Ejercicio resuelto de Fracciones algebraicas · Matemáticas 4 ESO

Multiplica las siguientes fracciones algebraicas:

a) $({\displaystyle \frac{3x+3}{x}}\cdot {\displaystyle \frac{x}{x-5}})\cdot {\displaystyle \frac{x^2-10x+25}{x+1}}$
b) ${\displaystyle \frac{3a+3}{12a-12}}\cdot {\displaystyle \frac{a^2-2a+1}{a^2-1}}$
c) ${\displaystyle \frac{x^2-9}{x^3-x^2}}\cdot {\displaystyle \frac{x^4-x^3}{x^2-3x}}$
d) ${\displaystyle \frac{3x-1}{x^2-9}}\cdot {\displaystyle \frac{x+3}{2x}}$
e) ${\displaystyle \frac{2x-1}{x^2+2x}}\cdot {\displaystyle \frac{x^3+2x^2}{4x}}$
f) ${\displaystyle \frac{x^3-5x^2+6x}{x+1}}\cdot {\displaystyle \frac{x^2-1}{2x^3-6x^2}}$
g) ${\displaystyle \frac{x-2}{5x+15}}\cdot {\displaystyle \frac{5x^2+20x+15}{x+2}}$

$\mathbf{\text{a)}}$ Se opera por orden: primero lo que hay dentro de los paréntesis, después productos y divisiones, y por último sumas y restas.
El paréntesis, $({\displaystyle \frac{3x+3}{x}}\cdot {\displaystyle \frac{x}{x-5}})$:
Multiplicamos los numeradores entre sí y los denominadores entre sí:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{b}}\cdot {\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a\cdot c}{b\cdot d}}}}$
${\displaystyle \frac{3x+3}{x}}\cdot {\displaystyle \frac{x}{x-5}}={\displaystyle \frac{(3x+3)\cdot x}{x\cdot (x-5)}}$
Factorizamos los polinomios que se puedan descomponer:
Sacamos factor común $3$:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)}}$
$3x+3=3(x+1)$
Con todo factorizado, tachamos los factores comunes (cada tachado de arriba se empareja con uno de abajo):
${\displaystyle \frac{(3x+3)\cdot x}{x\cdot (x-5)}}={\displaystyle \frac{3x(x+1)}{x(x-5)}}$
${\displaystyle \frac{3x(x+1)}{x(x-5)}}={\displaystyle \frac{3\cancel{x}(x+1)}{\cancel{x}(x-5)}}={\displaystyle \frac{3(x+1)}{x-5}}$
Con eso, el producto queda ${\displaystyle \frac{3(x+1)}{x-5}}\cdot {\displaystyle \frac{x^2-10x+25}{x+1}}$:
Multiplicamos los numeradores entre sí y los denominadores entre sí:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{b}}\cdot {\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a\cdot c}{b\cdot d}}}}$
${\displaystyle \frac{3(x+1)}{x-5}}\cdot {\displaystyle \frac{x^2-10x+25}{x+1}}={\displaystyle \frac{3(x+1)\cdot (x^2-10x+25)}{(x-5)\cdot (x+1)}}$
Factorizamos los polinomios que se puedan descomponer:
$x^2-10x+25$ es el cuadrado de un binomio, con $A=x$ y $B=5$ (el término central es $2\cdot x\cdot 5=10x$):
$\boxed{{\displaystyle a^2\pm 2ab+b^2=(a\pm b{)}^2}}$
$x^2-10x+25=(x-5{)}^2$
Con todo factorizado, tachamos los factores comunes (cada tachado de arriba se empareja con uno de abajo):
${\displaystyle \frac{3(x+1)\cdot (x^2-10x+25)}{(x-5)\cdot (x+1)}}={\displaystyle \frac{3(x+1)(x-5{)}^2}{(x+1)(x-5)}}$
Escribimos cada factor separando la parte que se va a tachar:
${\displaystyle \frac{3(x+1)(x-5{)}^2}{(x+1)(x-5)}}={\displaystyle \frac{3(x+1)(x-5)(x-5)}{(x+1)(x-5)}}$
${\displaystyle \frac{3\cancel{(x+1)}\cancel{(x-5)}(x-5)}{\cancel{(x+1)}\cancel{(x-5)}}}=3(x-5)$
Como se han tachado factores del denominador, la simplificación vale para $x\mathrm{\ne }-1$, $x\mathrm{\ne }0$ y $x\mathrm{\ne }5$ (los valores que anulan lo tachado).
Quitamos el paréntesis para dar el resultado como polinomio:
$3(x-5)=3x-15$
Resultado: $3x-15$.


