Ejercicio resuelto de Fracciones algebraicas · Matemáticas 4 ESO

Opera y simplifica las siguientes fracciones algebraicas:

a) ${\displaystyle \frac{2x^2-5x}{x^2-9}}-{\displaystyle \frac{2x^2-4x+3}{x^2-9}}$
b) ${\displaystyle \frac{-3x+1}{x+1}}-{\displaystyle \frac{5x+1}{x^2+x}}$
c) ${\displaystyle \frac{3}{2x+4}}+{\displaystyle \frac{2x}{x^2-4}}$
d) ${\displaystyle \frac{x-2}{x+2}}+{\displaystyle \frac{x+2}{x-2}}$
e) ${\displaystyle \frac{2x}{x^2-4}}+{\displaystyle \frac{x+1}{4x-8}}$
f) ${\displaystyle \frac{5x^2-4}{x^2-4}}+{\displaystyle \frac{x-2}{5x+15}}\cdot {\displaystyle \frac{5x^2+20x+15}{x+2}}$
g) ${\displaystyle \frac{2x-1}{3x-3}}-{\displaystyle \frac{2x^2-6x+4}{3x^2-6x+3}}$
h) $x-{\displaystyle \frac{x^2-1}{x}}$

$\mathbf{\text{a)}}$ Para sumar o restar hace falta un denominador común, así que factorizamos los denominadores:
$x^2-9$ es una diferencia de cuadrados, con $A=x$ y $B=3$:
$\boxed{{\displaystyle a^2-b^2=(a+b)(a-b)}}$
$x^2-9=(x+3)(x-3)$
Las fracciones ya tienen el mismo denominador, así que se suman o restan los numeradores directamente:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{b}}\pm {\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a\cdot d\pm c\cdot b}{b\cdot d}}}}$
${\displaystyle \frac{(2x^2-5x)-(2x^2-4x+3)}{(x+3)(x-3)}}={\displaystyle \frac{-x-3}{(x+3)(x-3)}}$
Factorizamos el numerador para ver si comparte factores con el denominador:
Sacamos factor común $-1$ para que el término de mayor grado quede positivo:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)}}$
$-x-3=-(x+3)$
Tachamos los factores comunes:
${\displaystyle \frac{-x-3}{(x+3)(x-3)}}=-{\displaystyle \frac{\cancel{(x+3)}}{\cancel{(x+3)}(x-3)}}=-{\displaystyle \frac{1}{x-3}}$
Como se han tachado factores del denominador, la simplificación vale para $x\mathrm{\ne }-3$ (los valores que anulan lo tachado).
Resultado: $-{\displaystyle \frac{1}{x-3}}$.


