Ejercicio resuelto de Fracciones algebraicas · Matemáticas 4 ESO

Simplifica las siguientes fracciones algebraicas:

a) ${\displaystyle \frac{3x^3-2x^2-7x-2}{x^3-4x}}$
b) ${\displaystyle \frac{3x^2+9x}{x^2+2x-3}}$
c) ${\displaystyle \frac{x^4+2x^3-3x^2}{x^4+2x^3+2x^2+10x-15}}$
d) ${\displaystyle \frac{x^3-19x-30}{x^3-3x^2-10x}}$
e) ${\displaystyle \frac{x^4-1}{x^4-x^3-x^2-x-2}}$
f) ${\displaystyle \frac{x^2+6x-7}{2x-2}}$
g) ${\displaystyle \frac{x^3+3x^2+3x+1}{x^3+2x^2+x}}$

$\mathbf{\text{a)}}$ Factorizamos el numerador:
$3x^3-2x^2-7x-2$ es de grado 3: buscamos una raíz entre los divisores del término independiente y dividimos por Ruffini. Con $x=-1$ el resto sale 0, así que es raíz:
$\begin{array}{rrrrr}& 3& -2& -7& -2\\ -1& & -3& 5& 2\\ & 3& -5& -2& 0\end{array}$
Los coeficientes de la última fila son el cociente, y el polinomio es (x menos la raíz) por ese cociente:
$\boxed{{\displaystyle P(x)=(x-r)\cdot C(x)}}$
$3x^3-2x^2-7x-2=(x+1)(3x^2-5x-2)$
$3x^2-5x-2$ es un polinomio de segundo grado: se resuelve la ecuación $3x^2-5x-2=0$ con la fórmula, y cada raíz $x_i$ da un factor $(x-x_i)$:
$x={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}={\displaystyle \frac{-(-5)\pm \sqrt{(-5{)}^2-4\cdot 3\cdot (-2)}}{2\cdot 3}}={\displaystyle \frac{5\pm \sqrt{49}}{6}}={\displaystyle \frac{5\pm 7}{6}}$
Las raíces son $x_1=2$ y $x_2=-{\displaystyle \frac{1}{3}}$. Con el coeficiente $a=3$ delante:
$\boxed{{\displaystyle a{x}^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)}}$
$3x^2-5x-2=3(x-2)(x+{\displaystyle \frac{1}{3}})$
Multiplicamos el coeficiente por el paréntesis que lleva fracción, para que no quede ninguna:
$3(x-2)(x+{\displaystyle \frac{1}{3}})=(3x+1)(x-2)$
En total:
$3x^3-2x^2-7x-2=(3x+1)(x+1)(x-2)$
Factorizamos el denominador:
Sacamos factor común $x$:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)}}$
$x^3-4x=x(x^2-4)$
$x^2-4$ es una diferencia de cuadrados, con $A=x$ y $B=2$:
$\boxed{{\displaystyle a^2-b^2=(a+b)(a-b)}}$
$x^2-4=(x+2)(x-2)$
En total, el polinomio factorizado queda:
$x^3-4x=x(x+2)(x-2)$
Escribimos la fracción con numerador y denominador factorizados y tachamos los factores comunes (cada factor tachado arriba se empareja con el mismo factor tachado abajo):
${\displaystyle \frac{3x^3-2x^2-7x-2}{x^3-4x}}={\displaystyle \frac{(3x+1)(x+1)(x-2)}{x(x+2)(x-2)}}$
Escribimos cada factor separando la parte que se va a tachar:
${\displaystyle \frac{(3x+1)(x+1)(x-2)}{x(x+2)(x-2)}}={\displaystyle \frac{(3x+1)(x+1)(x-2)}{x(x+2)(x-2)}}$
${\displaystyle \frac{(3x+1)(x+1)\cancel{(x-2)}}{x(x+2)\cancel{(x-2)}}}={\displaystyle \frac{(3x+1)(x+1)}{x(x+2)}}$
Como se han tachado factores del denominador, la simplificación vale para $x\mathrm{\ne }2$ (los valores que anulan lo tachado).
Resultado: ${\displaystyle \frac{(3x+1)(x+1)}{x(x+2)}}$.


