Ejercicio resuelto de Fracciones algebraicas · Matemáticas 4 ESO

Opera y simplifica:

a) $({\displaystyle \frac{1}{x}}-2+x)\cdot \left({\displaystyle \frac{x^3}{x^2-1}}\right)$
b) ${\displaystyle \frac{2(x^3+1)}{x+1}}-{\displaystyle \frac{x^3-1}{x-1}}+{\displaystyle \frac{x^3-x}{x^2-1}}$
c) ${\displaystyle \frac{x}{x-2y}}-{\displaystyle \frac{2xy}{x^2-2xy}}+{\displaystyle \frac{y}{x}}$
d) ${\displaystyle \frac{-8x}{x^2+4x+4}}+{\displaystyle \frac{3x}{x^2+3x+2}}$
e) ${\displaystyle \frac{x^2-x-2}{x^3+7x^2+10x}}+{\displaystyle \frac{1}{x^2+5x}}-{\displaystyle \frac{1}{x^3}}$

$\mathbf{\text{a)}}$ Se opera por orden: primero lo que hay dentro de los paréntesis, después productos y divisiones, y por último sumas y restas.
El paréntesis, $({\displaystyle \frac{1}{x}}-2+x)$:
El mínimo común múltiplo de los denominadores se forma con todos los factores distintos, cada uno elevado al mayor exponente con el que aparece: $\text{mcm}=x$. Ese es el denominador común.
Reducimos cada fracción a ese denominador, multiplicando arriba y abajo por lo que le falta:
${\displaystyle \frac{1}{x}}$ ya tiene el denominador común.
$2={\displaystyle \frac{2\cdot x}{x}}$
$x={\displaystyle \frac{x\cdot x}{x}}$
Sumamos y restamos los numeradores sobre el denominador común y operamos:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{b}}\pm {\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a\cdot d\pm c\cdot b}{b\cdot d}}}}$
${\displaystyle \frac{1-2\cdot x+x\cdot x}{x}}={\displaystyle \frac{1-2x+x^2}{x}}$
${\displaystyle \frac{1-2x+x^2}{x}}={\displaystyle \frac{x^2-2x+1}{x}}$
El numerador $x^2-2x+1$ no comparte ningún factor con el denominador, así que la fracción ya está simplificada.
Con eso, el producto queda ${\displaystyle \frac{x^2-2x+1}{x}}\cdot {\displaystyle \frac{x^3}{x^2-1}}$:
Multiplicamos los numeradores entre sí y los denominadores entre sí:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{b}}\cdot {\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a\cdot c}{b\cdot d}}}}$
${\displaystyle \frac{x^2-2x+1}{x}}\cdot {\displaystyle \frac{x^3}{x^2-1}}={\displaystyle \frac{(x-1{)}^2\cdot x^3}{x\cdot (x^2-1)}}$
Factorizamos los polinomios que se puedan descomponer:
$x^2-1$ es una diferencia de cuadrados, con $A=x$ y $B=1$:
$\boxed{{\displaystyle a^2-b^2=(a+b)(a-b)}}$
$x^2-1=(x+1)(x-1)$
Con todo factorizado, tachamos los factores comunes (cada tachado de arriba se empareja con uno de abajo):
${\displaystyle \frac{(x-1{)}^2\cdot x^3}{x\cdot (x^2-1)}}={\displaystyle \frac{x^3(x-1{)}^2}{x(x+1)(x-1)}}$
Escribimos cada factor separando la parte que se va a tachar:
${\displaystyle \frac{x^3(x-1{)}^2}{x(x+1)(x-1)}}={\displaystyle \frac{x{x}^2(x-1)(x-1)}{x(x+1)(x-1)}}$
${\displaystyle \frac{\cancel{x}{x}^2\cancel{(x-1)}(x-1)}{\cancel{x}(x+1)\cancel{(x-1)}}}={\displaystyle \frac{x^2(x-1)}{x+1}}$
Como se han tachado factores del denominador, la simplificación vale para $x\mathrm{\ne }0$ y $x\mathrm{\ne }1$ (los valores que anulan lo tachado).
Resultado: ${\displaystyle \frac{x^2(x-1)}{x+1}}$.