$\mathbf{\text{b)}}$ Para sumar o restar hace falta un denominador común, así que factorizamos los denominadores:
Sacamos factor común $x$:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)}}$
$x^2+x=x(x+1)$
El mínimo común múltiplo de los denominadores se forma con todos los factores distintos, cada uno elevado al mayor exponente con el que aparece: $\text{mcm}=x(x+1)$. Ese es el denominador común.
Reducimos cada fracción a ese denominador, multiplicando arriba y abajo por lo que le falta:
${\displaystyle \frac{-3x+1}{x+1}}={\displaystyle \frac{(-3x+1)\cdot x}{x(x+1)}}$
${\displaystyle \frac{5x+1}{x^2+x}}$ ya tiene el denominador común.
Sumamos y restamos los numeradores sobre el denominador común y operamos:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{b}}\pm {\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a\cdot d\pm c\cdot b}{b\cdot d}}}}$
${\displaystyle \frac{(-3x+1)\cdot x-(5x+1)}{x(x+1)}}={\displaystyle \frac{(-3x^2+x)-(5x+1)}{x(x+1)}}$
${\displaystyle \frac{(-3x^2+x)-(5x+1)}{x(x+1)}}={\displaystyle \frac{-3x^2-4x-1}{x(x+1)}}$
Factorizamos el numerador para ver si comparte factores con el denominador:
Sacamos factor común $-1$ para que el término de mayor grado quede positivo:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)}}$
$-3x^2-4x-1=-(3x^2+4x+1)$
$3x^2+4x+1$ es un polinomio de segundo grado: se resuelve la ecuación $3x^2+4x+1=0$ con la fórmula, y cada raíz $x_i$ da un factor $(x-x_i)$:
$x={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}={\displaystyle \frac{-4\pm \sqrt{4^2-4\cdot 3\cdot 1}}{2\cdot 3}}={\displaystyle \frac{-4\pm \sqrt{4}}{6}}={\displaystyle \frac{-4\pm 2}{6}}$
Las raíces son $x_1=-{\displaystyle \frac{1}{3}}$ y $x_2=-1$. Con el coeficiente $a=3$ delante:
$\boxed{{\displaystyle a{x}^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)}}$
$3x^2+4x+1=3(x+{\displaystyle \frac{1}{3}})(x+1)$
Multiplicamos el coeficiente por el paréntesis que lleva fracción, para que no quede ninguna:
$3(x+{\displaystyle \frac{1}{3}})(x+1)=(3x+1)(x+1)$
En total, el polinomio factorizado queda:
$-3x^2-4x-1=-(3x+1)(x+1)$
Tachamos los factores comunes:
${\displaystyle \frac{-3x^2-4x-1}{x(x+1)}}=-{\displaystyle \frac{(3x+1)\cancel{(x+1)}}{x\cancel{(x+1)}}}=-{\displaystyle \frac{3x+1}{x}}$
Como se han tachado factores del denominador, la simplificación vale para $x\mathrm{\ne }-1$ (los valores que anulan lo tachado).
Resultado: $-{\displaystyle \frac{3x+1}{x}}$.


$\mathbf{\text{c)}}$ Para sumar o restar hace falta un denominador común, así que factorizamos los denominadores:
Sacamos factor común $2$:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)}}$
$2x+4=2(x+2)$
$x^2-4$ es una diferencia de cuadrados, con $A=x$ y $B=2$:
$\boxed{{\displaystyle a^2-b^2=(a+b)(a-b)}}$
$x^2-4=(x+2)(x-2)$
El mínimo común múltiplo de los denominadores se forma con todos los factores distintos, cada uno elevado al mayor exponente con el que aparece: $\text{mcm}=2(x+2)(x-2)$. Ese es el denominador común.
Reducimos cada fracción a ese denominador, multiplicando arriba y abajo por lo que le falta:
${\displaystyle \frac{3}{2(x+2)}}={\displaystyle \frac{3\cdot (x-2)}{2(x+2)(x-2)}}$
${\displaystyle \frac{2x}{(x+2)(x-2)}}={\displaystyle \frac{2x\cdot 2}{2(x+2)(x-2)}}$
Sumamos y restamos los numeradores sobre el denominador común y operamos:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{b}}\pm {\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a\cdot d\pm c\cdot b}{b\cdot d}}}}$
${\displaystyle \frac{3\cdot (x-2)+2x\cdot 2}{2(x+2)(x-2)}}={\displaystyle \frac{(3x-6)+4x}{2(x+2)(x-2)}}$
${\displaystyle \frac{(3x-6)+4x}{2(x+2)(x-2)}}={\displaystyle \frac{7x-6}{2(x+2)(x-2)}}$
El numerador $7x-6$ no comparte ningún factor con el denominador, así que la fracción ya está simplificada.
Resultado: ${\displaystyle \frac{7x-6}{2(x+2)(x-2)}}$.