$\mathbf{\text{b)}}$ Factorizamos el numerador:
Sacamos factor común $3x$:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)}}$
$3x^2+9x=3x(x+3)$
Factorizamos el denominador:
$x^2+2x-3$ es un polinomio de segundo grado: se resuelve la ecuación $x^2+2x-3=0$ con la fórmula, y cada raíz $x_i$ da un factor $(x-x_i)$:
$x={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}={\displaystyle \frac{-2\pm \sqrt{2^2-4\cdot 1\cdot (-3)}}{2\cdot 1}}={\displaystyle \frac{-2\pm \sqrt{16}}{2}}={\displaystyle \frac{-2\pm 4}{2}}$
Las raíces son $x_1=1$ y $x_2=-3$, así que:
$\boxed{{\displaystyle a{x}^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)}}$
$x^2+2x-3=(x-1)(x+3)$
Escribimos la fracción con numerador y denominador factorizados y tachamos los factores comunes (cada factor tachado arriba se empareja con el mismo factor tachado abajo):
${\displaystyle \frac{3x^2+9x}{x^2+2x-3}}={\displaystyle \frac{3x(x+3)}{(x+3)(x-1)}}$
${\displaystyle \frac{3x(x+3)}{(x+3)(x-1)}}={\displaystyle \frac{3x\cancel{(x+3)}}{\cancel{(x+3)}(x-1)}}={\displaystyle \frac{3x}{x-1}}$
Como se han tachado factores del denominador, la simplificación vale para $x\mathrm{\ne }-3$ (los valores que anulan lo tachado).
Resultado: ${\displaystyle \frac{3x}{x-1}}$.


$\mathbf{\text{c)}}$ Factorizamos el numerador:
Sacamos factor común $x^2$:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)}}$
$x^4+2x^3-3x^2=x^2(x^2+2x-3)$
$x^2+2x-3$ es un polinomio de segundo grado: se resuelve la ecuación $x^2+2x-3=0$ con la fórmula, y cada raíz $x_i$ da un factor $(x-x_i)$:
$x={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}={\displaystyle \frac{-2\pm \sqrt{2^2-4\cdot 1\cdot (-3)}}{2\cdot 1}}={\displaystyle \frac{-2\pm \sqrt{16}}{2}}={\displaystyle \frac{-2\pm 4}{2}}$
Las raíces son $x_1=1$ y $x_2=-3$, así que:
$\boxed{{\displaystyle a{x}^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)}}$
$x^2+2x-3=(x-1)(x+3)$
En total, el polinomio factorizado queda:
$x^4+2x^3-3x^2=x^2(x+3)(x-1)$
Factorizamos el denominador:
$x^4+2x^3+2x^2+10x-15$ es de grado 4: buscamos una raíz entre los divisores del término independiente y dividimos por Ruffini. Con $x=1$ el resto sale 0, así que es raíz:
$\begin{array}{rrrrrr}& 1& 2& 2& 10& -15\\ 1& & 1& 3& 5& 15\\ & 1& 3& 5& 15& 0\end{array}$
Los coeficientes de la última fila son el cociente, y el polinomio es (x menos la raíz) por ese cociente:
$\boxed{{\displaystyle P(x)=(x-r)\cdot C(x)}}$
$x^4+2x^3+2x^2+10x-15=(x-1)(x^3+3x^2+5x+15)$
$x^3+3x^2+5x+15$ es de grado 3: buscamos una raíz entre los divisores del término independiente y dividimos por Ruffini. Con $x=-3$ el resto sale 0, así que es raíz:
$\begin{array}{rrrrr}& 1& 3& 5& 15\\ -3& & -3& 0& -15\\ & 1& 0& 5& 0\end{array}$
Los coeficientes de la última fila son el cociente, y el polinomio es (x menos la raíz) por ese cociente:
$x^3+3x^2+5x+15=(x+3)(x^2+5)$
$x^2+5$ no tiene raíces reales (su discriminante, $b^2-4ac=-20$, es negativo), así que no se puede factorizar.
En total:
$x^3+3x^2+5x+15=(x+3)(x^2+5)$
En total:
$x^4+2x^3+2x^2+10x-15=(x+3)(x-1)(x^2+5)$
Escribimos la fracción con numerador y denominador factorizados y tachamos los factores comunes (cada factor tachado arriba se empareja con el mismo factor tachado abajo):
${\displaystyle \frac{x^4+2x^3-3x^2}{x^4+2x^3+2x^2+10x-15}}={\displaystyle \frac{x^2(x+3)(x-1)}{(x+3)(x-1)(x^2+5)}}$
Escribimos cada factor separando la parte que se va a tachar:
${\displaystyle \frac{x^2(x+3)(x-1)}{(x+3)(x-1)(x^2+5)}}={\displaystyle \frac{x^2(x+3)(x-1)}{(x+3)(x-1)(x^2+5)}}$
${\displaystyle \frac{x^2\cancel{(x+3)}\cancel{(x-1)}}{\cancel{(x+3)}\cancel{(x-1)}(x^2+5)}}={\displaystyle \frac{x^2}{x^2+5}}$
Como se han tachado factores del denominador, la simplificación vale para $x\mathrm{\ne }-3$ y $x\mathrm{\ne }1$ (los valores que anulan lo tachado).
Resultado: ${\displaystyle \frac{x^2}{x^2+5}}$.