$\mathbf{\text{b)}}$ Antes de sumar, la fracción ${\displaystyle \frac{2(x^3+1)}{x+1}}$ se puede simplificar:
$x^3+1$ es de grado 3: buscamos una raíz entre los divisores del término independiente y dividimos por Ruffini. Con $x=-1$ el resto sale 0, así que es raíz:
$\begin{array}{rrrrr}& 1& 0& 0& 1\\ -1& & -1& 1& -1\\ & 1& -1& 1& 0\end{array}$
Los coeficientes de la última fila son el cociente, y el polinomio es (x menos la raíz) por ese cociente:
$\boxed{{\displaystyle P(x)=(x-r)\cdot C(x)}}$
$x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$
$x^2-x+1$ no tiene raíces reales (su discriminante, $b^2-4ac=-3$, es negativo), así que no se puede factorizar.
En total:
$x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$
En total, el polinomio factorizado queda:
$2(x^3+1)=2(x+1)(x^2-x+1)$
${\displaystyle \frac{2(x^3+1)}{x+1}}={\displaystyle \frac{2(x+1)(x^2-x+1)}{x+1}}$
${\displaystyle \frac{2(x+1)(x^2-x+1)}{x+1}}={\displaystyle \frac{2\cancel{(x+1)}(x^2-x+1)}{\cancel{(x+1)}}}=2(x^2-x+1)$
Antes de sumar, la fracción ${\displaystyle \frac{x^3-1}{x-1}}$ se puede simplificar:
$x^3-1$ es de grado 3: buscamos una raíz entre los divisores del término independiente y dividimos por Ruffini. Con $x=1$ el resto sale 0, así que es raíz:
$\begin{array}{rrrrr}& 1& 0& 0& -1\\ 1& & 1& 1& 1\\ & 1& 1& 1& 0\end{array}$
Los coeficientes de la última fila son el cociente, y el polinomio es (x menos la raíz) por ese cociente:
$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$
$x^2+x+1$ no tiene raíces reales (su discriminante, $b^2-4ac=-3$, es negativo), así que no se puede factorizar.
En total:
$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$
${\displaystyle \frac{x^3-1}{x-1}}={\displaystyle \frac{(x-1)(x^2+x+1)}{x-1}}$
${\displaystyle \frac{(x-1)(x^2+x+1)}{x-1}}={\displaystyle \frac{\cancel{(x-1)}(x^2+x+1)}{\cancel{(x-1)}}}=x^2+x+1$
Antes de sumar, la fracción ${\displaystyle \frac{x^3-x}{x^2-1}}$ se puede simplificar:
Sacamos factor común $x$:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)}}$
$x^3-x=x(x^2-1)$
$x^2-1$ es una diferencia de cuadrados, con $A=x$ y $B=1$:
$\boxed{{\displaystyle a^2-b^2=(a+b)(a-b)}}$
$x^2-1=(x+1)(x-1)$
En total, el polinomio factorizado queda:
$x^3-x=x(x+1)(x-1)$
$x^2-1$ es una diferencia de cuadrados, con $A=x$ y $B=1$:
$x^2-1=(x+1)(x-1)$
${\displaystyle \frac{x^3-x}{x^2-1}}={\displaystyle \frac{x(x+1)(x-1)}{(x+1)(x-1)}}$
${\displaystyle \frac{x(x+1)(x-1)}{(x+1)(x-1)}}={\displaystyle \frac{x\cancel{(x+1)}\cancel{(x-1)}}{\cancel{(x+1)}\cancel{(x-1)}}}=x$
Son polinomios, así que basta con quitar paréntesis y agrupar términos semejantes:
$2(x^2-x+1)-(x^2+x+1)+x=(2x^2-2x+2)-(x^2+x+1)+x$
$(2x^2-2x+2)-(x^2+x+1)+x=x^2-2x+1$
Como se han tachado factores del denominador, la simplificación vale para $x\mathrm{\ne }-1$ y $x\mathrm{\ne }1$ (los valores que anulan lo tachado).
Resultado: $x^2-2x+1$.


