Ejercicio resuelto de Fracciones algebraicas · Matemáticas 4 ESO

Opera y simplifica las siguientes fracciones algebraicas:

a) ${\displaystyle \frac{1}{x+1}}+{\displaystyle \frac{2x}{x^2-1}}-{\displaystyle \frac{1}{x-1}}$
b) ${\displaystyle \frac{x-1}{x^2-4}}-{\displaystyle \frac{x-2}{x^2+2x}}+{\displaystyle \frac{1}{x-2}}$
c) ${\displaystyle \frac{2}{x^2-16}}-{\displaystyle \frac{1}{x^2+4x}}$
d) ${\displaystyle \frac{1}{x-2}}-{\displaystyle \frac{x^2+4x+8}{{(x+2)}^2\cdot (x-2)}}+{\displaystyle \frac{1}{x^2-4}}$
e) ${\displaystyle \frac{x}{x^2-3x-4}}-{\displaystyle \frac{2x}{x^2-1}}+{\displaystyle \frac{x^2-3x-4}{x^3-4x^2-x+4}}$
f) ${\displaystyle \frac{n}{n^2-1}}-{\displaystyle \frac{3}{n+1}}-{\displaystyle \frac{n+2}{n^2+n-2}}$
g) ${\displaystyle \frac{1}{a-1}}+{\displaystyle \frac{1}{a-3}}-{\displaystyle \frac{a-1}{a^2-4a+3}}$
h) ${\displaystyle \frac{3x^2-12x+12}{x^2-5x+6}}:{\displaystyle \frac{6x^3-54x}{x^3-6x^2+9x}}$

$\mathbf{\text{a)}}$ Para sumar o restar hace falta un denominador común, así que factorizamos los denominadores:
$x^2-1$ es una diferencia de cuadrados, con $A=x$ y $B=1$:
$\boxed{{\displaystyle a^2-b^2=(a+b)(a-b)}}$
$x^2-1=(x+1)(x-1)$
El mínimo común múltiplo de los denominadores se forma con todos los factores distintos, cada uno elevado al mayor exponente con el que aparece: $\text{mcm}=(x+1)(x-1)$. Ese es el denominador común.
Reducimos cada fracción a ese denominador, multiplicando arriba y abajo por lo que le falta:
${\displaystyle \frac{1}{x+1}}={\displaystyle \frac{1\cdot (x-1)}{(x+1)(x-1)}}$
${\displaystyle \frac{2x}{x^2-1}}$ ya tiene el denominador común.
${\displaystyle \frac{1}{x-1}}={\displaystyle \frac{1\cdot (x+1)}{(x+1)(x-1)}}$
Sumamos y restamos los numeradores sobre el denominador común y operamos:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{b}}\pm {\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a\cdot d\pm c\cdot b}{b\cdot d}}}}$
${\displaystyle \frac{1\cdot (x-1)+2x-1\cdot (x+1)}{(x+1)(x-1)}}={\displaystyle \frac{(x-1)+2x-(x+1)}{(x+1)(x-1)}}$
${\displaystyle \frac{(x-1)+2x-(x+1)}{(x+1)(x-1)}}={\displaystyle \frac{2x-2}{(x+1)(x-1)}}$
Factorizamos el numerador para ver si comparte factores con el denominador:
Sacamos factor común $2$:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)}}$
$2x-2=2(x-1)$
Tachamos los factores comunes:
${\displaystyle \frac{2x-2}{(x+1)(x-1)}}={\displaystyle \frac{2\cancel{(x-1)}}{(x+1)\cancel{(x-1)}}}={\displaystyle \frac{2}{x+1}}$
Como se han tachado factores del denominador, la simplificación vale para $x\mathrm{\ne }1$ (los valores que anulan lo tachado).
Resultado: ${\displaystyle \frac{2}{x+1}}$.


