$-{\displaystyle \frac{x+1}{(x+1)(x-1)}}=-{\displaystyle \frac{\cancel{(x+1)}}{\cancel{(x+1)}(x-1)}}=-{\displaystyle \frac{1}{x-1}}$
Como se han tachado factores del denominador, la simplificación vale para $x\mathrm{\ne }-1$ (los valores que anulan lo tachado).
Resultado: $-{\displaystyle \frac{1}{x-1}}$.