$\mathbf{\text{c)}}$ Antes de sumar, la fracción ${\displaystyle \frac{2xy}{x^2-2xy}}$ se puede simplificar:
Sacamos factor común $x$:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)}}$
$x^2-2xy=x(x-2y)$
${\displaystyle \frac{2xy}{x^2-2xy}}={\displaystyle \frac{2xy}{x(x-2y)}}$
${\displaystyle \frac{2xy}{x(x-2y)}}={\displaystyle \frac{2\cancel{x}y}{\cancel{x}(x-2y)}}={\displaystyle \frac{2y}{x-2y}}$
El mínimo común múltiplo de los denominadores se forma con todos los factores distintos, cada uno elevado al mayor exponente con el que aparece: $\text{mcm}=x(x-2y)$. Ese es el denominador común.
Reducimos cada fracción a ese denominador, multiplicando arriba y abajo por lo que le falta:
${\displaystyle \frac{x}{x-2y}}={\displaystyle \frac{x\cdot x}{x(x-2y)}}$
${\displaystyle \frac{2y}{x-2y}}={\displaystyle \frac{2y\cdot x}{x(x-2y)}}$
${\displaystyle \frac{y}{x}}={\displaystyle \frac{y\cdot (x-2y)}{x(x-2y)}}$
Sumamos y restamos los numeradores sobre el denominador común y operamos:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{b}}\pm {\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a\cdot d\pm c\cdot b}{b\cdot d}}}}$
${\displaystyle \frac{x\cdot x-2y\cdot x+y\cdot (x-2y)}{x(x-2y)}}={\displaystyle \frac{x^2-2xy+(xy-2y^2)}{x(x-2y)}}$
${\displaystyle \frac{x^2-2xy+(xy-2y^2)}{x(x-2y)}}={\displaystyle \frac{x^2-xy-2y^2}{x(x-2y)}}$
Factorizamos el numerador para ver si comparte factores con el denominador:
$x^2-xy-2y^2$ es un polinomio de segundo grado en $x$ (las otras letras hacen de números): se resuelve la ecuación $x^2-xy-2y^2=0$ con la fórmula, y cada raíz $x_i$ da un factor $(x-x_i)$:
$x={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}={\displaystyle \frac{-(-y)\pm \sqrt{(-y{)}^2-4\cdot 1\cdot (-2y^2)}}{2\cdot 1}}={\displaystyle \frac{y\pm \sqrt{9y^2}}{2}}={\displaystyle \frac{y\pm 3y}{2}}$
Las raíces son $x_1=2y$ y $x_2=-y$, así que:
$\boxed{{\displaystyle a{x}^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)}}$
$x^2-xy-2y^2=(x-2y)(x+y)$
Tachamos los factores comunes:
${\displaystyle \frac{x^2-xy-2y^2}{x(x-2y)}}={\displaystyle \frac{(x+y)\cancel{(x-2y)}}{x\cancel{(x-2y)}}}={\displaystyle \frac{x+y}{x}}$
Como se han tachado factores del denominador, la simplificación vale para $x\mathrm{\ne }0$ y $x\mathrm{\ne }2y$ (los valores que anulan lo tachado).
Resultado: ${\displaystyle \frac{x+y}{x}}$.


$\mathbf{\text{d)}}$ Para sumar o restar hace falta un denominador común, así que factorizamos los denominadores:
$x^2+4x+4$ es el cuadrado de un binomio, con $A=x$ y $B=2$ (el término central es $2\cdot x\cdot 2=4x$):
$\boxed{{\displaystyle a^2\pm 2ab+b^2=(a\pm b{)}^2}}$
$x^2+4x+4=(x+2{)}^2$
$x^2+3x+2$ es un polinomio de segundo grado: se resuelve la ecuación $x^2+3x+2=0$ con la fórmula, y cada raíz $x_i$ da un factor $(x-x_i)$:
$x={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}={\displaystyle \frac{-3\pm \sqrt{3^2-4\cdot 1\cdot 2}}{2\cdot 1}}={\displaystyle \frac{-3\pm \sqrt{1}}{2}}={\displaystyle \frac{-3\pm 1}{2}}$
Las raíces son $x_1=-1$ y $x_2=-2$, así que:
$\boxed{{\displaystyle a{x}^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)}}$
$x^2+3x+2=(x+1)(x+2)$
El mínimo común múltiplo de los denominadores se forma con todos los factores distintos, cada uno elevado al mayor exponente con el que aparece: $\text{mcm}=(x+1)(x+2{)}^2$. Ese es el denominador común.
Reducimos cada fracción a ese denominador, multiplicando arriba y abajo por lo que le falta:
${\displaystyle \frac{-8x}{(x+2{)}^2}}={\displaystyle \frac{(-8x)\cdot (x+1)}{(x+1)(x+2{)}^2}}$
${\displaystyle \frac{3x}{(x+1)(x+2)}}={\displaystyle \frac{3x\cdot (x+2)}{(x+1)(x+2{)}^2}}$
Sumamos y restamos los numeradores sobre el denominador común y operamos:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{b}}\pm {\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a\cdot d\pm c\cdot b}{b\cdot d}}}}$
${\displaystyle \frac{(-8x)\cdot (x+1)+3x\cdot (x+2)}{(x+1)(x+2{)}^2}}={\displaystyle \frac{(-8x^2-8x)+(3x^2+6x)}{(x+1)(x+2{)}^2}}$
${\displaystyle \frac{(-8x^2-8x)+(3x^2+6x)}{(x+1)(x+2{)}^2}}={\displaystyle \frac{-5x^2-2x}{(x+1)(x+2{)}^2}}$
El numerador $-5x^2-2x$ no comparte ningún factor con el denominador, así que la fracción ya está simplificada.
Resultado: $-{\displaystyle \frac{5x^2+2x}{(x+1)(x+2{)}^2}}$.