$\mathbf{\text{b)}}$ Para sumar o restar hace falta un denominador común, así que factorizamos los denominadores:
$x^2-4$ es una diferencia de cuadrados, con $A=x$ y $B=2$:
$\boxed{{\displaystyle a^2-b^2=(a+b)(a-b)}}$
$x^2-4=(x+2)(x-2)$
Sacamos factor común $x$:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)}}$
$x^2+2x=x(x+2)$
El mínimo común múltiplo de los denominadores se forma con todos los factores distintos, cada uno elevado al mayor exponente con el que aparece: $\text{mcm}=x(x+2)(x-2)$. Ese es el denominador común.
Reducimos cada fracción a ese denominador, multiplicando arriba y abajo por lo que le falta:
${\displaystyle \frac{x-1}{(x+2)(x-2)}}={\displaystyle \frac{(x-1)\cdot x}{x(x+2)(x-2)}}$
${\displaystyle \frac{x-2}{x(x+2)}}={\displaystyle \frac{(x-2)\cdot (x-2)}{x(x+2)(x-2)}}$
${\displaystyle \frac{1}{x-2}}={\displaystyle \frac{1\cdot x(x+2)}{x(x+2)(x-2)}}$
Sumamos y restamos los numeradores sobre el denominador común y operamos:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{b}}\pm {\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a\cdot d\pm c\cdot b}{b\cdot d}}}}$
${\displaystyle \frac{(x-1)\cdot x-(x-2)\cdot (x-2)+1\cdot x(x+2)}{x(x+2)(x-2)}}={\displaystyle \frac{(x^2-x)-(x^2-4x+4)+(x^2+2x)}{x(x+2)(x-2)}}$
${\displaystyle \frac{(x^2-x)-(x^2-4x+4)+(x^2+2x)}{x(x+2)(x-2)}}={\displaystyle \frac{x^2+5x-4}{x(x+2)(x-2)}}$
El numerador $x^2+5x-4$ no comparte ningún factor con el denominador, así que la fracción ya está simplificada.
Resultado: ${\displaystyle \frac{x^2+5x-4}{x(x+2)(x-2)}}$.


$\mathbf{\text{c)}}$ Para sumar o restar hace falta un denominador común, así que factorizamos los denominadores:
$x^2-16$ es una diferencia de cuadrados, con $A=x$ y $B=4$:
$\boxed{{\displaystyle a^2-b^2=(a+b)(a-b)}}$
$x^2-16=(x+4)(x-4)$
Sacamos factor común $x$:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)}}$
$x^2+4x=x(x+4)$
El mínimo común múltiplo de los denominadores se forma con todos los factores distintos, cada uno elevado al mayor exponente con el que aparece: $\text{mcm}=x(x+4)(x-4)$. Ese es el denominador común.
Reducimos cada fracción a ese denominador, multiplicando arriba y abajo por lo que le falta:
${\displaystyle \frac{2}{(x+4)(x-4)}}={\displaystyle \frac{2\cdot x}{x(x+4)(x-4)}}$
${\displaystyle \frac{1}{x(x+4)}}={\displaystyle \frac{1\cdot (x-4)}{x(x+4)(x-4)}}$
Sumamos y restamos los numeradores sobre el denominador común y operamos:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{b}}\pm {\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a\cdot d\pm c\cdot b}{b\cdot d}}}}$
${\displaystyle \frac{2\cdot x-1\cdot (x-4)}{x(x+4)(x-4)}}={\displaystyle \frac{2x-(x-4)}{x(x+4)(x-4)}}$
${\displaystyle \frac{2x-(x-4)}{x(x+4)(x-4)}}={\displaystyle \frac{x+4}{x(x+4)(x-4)}}$
El numerador es también un factor del denominador, así que se tacha:
${\displaystyle \frac{x+4}{x(x+4)(x-4)}}={\displaystyle \frac{\cancel{(x+4)}}{x\cancel{(x+4)}(x-4)}}={\displaystyle \frac{1}{x(x-4)}}$
Como se han tachado factores del denominador, la simplificación vale para $x\mathrm{\ne }-4$ (los valores que anulan lo tachado).
Resultado: ${\displaystyle \frac{1}{x(x-4)}}$.