$\mathbf{\text{d)}}$ Factorizamos el numerador:
$x^3-19x-30$ es de grado 3: buscamos una raíz entre los divisores del término independiente y dividimos por Ruffini. Con $x=-2$ el resto sale 0, así que es raíz:
$\begin{array}{rrrrr}& 1& 0& -19& -30\\ -2& & -2& 4& 30\\ & 1& -2& -15& 0\end{array}$
Los coeficientes de la última fila son el cociente, y el polinomio es (x menos la raíz) por ese cociente:
$\boxed{{\displaystyle P(x)=(x-r)\cdot C(x)}}$
$x^3-19x-30=(x+2)(x^2-2x-15)$
$x^2-2x-15$ es un polinomio de segundo grado: se resuelve la ecuación $x^2-2x-15=0$ con la fórmula, y cada raíz $x_i$ da un factor $(x-x_i)$:
$x={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}={\displaystyle \frac{-(-2)\pm \sqrt{(-2{)}^2-4\cdot 1\cdot (-15)}}{2\cdot 1}}={\displaystyle \frac{2\pm \sqrt{64}}{2}}={\displaystyle \frac{2\pm 8}{2}}$
Las raíces son $x_1=5$ y $x_2=-3$, así que:
$\boxed{{\displaystyle a{x}^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)}}$
$x^2-2x-15=(x-5)(x+3)$
En total:
$x^3-19x-30=(x+2)(x+3)(x-5)$
Factorizamos el denominador:
Sacamos factor común $x$:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)}}$
$x^3-3x^2-10x=x(x^2-3x-10)$
$x^2-3x-10$ es un polinomio de segundo grado: se resuelve la ecuación $x^2-3x-10=0$ con la fórmula, y cada raíz $x_i$ da un factor $(x-x_i)$:
$x={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}={\displaystyle \frac{-(-3)\pm \sqrt{(-3{)}^2-4\cdot 1\cdot (-10)}}{2\cdot 1}}={\displaystyle \frac{3\pm \sqrt{49}}{2}}={\displaystyle \frac{3\pm 7}{2}}$
Las raíces son $x_1=5$ y $x_2=-2$, así que:
$\boxed{{\displaystyle a{x}^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)}}$
$x^2-3x-10=(x-5)(x+2)$
En total, el polinomio factorizado queda:
$x^3-3x^2-10x=x(x+2)(x-5)$
Escribimos la fracción con numerador y denominador factorizados y tachamos los factores comunes (cada factor tachado arriba se empareja con el mismo factor tachado abajo):
${\displaystyle \frac{x^3-19x-30}{x^3-3x^2-10x}}={\displaystyle \frac{(x+2)(x+3)(x-5)}{x(x+2)(x-5)}}$
Escribimos cada factor separando la parte que se va a tachar:
${\displaystyle \frac{(x+2)(x+3)(x-5)}{x(x+2)(x-5)}}={\displaystyle \frac{(x+2)(x+3)(x-5)}{x(x+2)(x-5)}}$
${\displaystyle \frac{\cancel{(x+2)}(x+3)\cancel{(x-5)}}{x\cancel{(x+2)}\cancel{(x-5)}}}={\displaystyle \frac{x+3}{x}}$
Como se han tachado factores del denominador, la simplificación vale para $x\mathrm{\ne }-2$ y $x\mathrm{\ne }5$ (los valores que anulan lo tachado).
Resultado: ${\displaystyle \frac{x+3}{x}}$.