$\mathbf{\text{e)}}$ Para sumar o restar hace falta un denominador común, así que factorizamos los denominadores:
Sacamos factor común $x$:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)}}$
$x^3+7x^2+10x=x(x^2+7x+10)$
$x^2+7x+10$ es un polinomio de segundo grado: se resuelve la ecuación $x^2+7x+10=0$ con la fórmula, y cada raíz $x_i$ da un factor $(x-x_i)$:
$x={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}={\displaystyle \frac{-7\pm \sqrt{7^2-4\cdot 1\cdot 10}}{2\cdot 1}}={\displaystyle \frac{-7\pm \sqrt{9}}{2}}={\displaystyle \frac{-7\pm 3}{2}}$
Las raíces son $x_1=-2$ y $x_2=-5$, así que:
$\boxed{{\displaystyle a{x}^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)}}$
$x^2+7x+10=(x+2)(x+5)$
En total, el polinomio factorizado queda:
$x^3+7x^2+10x=x(x+2)(x+5)$
Sacamos factor común $x$:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)}}$
$x^2+5x=x(x+5)$
El mínimo común múltiplo de los denominadores se forma con todos los factores distintos, cada uno elevado al mayor exponente con el que aparece: $\text{mcm}=x^3(x+2)(x+5)$. Ese es el denominador común.
Reducimos cada fracción a ese denominador, multiplicando arriba y abajo por lo que le falta:
${\displaystyle \frac{x^2-x-2}{x(x+2)(x+5)}}={\displaystyle \frac{(x^2-x-2)\cdot x^2}{x^3(x+2)(x+5)}}$
${\displaystyle \frac{1}{x(x+5)}}={\displaystyle \frac{1\cdot x^2(x+2)}{x^3(x+2)(x+5)}}$
${\displaystyle \frac{1}{x^3}}={\displaystyle \frac{1\cdot (x+2)(x+5)}{x^3(x+2)(x+5)}}$
Sumamos y restamos los numeradores sobre el denominador común y operamos:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{b}}\pm {\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a\cdot d\pm c\cdot b}{b\cdot d}}}}$
${\displaystyle \frac{(x^2-x-2)\cdot x^2+1\cdot x^2(x+2)-1\cdot (x+2)(x+5)}{x^3(x+2)(x+5)}}={\displaystyle \frac{(x^4-x^3-2x^2)+(x^3+2x^2)-(x^2+7x+10)}{x^3(x+2)(x+5)}}$
${\displaystyle \frac{(x^4-x^3-2x^2)+(x^3+2x^2)-(x^2+7x+10)}{x^3(x+2)(x+5)}}={\displaystyle \frac{x^4-x^2-7x-10}{x^3(x+2)(x+5)}}$
El numerador $x^4-x^2-7x-10$ no comparte ningún factor con el denominador, así que la fracción ya está simplificada.
Resultado: ${\displaystyle \frac{x^4-x^2-7x-10}{x^3(x+2)(x+5)}}$.