$\mathbf{\text{d)}}$ Para sumar o restar hace falta un denominador común, así que factorizamos los denominadores:
$x^3+2x^2-4x-8$ es de grado 3: buscamos una raíz entre los divisores del término independiente y dividimos por Ruffini. Con $x=2$ el resto sale 0, así que es raíz:
$\begin{array}{rrrrr}& 1& 2& -4& -8\\ 2& & 2& 8& 8\\ & 1& 4& 4& 0\end{array}$
Los coeficientes de la última fila son el cociente, y el polinomio es (x menos la raíz) por ese cociente:
$\boxed{{\displaystyle P(x)=(x-r)\cdot C(x)}}$
${(x+2)}^2\cdot (x-2)=(x-2)(x^2+4x+4)$
$x^2+4x+4$ es el cuadrado de un binomio, con $A=x$ y $B=2$ (el término central es $2\cdot x\cdot 2=4x$):
$\boxed{{\displaystyle a^2\pm 2ab+b^2=(a\pm b{)}^2}}$
$x^2+4x+4=(x+2{)}^2$
En total:
${(x+2)}^2\cdot (x-2)=(x+2{)}^2(x-2)$
$x^2-4$ es una diferencia de cuadrados, con $A=x$ y $B=2$:
$\boxed{{\displaystyle a^2-b^2=(a+b)(a-b)}}$
$x^2-4=(x+2)(x-2)$
El mínimo común múltiplo de los denominadores se forma con todos los factores distintos, cada uno elevado al mayor exponente con el que aparece: $\text{mcm}=(x+2{)}^2(x-2)$. Ese es el denominador común.
Reducimos cada fracción a ese denominador, multiplicando arriba y abajo por lo que le falta:
${\displaystyle \frac{1}{x-2}}={\displaystyle \frac{1\cdot (x+2{)}^2}{(x+2{)}^2(x-2)}}$
${\displaystyle \frac{x^2+4x+8}{{(x+2)}^2\cdot (x-2)}}$ ya tiene el denominador común.
${\displaystyle \frac{1}{(x+2)(x-2)}}={\displaystyle \frac{1\cdot (x+2)}{(x+2{)}^2(x-2)}}$
Sumamos y restamos los numeradores sobre el denominador común y operamos:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{b}}\pm {\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a\cdot d\pm c\cdot b}{b\cdot d}}}}$
${\displaystyle \frac{1\cdot (x+2{)}^2-(x^2+4x+8)+1\cdot (x+2)}{(x+2{)}^2(x-2)}}={\displaystyle \frac{(x^2+4x+4)-(x^2+4x+8)+(x+2)}{(x+2{)}^2(x-2)}}$
${\displaystyle \frac{(x^2+4x+4)-(x^2+4x+8)+(x+2)}{(x+2{)}^2(x-2)}}={\displaystyle \frac{x-2}{(x+2{)}^2(x-2)}}$
El numerador es también un factor del denominador, así que se tacha:
${\displaystyle \frac{x-2}{(x+2{)}^2(x-2)}}={\displaystyle \frac{\cancel{(x-2)}}{(x+2{)}^2\cancel{(x-2)}}}={\displaystyle \frac{1}{(x+2{)}^2}}$
Como se han tachado factores del denominador, la simplificación vale para $x\mathrm{\ne }2$ (los valores que anulan lo tachado).
Resultado: ${\displaystyle \frac{1}{(x+2{)}^2}}$.