$\mathbf{\text{b)}}$ Multiplicamos los numeradores entre sí y los denominadores entre sí:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{b}}\cdot {\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a\cdot c}{b\cdot d}}}}$
${\displaystyle \frac{3a+3}{12a-12}}\cdot {\displaystyle \frac{a^2-2a+1}{a^2-1}}={\displaystyle \frac{(3a+3)\cdot (a^2-2a+1)}{(12a-12)\cdot (a^2-1)}}$
Factorizamos los polinomios que se puedan descomponer:
Sacamos factor común $3$:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)}}$
$3a+3=3(a+1)$
Sacamos factor común $12$:
$12a-12=12(a-1)$
$a^2-2a+1$ es el cuadrado de un binomio, con $A=a$ y $B=1$ (el término central es $2\cdot a\cdot 1=2a$):
$\boxed{{\displaystyle a^2\pm 2ab+b^2=(a\pm b{)}^2}}$
$a^2-2a+1=(a-1{)}^2$
$a^2-1$ es una diferencia de cuadrados, con $A=a$ y $B=1$:
$\boxed{{\displaystyle a^2-b^2=(a+b)(a-b)}}$
$a^2-1=(a+1)(a-1)$
Con todo factorizado, tachamos los factores comunes (cada tachado de arriba se empareja con uno de abajo):
${\displaystyle \frac{(3a+3)\cdot (a^2-2a+1)}{(12a-12)\cdot (a^2-1)}}={\displaystyle \frac{3(a+1)(a-1{)}^2}{12(a+1)(a-1{)}^2}}$
Escribimos cada factor separando la parte que se va a tachar:
${\displaystyle \frac{3(a+1)(a-1{)}^2}{12(a+1)(a-1{)}^2}}={\displaystyle \frac{3(a+1)(a-1{)}^2}{3\cdot 4(a+1)(a-1{)}^2}}$
${\displaystyle \frac{\cancel{3}\cancel{(a+1)}\cancel{(a-1{)}^2}}{\cancel{3}\cdot 4\cancel{(a+1)}\cancel{(a-1{)}^2}}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$
Como se han tachado factores del denominador, la simplificación vale para $a\mathrm{\ne }-1$ y $a\mathrm{\ne }1$ (los valores que anulan lo tachado).
Resultado: ${\displaystyle \frac{1}{4}}$.


$\mathbf{\text{c)}}$ Multiplicamos los numeradores entre sí y los denominadores entre sí:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{b}}\cdot {\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a\cdot c}{b\cdot d}}}}$
${\displaystyle \frac{x^2-9}{x^3-x^2}}\cdot {\displaystyle \frac{x^4-x^3}{x^2-3x}}={\displaystyle \frac{(x^2-9)\cdot (x^4-x^3)}{(x^3-x^2)\cdot (x^2-3x)}}$
Factorizamos los polinomios que se puedan descomponer:
$x^2-9$ es una diferencia de cuadrados, con $A=x$ y $B=3$:
$\boxed{{\displaystyle a^2-b^2=(a+b)(a-b)}}$
$x^2-9=(x+3)(x-3)$
Sacamos factor común $x^2$:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)}}$
$x^3-x^2=x^2(x-1)$
Sacamos factor común $x^3$:
$x^4-x^3=x^3(x-1)$
Sacamos factor común $x$:
$x^2-3x=x(x-3)$
Con todo factorizado, tachamos los factores comunes (cada tachado de arriba se empareja con uno de abajo):
${\displaystyle \frac{(x^2-9)\cdot (x^4-x^3)}{(x^3-x^2)\cdot (x^2-3x)}}={\displaystyle \frac{x^3(x+3)(x-1)(x-3)}{x^3(x-1)(x-3)}}$
Escribimos cada factor separando la parte que se va a tachar:
${\displaystyle \frac{x^3(x+3)(x-1)(x-3)}{x^3(x-1)(x-3)}}={\displaystyle \frac{x^3(x+3)(x-1)(x-3)}{x^3(x-1)(x-3)}}$
${\displaystyle \frac{\cancel{x^3}(x+3)\cancel{(x-1)}\cancel{(x-3)}}{\cancel{x^3}\cancel{(x-1)}\cancel{(x-3)}}}=x+3$
Como se han tachado factores del denominador, la simplificación vale para $x\mathrm{\ne }0$, $x\mathrm{\ne }1$ y $x\mathrm{\ne }3$ (los valores que anulan lo tachado).
Resultado: $x+3$.