$\mathbf{\text{e)}}$ Factorizamos el numerador:
$x^4-1$ es una diferencia de cuadrados, con $A=x^2$ y $B=1$:
$\boxed{{\displaystyle a^2-b^2=(a+b)(a-b)}}$
$x^4-1=(x^2+1)(x^2-1)$
$x^2-1$ es una diferencia de cuadrados, con $A=x$ y $B=1$:
$x^2-1=(x+1)(x-1)$
$x^2+1$ no tiene raíces reales (su discriminante, $b^2-4ac=-4$, es negativo), así que no se puede factorizar.
Factorizamos el denominador:
$x^4-x^3-x^2-x-2$ es de grado 4: buscamos una raíz entre los divisores del término independiente y dividimos por Ruffini. Con $x=-1$ el resto sale 0, así que es raíz:
$\begin{array}{rrrrrr}& 1& -1& -1& -1& -2\\ -1& & -1& 2& -1& 2\\ & 1& -2& 1& -2& 0\end{array}$
Los coeficientes de la última fila son el cociente, y el polinomio es (x menos la raíz) por ese cociente:
$\boxed{{\displaystyle P(x)=(x-r)\cdot C(x)}}$
$x^4-x^3-x^2-x-2=(x+1)(x^3-2x^2+x-2)$
$x^3-2x^2+x-2$ es de grado 3: buscamos una raíz entre los divisores del término independiente y dividimos por Ruffini. Con $x=2$ el resto sale 0, así que es raíz:
$\begin{array}{rrrrr}& 1& -2& 1& -2\\ 2& & 2& 0& 2\\ & 1& 0& 1& 0\end{array}$
Los coeficientes de la última fila son el cociente, y el polinomio es (x menos la raíz) por ese cociente:
$x^3-2x^2+x-2=(x-2)(x^2+1)$
$x^2+1$ no tiene raíces reales (su discriminante, $b^2-4ac=-4$, es negativo), así que no se puede factorizar.
En total:
$x^3-2x^2+x-2=(x-2)(x^2+1)$
En total:
$x^4-x^3-x^2-x-2=(x+1)(x-2)(x^2+1)$
Escribimos la fracción con numerador y denominador factorizados y tachamos los factores comunes (cada factor tachado arriba se empareja con el mismo factor tachado abajo):
${\displaystyle \frac{x^4-1}{x^4-x^3-x^2-x-2}}={\displaystyle \frac{(x+1)(x-1)(x^2+1)}{(x+1)(x-2)(x^2+1)}}$
Escribimos cada factor separando la parte que se va a tachar:
${\displaystyle \frac{(x+1)(x-1)(x^2+1)}{(x+1)(x-2)(x^2+1)}}={\displaystyle \frac{(x+1)(x-1)(x^2+1)}{(x+1)(x-2)(x^2+1)}}$
${\displaystyle \frac{\cancel{(x+1)}(x-1)\cancel{(x^2+1)}}{\cancel{(x+1)}(x-2)\cancel{(x^2+1)}}}={\displaystyle \frac{x-1}{x-2}}$
Como se han tachado factores del denominador, la simplificación vale para $x\mathrm{\ne }-1$ (los valores que anulan lo tachado).
Resultado: ${\displaystyle \frac{x-1}{x-2}}$.