$\mathbf{\text{e)}}$ Antes de sumar, la fracción ${\displaystyle \frac{x^2-3x-4}{x^3-4x^2-x+4}}$ se puede simplificar:
$x^2-3x-4$ es un polinomio de segundo grado: se resuelve la ecuación $x^2-3x-4=0$ con la fórmula, y cada raíz $x_i$ da un factor $(x-x_i)$:
$x={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}={\displaystyle \frac{-(-3)\pm \sqrt{(-3{)}^2-4\cdot 1\cdot (-4)}}{2\cdot 1}}={\displaystyle \frac{3\pm \sqrt{25}}{2}}={\displaystyle \frac{3\pm 5}{2}}$
Las raíces son $x_1=4$ y $x_2=-1$, así que:
$\boxed{{\displaystyle a{x}^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)}}$
$x^2-3x-4=(x-4)(x+1)$
$x^3-4x^2-x+4$ es de grado 3: buscamos una raíz entre los divisores del término independiente y dividimos por Ruffini. Con $x=1$ el resto sale 0, así que es raíz:
$\begin{array}{rrrrr}& 1& -4& -1& 4\\ 1& & 1& -3& -4\\ & 1& -3& -4& 0\end{array}$
Los coeficientes de la última fila son el cociente, y el polinomio es (x menos la raíz) por ese cociente:
$\boxed{{\displaystyle P(x)=(x-r)\cdot C(x)}}$
$x^3-4x^2-x+4=(x-1)(x^2-3x-4)$
$x^2-3x-4$ es un polinomio de segundo grado: se resuelve la ecuación $x^2-3x-4=0$ con la fórmula, y cada raíz $x_i$ da un factor $(x-x_i)$:
$x={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}={\displaystyle \frac{-(-3)\pm \sqrt{(-3{)}^2-4\cdot 1\cdot (-4)}}{2\cdot 1}}={\displaystyle \frac{3\pm \sqrt{25}}{2}}={\displaystyle \frac{3\pm 5}{2}}$
Las raíces son $x_1=4$ y $x_2=-1$, así que:
$\boxed{{\displaystyle a{x}^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)}}$
$x^2-3x-4=(x-4)(x+1)$
En total:
$x^3-4x^2-x+4=(x+1)(x-1)(x-4)$
${\displaystyle \frac{x^2-3x-4}{x^3-4x^2-x+4}}={\displaystyle \frac{(x+1)(x-4)}{(x+1)(x-1)(x-4)}}$
Escribimos cada factor separando la parte que se va a tachar:
${\displaystyle \frac{(x+1)(x-4)}{(x+1)(x-1)(x-4)}}={\displaystyle \frac{(x+1)(x-4)}{(x+1)(x-1)(x-4)}}$
${\displaystyle \frac{\cancel{(x+1)}\cancel{(x-4)}}{\cancel{(x+1)}(x-1)\cancel{(x-4)}}}={\displaystyle \frac{1}{x-1}}$
Para sumar o restar hace falta un denominador común, así que factorizamos los denominadores:
$x^2-3x-4$ es un polinomio de segundo grado: se resuelve la ecuación $x^2-3x-4=0$ con la fórmula, y cada raíz $x_i$ da un factor $(x-x_i)$:
$x={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}={\displaystyle \frac{-(-3)\pm \sqrt{(-3{)}^2-4\cdot 1\cdot (-4)}}{2\cdot 1}}={\displaystyle \frac{3\pm \sqrt{25}}{2}}={\displaystyle \frac{3\pm 5}{2}}$
Las raíces son $x_1=4$ y $x_2=-1$, así que:
$x^2-3x-4=(x-4)(x+1)$
$x^2-1$ es una diferencia de cuadrados, con $A=x$ y $B=1$:
$\boxed{{\displaystyle a^2-b^2=(a+b)(a-b)}}$
$x^2-1=(x+1)(x-1)$
El mínimo común múltiplo de los denominadores se forma con todos los factores distintos, cada uno elevado al mayor exponente con el que aparece: $\text{mcm}=(x+1)(x-1)(x-4)$. Ese es el denominador común.