$\mathbf{\text{d)}}$ Multiplicamos los numeradores entre sí y los denominadores entre sí:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{b}}\cdot {\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a\cdot c}{b\cdot d}}}}$
${\displaystyle \frac{3x-1}{x^2-9}}\cdot {\displaystyle \frac{x+3}{2x}}={\displaystyle \frac{(3x-1)\cdot (x+3)}{(x^2-9)\cdot 2x}}$
Factorizamos los polinomios que se puedan descomponer:
$x^2-9$ es una diferencia de cuadrados, con $A=x$ y $B=3$:
$\boxed{{\displaystyle a^2-b^2=(a+b)(a-b)}}$
$x^2-9=(x+3)(x-3)$
Con todo factorizado, tachamos los factores comunes (cada tachado de arriba se empareja con uno de abajo):
${\displaystyle \frac{(3x-1)\cdot (x+3)}{(x^2-9)\cdot 2x}}={\displaystyle \frac{(3x-1)(x+3)}{2x(x+3)(x-3)}}$
${\displaystyle \frac{(3x-1)(x+3)}{2x(x+3)(x-3)}}={\displaystyle \frac{(3x-1)\cancel{(x+3)}}{2x\cancel{(x+3)}(x-3)}}={\displaystyle \frac{3x-1}{2x(x-3)}}$
Como se han tachado factores del denominador, la simplificación vale para $x\mathrm{\ne }-3$ (los valores que anulan lo tachado).
Resultado: ${\displaystyle \frac{3x-1}{2x(x-3)}}$.


$\mathbf{\text{e)}}$ Multiplicamos los numeradores entre sí y los denominadores entre sí:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{b}}\cdot {\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a\cdot c}{b\cdot d}}}}$
${\displaystyle \frac{2x-1}{x^2+2x}}\cdot {\displaystyle \frac{x^3+2x^2}{4x}}={\displaystyle \frac{(2x-1)\cdot (x^3+2x^2)}{(x^2+2x)\cdot 4x}}$
Factorizamos los polinomios que se puedan descomponer:
Sacamos factor común $x$:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)}}$
$x^2+2x=x(x+2)$
Sacamos factor común $x^2$:
$x^3+2x^2=x^2(x+2)$
Con todo factorizado, tachamos los factores comunes (cada tachado de arriba se empareja con uno de abajo):
${\displaystyle \frac{(2x-1)\cdot (x^3+2x^2)}{(x^2+2x)\cdot 4x}}={\displaystyle \frac{x^2(2x-1)(x+2)}{4x^2(x+2)}}$
Escribimos cada factor separando la parte que se va a tachar:
${\displaystyle \frac{x^2(2x-1)(x+2)}{4x^2(x+2)}}={\displaystyle \frac{x^2(2x-1)(x+2)}{4x^2(x+2)}}$
${\displaystyle \frac{\cancel{x^2}(2x-1)\cancel{(x+2)}}{4\cancel{x^2}\cancel{(x+2)}}}={\displaystyle \frac{2x-1}{4}}$
Como se han tachado factores del denominador, la simplificación vale para $x\mathrm{\ne }-2$ y $x\mathrm{\ne }0$ (los valores que anulan lo tachado).
Resultado: ${\displaystyle \frac{2x-1}{4}}$.