$\mathbf{\text{d)}}$ El mínimo común múltiplo de los denominadores se forma con todos los factores distintos, cada uno elevado al mayor exponente con el que aparece: $\text{mcm}=(x+2)(x-2)$. Ese es el denominador común.
Reducimos cada fracción a ese denominador, multiplicando arriba y abajo por lo que le falta:
${\displaystyle \frac{x-2}{x+2}}={\displaystyle \frac{(x-2)\cdot (x-2)}{(x+2)(x-2)}}$
${\displaystyle \frac{x+2}{x-2}}={\displaystyle \frac{(x+2)\cdot (x+2)}{(x+2)(x-2)}}$
Sumamos y restamos los numeradores sobre el denominador común y operamos:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{b}}\pm {\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a\cdot d\pm c\cdot b}{b\cdot d}}}}$
${\displaystyle \frac{(x-2)\cdot (x-2)+(x+2)\cdot (x+2)}{(x+2)(x-2)}}={\displaystyle \frac{(x^2-4x+4)+(x^2+4x+4)}{(x+2)(x-2)}}$
${\displaystyle \frac{(x^2-4x+4)+(x^2+4x+4)}{(x+2)(x-2)}}={\displaystyle \frac{2x^2+8}{(x+2)(x-2)}}$
El numerador $2x^2+8$ no comparte ningún factor con el denominador, así que la fracción ya está simplificada.
Resultado: ${\displaystyle \frac{2x^2+8}{(x+2)(x-2)}}$.


$\mathbf{\text{e)}}$ Para sumar o restar hace falta un denominador común, así que factorizamos los denominadores:
$x^2-4$ es una diferencia de cuadrados, con $A=x$ y $B=2$:
$\boxed{{\displaystyle a^2-b^2=(a+b)(a-b)}}$
$x^2-4=(x+2)(x-2)$
Sacamos factor común $4$:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)}}$
$4x-8=4(x-2)$
El mínimo común múltiplo de los denominadores se forma con todos los factores distintos, cada uno elevado al mayor exponente con el que aparece: $\text{mcm}=4(x+2)(x-2)$. Ese es el denominador común.
Reducimos cada fracción a ese denominador, multiplicando arriba y abajo por lo que le falta:
${\displaystyle \frac{2x}{(x+2)(x-2)}}={\displaystyle \frac{2x\cdot 4}{4(x+2)(x-2)}}$
${\displaystyle \frac{x+1}{4(x-2)}}={\displaystyle \frac{(x+1)\cdot (x+2)}{4(x+2)(x-2)}}$
Sumamos y restamos los numeradores sobre el denominador común y operamos:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{b}}\pm {\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a\cdot d\pm c\cdot b}{b\cdot d}}}}$
${\displaystyle \frac{2x\cdot 4+(x+1)\cdot (x+2)}{4(x+2)(x-2)}}={\displaystyle \frac{8x+(x^2+3x+2)}{4(x+2)(x-2)}}$
${\displaystyle \frac{8x+(x^2+3x+2)}{4(x+2)(x-2)}}={\displaystyle \frac{x^2+11x+2}{4(x+2)(x-2)}}$
El numerador $x^2+11x+2$ no comparte ningún factor con el denominador, así que la fracción ya está simplificada.
Resultado: ${\displaystyle \frac{x^2+11x+2}{4(x+2)(x-2)}}$.