Reducimos cada fracción a ese denominador, multiplicando arriba y abajo por lo que le falta:
${\displaystyle \frac{x}{(x+1)(x-4)}}={\displaystyle \frac{x\cdot (x-1)}{(x+1)(x-1)(x-4)}}$
${\displaystyle \frac{2x}{(x+1)(x-1)}}={\displaystyle \frac{2x\cdot (x-4)}{(x+1)(x-1)(x-4)}}$
${\displaystyle \frac{1}{x-1}}={\displaystyle \frac{1\cdot (x+1)(x-4)}{(x+1)(x-1)(x-4)}}$
Sumamos y restamos los numeradores sobre el denominador común y operamos:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{b}}\pm {\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a\cdot d\pm c\cdot b}{b\cdot d}}}}$
${\displaystyle \frac{x\cdot (x-1)-2x\cdot (x-4)+1\cdot (x+1)(x-4)}{(x+1)(x-1)(x-4)}}={\displaystyle \frac{(x^2-x)-(2x^2-8x)+(x^2-3x-4)}{(x+1)(x-1)(x-4)}}$
${\displaystyle \frac{(x^2-x)-(2x^2-8x)+(x^2-3x-4)}{(x+1)(x-1)(x-4)}}={\displaystyle \frac{4x-4}{(x+1)(x-1)(x-4)}}$
Factorizamos el numerador para ver si comparte factores con el denominador:
Sacamos factor común $4$:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)}}$
$4x-4=4(x-1)$
Tachamos los factores comunes:
${\displaystyle \frac{4x-4}{(x+1)(x-1)(x-4)}}={\displaystyle \frac{4\cancel{(x-1)}}{(x+1)\cancel{(x-1)}(x-4)}}={\displaystyle \frac{4}{(x+1)(x-4)}}$
Como se han tachado factores del denominador, la simplificación vale para $x\mathrm{\ne }-1$, $x\mathrm{\ne }1$ y $x\mathrm{\ne }4$ (los valores que anulan lo tachado).
Resultado: ${\displaystyle \frac{4}{(x+1)(x-4)}}$.


$\mathbf{\text{f)}}$ Antes de sumar, la fracción ${\displaystyle \frac{n+2}{n^2+n-2}}$ se puede simplificar:
$n^2+n-2$ es un polinomio de segundo grado: se resuelve la ecuación $n^2+n-2=0$ con la fórmula, y cada raíz $n_i$ da un factor $(n-n_i)$:
$n={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}={\displaystyle \frac{-1\pm \sqrt{1^2-4\cdot 1\cdot (-2)}}{2\cdot 1}}={\displaystyle \frac{-1\pm \sqrt{9}}{2}}={\displaystyle \frac{-1\pm 3}{2}}$
Las raíces son $n_1=1$ y $n_2=-2$, así que:
$\boxed{{\displaystyle a{x}^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)}}$
$n^2+n-2=(n-1)(n+2)$
${\displaystyle \frac{n+2}{n^2+n-2}}={\displaystyle \frac{n+2}{(n+2)(n-1)}}$
${\displaystyle \frac{n+2}{(n+2)(n-1)}}={\displaystyle \frac{\cancel{(n+2)}}{\cancel{(n+2)}(n-1)}}={\displaystyle \frac{1}{n-1}}$
Para sumar o restar hace falta un denominador común, así que factorizamos los denominadores:
$n^2-1$ es una diferencia de cuadrados, con $A=n$ y $B=1$:
$\boxed{{\displaystyle a^2-b^2=(a+b)(a-b)}}$
$n^2-1=(n+1)(n-1)$
El mínimo común múltiplo de los denominadores se forma con todos los factores distintos, cada uno elevado al mayor exponente con el que aparece: $\text{mcm}=(n+1)(n-1)$. Ese es el denominador común.
Reducimos cada fracción a ese denominador, multiplicando arriba y abajo por lo que le falta:
${\displaystyle \frac{n}{n^2-1}}$ ya tiene el denominador común.