$\mathbf{\text{f)}}$ Factorizamos el numerador:
$x^2+6x-7$ es un polinomio de segundo grado: se resuelve la ecuación $x^2+6x-7=0$ con la fórmula, y cada raíz $x_i$ da un factor $(x-x_i)$:
$x={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}={\displaystyle \frac{-6\pm \sqrt{6^2-4\cdot 1\cdot (-7)}}{2\cdot 1}}={\displaystyle \frac{-6\pm \sqrt{64}}{2}}={\displaystyle \frac{-6\pm 8}{2}}$
Las raíces son $x_1=1$ y $x_2=-7$, así que:
$\boxed{{\displaystyle a{x}^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)}}$
$x^2+6x-7=(x-1)(x+7)$
Factorizamos el denominador:
Sacamos factor común $2$:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)}}$
$2x-2=2(x-1)$
Escribimos la fracción con numerador y denominador factorizados y tachamos los factores comunes (cada factor tachado arriba se empareja con el mismo factor tachado abajo):
${\displaystyle \frac{x^2+6x-7}{2x-2}}={\displaystyle \frac{(x+7)(x-1)}{2(x-1)}}$
${\displaystyle \frac{(x+7)(x-1)}{2(x-1)}}={\displaystyle \frac{(x+7)\cancel{(x-1)}}{2\cancel{(x-1)}}}={\displaystyle \frac{x+7}{2}}$
Como se han tachado factores del denominador, la simplificación vale para $x\mathrm{\ne }1$ (los valores que anulan lo tachado).
Resultado: ${\displaystyle \frac{x+7}{2}}$.


$\mathbf{\text{g)}}$ Factorizamos el numerador:
$x^3+3x^2+3x+1$ es de grado 3: buscamos una raíz entre los divisores del término independiente y dividimos por Ruffini. Con $x=-1$ el resto sale 0, así que es raíz:
$\begin{array}{rrrrr}& 1& 3& 3& 1\\ -1& & -1& -2& -1\\ & 1& 2& 1& 0\end{array}$
Los coeficientes de la última fila son el cociente, y el polinomio es (x menos la raíz) por ese cociente:
$\boxed{{\displaystyle P(x)=(x-r)\cdot C(x)}}$
$x^3+3x^2+3x+1=(x+1)(x^2+2x+1)$
$x^2+2x+1$ es el cuadrado de un binomio, con $A=x$ y $B=1$ (el término central es $2\cdot x\cdot 1=2x$):
$\boxed{{\displaystyle a^2\pm 2ab+b^2=(a\pm b{)}^2}}$
$x^2+2x+1=(x+1{)}^2$
En total:
$x^3+3x^2+3x+1=(x+1{)}^3$
Factorizamos el denominador:
Sacamos factor común $x$:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)}}$
$x^3+2x^2+x=x(x^2+2x+1)$
$x^2+2x+1$ es el cuadrado de un binomio, con $A=x$ y $B=1$ (el término central es $2\cdot x\cdot 1=2x$):
$\boxed{{\displaystyle a^2\pm 2ab+b^2=(a\pm b{)}^2}}$
$x^2+2x+1=(x+1{)}^2$
En total, el polinomio factorizado queda:
$x^3+2x^2+x=x(x+1{)}^2$
Escribimos la fracción con numerador y denominador factorizados y tachamos los factores comunes (cada factor tachado arriba se empareja con el mismo factor tachado abajo):
${\displaystyle \frac{x^3+3x^2+3x+1}{x^3+2x^2+x}}={\displaystyle \frac{(x+1{)}^3}{x(x+1{)}^2}}$
${\displaystyle \frac{(x+1{)}^3}{x(x+1{)}^2}}={\displaystyle \frac{\cancel{(x+1{)}^2}(x+1)}{x\cancel{(x+1{)}^2}}}={\displaystyle \frac{x+1}{x}}$
Como se han tachado factores del denominador, la simplificación vale para $x\mathrm{\ne }-1$ (los valores que anulan lo tachado).
Resultado: ${\displaystyle \frac{x+1}{x}}$.