$\mathbf{\text{f)}}$ Se opera por orden: primero lo que hay dentro de los paréntesis, después productos y divisiones, y por último sumas y restas.
Primero el producto ${\displaystyle \frac{x-2}{5x+15}}\cdot {\displaystyle \frac{5x^2+20x+15}{x+2}}$, que va antes que el resto:
Multiplicamos los numeradores entre sí y los denominadores entre sí:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{b}}\cdot {\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a\cdot c}{b\cdot d}}}}$
${\displaystyle \frac{x-2}{5x+15}}\cdot {\displaystyle \frac{5x^2+20x+15}{x+2}}={\displaystyle \frac{(x-2)\cdot (5x^2+20x+15)}{(5x+15)\cdot (x+2)}}$
Factorizamos los polinomios que se puedan descomponer:
Sacamos factor común $5$:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)}}$
$5x+15=5(x+3)$
Sacamos factor común $5$:
$5x^2+20x+15=5(x^2+4x+3)$
$x^2+4x+3$ es un polinomio de segundo grado: se resuelve la ecuación $x^2+4x+3=0$ con la fórmula, y cada raíz $x_i$ da un factor $(x-x_i)$:
$x={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}={\displaystyle \frac{-4\pm \sqrt{4^2-4\cdot 1\cdot 3}}{2\cdot 1}}={\displaystyle \frac{-4\pm \sqrt{4}}{2}}={\displaystyle \frac{-4\pm 2}{2}}$
Las raíces son $x_1=-1$ y $x_2=-3$, así que:
$\boxed{{\displaystyle a{x}^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)}}$
$x^2+4x+3=(x+1)(x+3)$
En total, el polinomio factorizado queda:
$5x^2+20x+15=5(x+1)(x+3)$
Con todo factorizado, tachamos los factores comunes (cada tachado de arriba se empareja con uno de abajo):
${\displaystyle \frac{(x-2)\cdot (5x^2+20x+15)}{(5x+15)\cdot (x+2)}}={\displaystyle \frac{5(x+1)(x+3)(x-2)}{5(x+2)(x+3)}}$
Escribimos cada factor separando la parte que se va a tachar:
${\displaystyle \frac{5(x+1)(x+3)(x-2)}{5(x+2)(x+3)}}={\displaystyle \frac{5(x+1)(x+3)(x-2)}{5(x+2)(x+3)}}$
${\displaystyle \frac{\cancel{5}(x+1)\cancel{(x+3)}(x-2)}{\cancel{5}(x+2)\cancel{(x+3)}}}={\displaystyle \frac{(x+1)(x-2)}{x+2}}$
Con eso, la suma queda ${\displaystyle \frac{5x^2-4}{x^2-4}}+{\displaystyle \frac{(x+1)(x-2)}{x+2}}$:
Para sumar o restar hace falta un denominador común, así que factorizamos los denominadores:
$x^2-4$ es una diferencia de cuadrados, con $A=x$ y $B=2$:
$\boxed{{\displaystyle a^2-b^2=(a+b)(a-b)}}$
$x^2-4=(x+2)(x-2)$
El mínimo común múltiplo de los denominadores se forma con todos los factores distintos, cada uno elevado al mayor exponente con el que aparece: $\text{mcm}=(x+2)(x-2)$. Ese es el denominador común.
Reducimos cada fracción a ese denominador, multiplicando arriba y abajo por lo que le falta:
${\displaystyle \frac{5x^2-4}{x^2-4}}$ ya tiene el denominador común.
${\displaystyle \frac{(x+1)(x-2)}{x+2}}={\displaystyle \frac{(x+1)(x-2)\cdot (x-2)}{(x+2)(x-2)}}$
Sumamos y restamos los numeradores sobre el denominador común y operamos:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{b}}\pm {\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a\cdot d\pm c\cdot b}{b\cdot d}}}}$
${\displaystyle \frac{(5x^2-4)+(x+1)(x-2)\cdot (x-2)}{(x+2)(x-2)}}={\displaystyle \frac{(5x^2-4)+(x^3-3x^2+4)}{(x+2)(x-2)}}$
${\displaystyle \frac{(5x^2-4)+(x^3-3x^2+4)}{(x+2)(x-2)}}={\displaystyle \frac{x^3+2x^2}{(x+2)(x-2)}}$
Factorizamos el numerador para ver si comparte factores con el denominador:
Sacamos factor común $x^2$:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)}}$
$x^3+2x^2=x^2(x+2)$
Tachamos los factores comunes:
${\displaystyle \frac{x^3+2x^2}{(x+2)(x-2)}}={\displaystyle \frac{x^2\cancel{(x+2)}}{\cancel{(x+2)}(x-2)}}={\displaystyle \frac{x^2}{x-2}}$
Como se han tachado factores del denominador, la simplificación vale para $x\mathrm{\ne }-2$ y $x\mathrm{\ne }-3$ (los valores que anulan lo tachado).
Resultado: ${\displaystyle \frac{x^2}{x-2}}$.