$\mathbf{\text{f)}}$ Multiplicamos los numeradores entre sí y los denominadores entre sí:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{b}}\cdot {\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a\cdot c}{b\cdot d}}}}$
${\displaystyle \frac{x^3-5x^2+6x}{x+1}}\cdot {\displaystyle \frac{x^2-1}{2x^3-6x^2}}={\displaystyle \frac{(x^3-5x^2+6x)\cdot (x^2-1)}{(x+1)\cdot (2x^3-6x^2)}}$
Factorizamos los polinomios que se puedan descomponer:
Sacamos factor común $x$:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)}}$
$x^3-5x^2+6x=x(x^2-5x+6)$
$x^2-5x+6$ es un polinomio de segundo grado: se resuelve la ecuación $x^2-5x+6=0$ con la fórmula, y cada raíz $x_i$ da un factor $(x-x_i)$:
$x={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}={\displaystyle \frac{-(-5)\pm \sqrt{(-5{)}^2-4\cdot 1\cdot 6}}{2\cdot 1}}={\displaystyle \frac{5\pm \sqrt{1}}{2}}={\displaystyle \frac{5\pm 1}{2}}$
Las raíces son $x_1=3$ y $x_2=2$, así que:
$\boxed{{\displaystyle a{x}^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)}}$
$x^2-5x+6=(x-3)(x-2)$
En total, el polinomio factorizado queda:
$x^3-5x^2+6x=x(x-2)(x-3)$
$x^2-1$ es una diferencia de cuadrados, con $A=x$ y $B=1$:
$\boxed{{\displaystyle a^2-b^2=(a+b)(a-b)}}$
$x^2-1=(x+1)(x-1)$
Sacamos factor común $2x^2$:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)}}$
$2x^3-6x^2=2x^2(x-3)$
Con todo factorizado, tachamos los factores comunes (cada tachado de arriba se empareja con uno de abajo):
${\displaystyle \frac{(x^3-5x^2+6x)\cdot (x^2-1)}{(x+1)\cdot (2x^3-6x^2)}}={\displaystyle \frac{x(x+1)(x-1)(x-2)(x-3)}{2x^2(x+1)(x-3)}}$
Escribimos cada factor separando la parte que se va a tachar:
${\displaystyle \frac{x(x+1)(x-1)(x-2)(x-3)}{2x^2(x+1)(x-3)}}={\displaystyle \frac{x(x+1)(x-1)(x-2)(x-3)}{2xx(x+1)(x-3)}}$
${\displaystyle \frac{\cancel{x}\cancel{(x+1)}(x-1)(x-2)\cancel{(x-3)}}{2\cancel{x}x\cancel{(x+1)}\cancel{(x-3)}}}={\displaystyle \frac{(x-1)(x-2)}{2x}}$
Como se han tachado factores del denominador, la simplificación vale para $x\mathrm{\ne }-1$, $x\mathrm{\ne }0$ y $x\mathrm{\ne }3$ (los valores que anulan lo tachado).
Resultado: ${\displaystyle \frac{(x-1)(x-2)}{2x}}$.


$\mathbf{\text{g)}}$ Multiplicamos los numeradores entre sí y los denominadores entre sí:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{b}}\cdot {\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a\cdot c}{b\cdot d}}}}$
${\displaystyle \frac{x-2}{5x+15}}\cdot {\displaystyle \frac{5x^2+20x+15}{x+2}}={\displaystyle \frac{(x-2)\cdot (5x^2+20x+15)}{(5x+15)\cdot (x+2)}}$
Factorizamos los polinomios que se puedan descomponer:
Sacamos factor común $5$:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)}}$
$5x+15=5(x+3)$
Sacamos factor común $5$:
$5x^2+20x+15=5(x^2+4x+3)$
$x^2+4x+3$ es un polinomio de segundo grado: se resuelve la ecuación $x^2+4x+3=0$ con la fórmula, y cada raíz $x_i$ da un factor $(x-x_i)$:
$x={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}={\displaystyle \frac{-4\pm \sqrt{4^2-4\cdot 1\cdot 3}}{2\cdot 1}}={\displaystyle \frac{-4\pm \sqrt{4}}{2}}={\displaystyle \frac{-4\pm 2}{2}}$
Las raíces son $x_1=-1$ y $x_2=-3$, así que:
$\boxed{{\displaystyle a{x}^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)}}$
$x^2+4x+3=(x+1)(x+3)$
En total, el polinomio factorizado queda:
$5x^2+20x+15=5(x+1)(x+3)$
Con todo factorizado, tachamos los factores comunes (cada tachado de arriba se empareja con uno de abajo):
${\displaystyle \frac{(x-2)\cdot (5x^2+20x+15)}{(5x+15)\cdot (x+2)}}={\displaystyle \frac{5(x+1)(x+3)(x-2)}{5(x+2)(x+3)}}$
Escribimos cada factor separando la parte que se va a tachar:
${\displaystyle \frac{5(x+1)(x+3)(x-2)}{5(x+2)(x+3)}}={\displaystyle \frac{5(x+1)(x+3)(x-2)}{5(x+2)(x+3)}}$
${\displaystyle \frac{\cancel{5}(x+1)\cancel{(x+3)}(x-2)}{\cancel{5}(x+2)\cancel{(x+3)}}}={\displaystyle \frac{(x+1)(x-2)}{x+2}}$
Como se han tachado factores del denominador, la simplificación vale para $x\mathrm{\ne }-3$ (los valores que anulan lo tachado).
Resultado: ${\displaystyle \frac{(x+1)(x-2)}{x+2}}$.