${\displaystyle \frac{3}{n+1}}={\displaystyle \frac{3\cdot (n-1)}{(n+1)(n-1)}}$
${\displaystyle \frac{1}{n-1}}={\displaystyle \frac{1\cdot (n+1)}{(n+1)(n-1)}}$
Sumamos y restamos los numeradores sobre el denominador común y operamos:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{b}}\pm {\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a\cdot d\pm c\cdot b}{b\cdot d}}}}$
${\displaystyle \frac{n-3\cdot (n-1)-1\cdot (n+1)}{(n+1)(n-1)}}={\displaystyle \frac{n-(3n-3)-(n+1)}{(n+1)(n-1)}}$
${\displaystyle \frac{n-(3n-3)-(n+1)}{(n+1)(n-1)}}={\displaystyle \frac{-3n+2}{(n+1)(n-1)}}$
El numerador $-3n+2$ no comparte ningún factor con el denominador, así que la fracción ya está simplificada.
Como se han tachado factores del denominador, la simplificación vale para $n\mathrm{\ne }-2$ (los valores que anulan lo tachado).
Resultado: $-{\displaystyle \frac{3n-2}{(n+1)(n-1)}}$.


$\mathbf{\text{g)}}$ Antes de sumar, la fracción ${\displaystyle \frac{a-1}{a^2-4a+3}}$ se puede simplificar:
$a^2-4a+3$ es un polinomio de segundo grado: se resuelve la ecuación $a^2-4a+3=0$ con la fórmula, y cada raíz $a_i$ da un factor $(a-a_i)$:
$a={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}={\displaystyle \frac{-(-4)\pm \sqrt{(-4{)}^2-4\cdot 1\cdot 3}}{2\cdot 1}}={\displaystyle \frac{4\pm \sqrt{4}}{2}}={\displaystyle \frac{4\pm 2}{2}}$
Las raíces son $a_1=3$ y $a_2=1$, así que:
$\boxed{{\displaystyle a{x}^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)}}$
$a^2-4a+3=(a-3)(a-1)$
${\displaystyle \frac{a-1}{a^2-4a+3}}={\displaystyle \frac{a-1}{(a-1)(a-3)}}$
${\displaystyle \frac{a-1}{(a-1)(a-3)}}={\displaystyle \frac{\cancel{(a-1)}}{\cancel{(a-1)}(a-3)}}={\displaystyle \frac{1}{a-3}}$
El mínimo común múltiplo de los denominadores se forma con todos los factores distintos, cada uno elevado al mayor exponente con el que aparece: $\text{mcm}=(a-1)(a-3)$. Ese es el denominador común.
Reducimos cada fracción a ese denominador, multiplicando arriba y abajo por lo que le falta:
${\displaystyle \frac{1}{a-1}}={\displaystyle \frac{1\cdot (a-3)}{(a-1)(a-3)}}$
${\displaystyle \frac{1}{a-3}}={\displaystyle \frac{1\cdot (a-1)}{(a-1)(a-3)}}$
${\displaystyle \frac{1}{a-3}}={\displaystyle \frac{1\cdot (a-1)}{(a-1)(a-3)}}$
Sumamos y restamos los numeradores sobre el denominador común y operamos:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{b}}\pm {\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a\cdot d\pm c\cdot b}{b\cdot d}}}}$
${\displaystyle \frac{1\cdot (a-3)+1\cdot (a-1)-1\cdot (a-1)}{(a-1)(a-3)}}={\displaystyle \frac{(a-3)+(a-1)-(a-1)}{(a-1)(a-3)}}$
${\displaystyle \frac{(a-3)+(a-1)-(a-1)}{(a-1)(a-3)}}={\displaystyle \frac{a-3}{(a-1)(a-3)}}$
El numerador es también un factor del denominador, así que se tacha:
${\displaystyle \frac{a-3}{(a-1)(a-3)}}={\displaystyle \frac{\cancel{(a-3)}}{(a-1)\cancel{(a-3)}}}={\displaystyle \frac{1}{a-1}}$
Como se han tachado factores del denominador, la simplificación vale para $a\mathrm{\ne }1$ y $a\mathrm{\ne }3$ (los valores que anulan lo tachado).
Resultado: ${\displaystyle \frac{1}{a-1}}$.