$\mathbf{\text{g)}}$ Antes de sumar, la fracción ${\displaystyle \frac{2x^2-6x+4}{3x^2-6x+3}}$ se puede simplificar:
Sacamos factor común $2$:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)}}$
$2x^2-6x+4=2(x^2-3x+2)$
$x^2-3x+2$ es un polinomio de segundo grado: se resuelve la ecuación $x^2-3x+2=0$ con la fórmula, y cada raíz $x_i$ da un factor $(x-x_i)$:
$x={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}={\displaystyle \frac{-(-3)\pm \sqrt{(-3{)}^2-4\cdot 1\cdot 2}}{2\cdot 1}}={\displaystyle \frac{3\pm \sqrt{1}}{2}}={\displaystyle \frac{3\pm 1}{2}}$
Las raíces son $x_1=2$ y $x_2=1$, así que:
$\boxed{{\displaystyle a{x}^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)}}$
$x^2-3x+2=(x-2)(x-1)$
En total, el polinomio factorizado queda:
$2x^2-6x+4=2(x-1)(x-2)$
Sacamos factor común $3$:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)}}$
$3x^2-6x+3=3(x^2-2x+1)$
$x^2-2x+1$ es el cuadrado de un binomio, con $A=x$ y $B=1$ (el término central es $2\cdot x\cdot 1=2x$):
$\boxed{{\displaystyle a^2\pm 2ab+b^2=(a\pm b{)}^2}}$
$x^2-2x+1=(x-1{)}^2$
En total, el polinomio factorizado queda:
$3x^2-6x+3=3(x-1{)}^2$
${\displaystyle \frac{2x^2-6x+4}{3x^2-6x+3}}={\displaystyle \frac{2(x-1)(x-2)}{3(x-1{)}^2}}$
${\displaystyle \frac{2(x-1)(x-2)}{3(x-1{)}^2}}={\displaystyle \frac{2\cancel{(x-1)}(x-2)}{3\cancel{(x-1)}(x-1)}}={\displaystyle \frac{2(x-2)}{3(x-1)}}$
Para sumar o restar hace falta un denominador común, así que factorizamos los denominadores:
Sacamos factor común $3$:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)}}$
$3x-3=3(x-1)$
Las fracciones ya tienen el mismo denominador, así que se suman o restan los numeradores directamente:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{b}}\pm {\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a\cdot d\pm c\cdot b}{b\cdot d}}}}$
${\displaystyle \frac{(2x-1)-2(x-2)}{3(x-1)}}={\displaystyle \frac{(2x-1)-(2x-4)}{3(x-1)}}$
${\displaystyle \frac{(2x-1)-(2x-4)}{3(x-1)}}={\displaystyle \frac{3}{3(x-1)}}$
El numerador es también un factor del denominador, así que se tacha:
${\displaystyle \frac{3}{3(x-1)}}={\displaystyle \frac{\cancel{3}}{\cancel{3}(x-1)}}={\displaystyle \frac{1}{x-1}}$
Como se han tachado factores del denominador, la simplificación vale para $x\mathrm{\ne }1$ (los valores que anulan lo tachado).
Resultado: ${\displaystyle \frac{1}{x-1}}$.


$\mathbf{\text{h)}}$ El mínimo común múltiplo de los denominadores se forma con todos los factores distintos, cada uno elevado al mayor exponente con el que aparece: $\text{mcm}=x$. Ese es el denominador común.
Reducimos cada fracción a ese denominador, multiplicando arriba y abajo por lo que le falta:
$x={\displaystyle \frac{x\cdot x}{x}}$
${\displaystyle \frac{x^2-1}{x}}$ ya tiene el denominador común.
Sumamos y restamos los numeradores sobre el denominador común y operamos:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{b}}\pm {\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a\cdot d\pm c\cdot b}{b\cdot d}}}}$
${\displaystyle \frac{x\cdot x-(x^2-1)}{x}}={\displaystyle \frac{x^2-(x^2-1)}{x}}$
${\displaystyle \frac{x^2-(x^2-1)}{x}}={\displaystyle \frac{1}{x}}$
El numerador $1$ no comparte ningún factor con el denominador, así que la fracción ya está simplificada.
Resultado: ${\displaystyle \frac{1}{x}}$.