$\mathbf{\text{h)}}$ Para dividir, multiplicamos en cruz: el numerador de la primera por el denominador de la segunda, y el denominador de la primera por el numerador de la segunda:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{b}}:{\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a\cdot d}{b\cdot c}}}}$
${\displaystyle \frac{3x^2-12x+12}{x^2-5x+6}}:{\displaystyle \frac{6x^3-54x}{x^3-6x^2+9x}}={\displaystyle \frac{(3x^2-12x+12)\cdot (x^3-6x^2+9x)}{(x^2-5x+6)\cdot (6x^3-54x)}}$
Factorizamos los polinomios que se puedan descomponer:
Sacamos factor común $3$:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)}}$
$3x^2-12x+12=3(x^2-4x+4)$
$x^2-4x+4$ es el cuadrado de un binomio, con $A=x$ y $B=2$ (el término central es $2\cdot x\cdot 2=4x$):
$\boxed{{\displaystyle a^2\pm 2ab+b^2=(a\pm b{)}^2}}$
$x^2-4x+4=(x-2{)}^2$
En total, el polinomio factorizado queda:
$3x^2-12x+12=3(x-2{)}^2$
$x^2-5x+6$ es un polinomio de segundo grado: se resuelve la ecuación $x^2-5x+6=0$ con la fórmula, y cada raíz $x_i$ da un factor $(x-x_i)$:
$x={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}={\displaystyle \frac{-(-5)\pm \sqrt{(-5{)}^2-4\cdot 1\cdot 6}}{2\cdot 1}}={\displaystyle \frac{5\pm \sqrt{1}}{2}}={\displaystyle \frac{5\pm 1}{2}}$
Las raíces son $x_1=3$ y $x_2=2$, así que:
$\boxed{{\displaystyle a{x}^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)}}$
$x^2-5x+6=(x-3)(x-2)$
Sacamos factor común $6x$:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)}}$
$6x^3-54x=6x(x^2-9)$
$x^2-9$ es una diferencia de cuadrados, con $A=x$ y $B=3$:
$\boxed{{\displaystyle a^2-b^2=(a+b)(a-b)}}$
$x^2-9=(x+3)(x-3)$
En total, el polinomio factorizado queda:
$6x^3-54x=6x(x+3)(x-3)$
Sacamos factor común $x$:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)}}$
$x^3-6x^2+9x=x(x^2-6x+9)$
$x^2-6x+9$ es el cuadrado de un binomio, con $A=x$ y $B=3$ (el término central es $2\cdot x\cdot 3=6x$):
$\boxed{{\displaystyle a^2\pm 2ab+b^2=(a\pm b{)}^2}}$
$x^2-6x+9=(x-3{)}^2$
En total, el polinomio factorizado queda:
$x^3-6x^2+9x=x(x-3{)}^2$
Con todo factorizado, tachamos los factores comunes (cada tachado de arriba se empareja con uno de abajo):
${\displaystyle \frac{(3x^2-12x+12)\cdot (x^3-6x^2+9x)}{(x^2-5x+6)\cdot (6x^3-54x)}}={\displaystyle \frac{3x(x-2{)}^2(x-3{)}^2}{6x(x+3)(x-2)(x-3{)}^2}}$
Escribimos cada factor separando la parte que se va a tachar:
${\displaystyle \frac{3x(x-2{)}^2(x-3{)}^2}{6x(x+3)(x-2)(x-3{)}^2}}={\displaystyle \frac{3x(x-2)(x-2)(x-3{)}^2}{3\cdot 2x(x+3)(x-2)(x-3{)}^2}}$
${\displaystyle \frac{\cancel{3}\cancel{x}\cancel{(x-2)}(x-2)\cancel{(x-3{)}^2}}{\cancel{3}\cdot 2\cancel{x}(x+3)\cancel{(x-2)}\cancel{(x-3{)}^2}}}={\displaystyle \frac{x-2}{2(x+3)}}$
Como se han tachado factores del denominador, la simplificación vale para $x\mathrm{\ne }0$, $x\mathrm{\ne }2$ y $x\mathrm{\ne }3$ (los valores que anulan lo tachado).
Resultado: ${\displaystyle \frac{x-2}{2(x+3)}}$.