Ejercicio resuelto de Fracciones algebraicas · Matemáticas 4 ESO

Opera, simplifica si es posible y desarrolla el resultado:

a) ${\displaystyle \frac{3x}{x-1}}-{\displaystyle \frac{x+2}{x+1}}-{\displaystyle \frac{3x-1}{x^2-1}}$
b) $({\displaystyle \frac{a+1}{a}}-{\displaystyle \frac{a}{a+2}}):(1+{\displaystyle \frac{a}{a+2}})$
c) ${\displaystyle \frac{2}{y-1}}\cdot {\displaystyle \frac{y^2-1}{y+2}}+{\displaystyle \frac{5y}{y^2-9}}:{\displaystyle \frac{1}{y+3}}$
d) $({\displaystyle \frac{x-2}{x-3}}-{\displaystyle \frac{x-3}{x-2}}):({\displaystyle \frac{1}{x-3}}-{\displaystyle \frac{1}{x-2}})$

$\mathbf{\text{a)}}$ Para sumar o restar hace falta un denominador común, así que factorizamos los denominadores:
$x^2-1$ es una diferencia de cuadrados, con $A=x$ y $B=1$:
$\boxed{{\displaystyle a^2-b^2=(a+b)(a-b)}}$
$x^2-1=(x+1)(x-1)$
El mínimo común múltiplo de los denominadores se forma con todos los factores distintos, cada uno elevado al mayor exponente con el que aparece: $\text{mcm}=(x+1)(x-1)$. Ese es el denominador común.
Reducimos cada fracción a ese denominador, multiplicando arriba y abajo por lo que le falta:
${\displaystyle \frac{3x}{x-1}}={\displaystyle \frac{3x\cdot (x+1)}{(x+1)(x-1)}}$
${\displaystyle \frac{x+2}{x+1}}={\displaystyle \frac{(x+2)\cdot (x-1)}{(x+1)(x-1)}}$
${\displaystyle \frac{3x-1}{x^2-1}}$ ya tiene el denominador común.
Sumamos y restamos los numeradores sobre el denominador común y operamos:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{b}}\pm {\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a\cdot d\pm c\cdot b}{b\cdot d}}}}$
${\displaystyle \frac{3x\cdot (x+1)-(x+2)\cdot (x-1)-(3x-1)}{(x+1)(x-1)}}={\displaystyle \frac{(3x^2+3x)-(x^2+x-2)-(3x-1)}{(x+1)(x-1)}}$
${\displaystyle \frac{(3x^2+3x)-(x^2+x-2)-(3x-1)}{(x+1)(x-1)}}={\displaystyle \frac{2x^2-x+3}{(x+1)(x-1)}}$
El numerador $2x^2-x+3$ no comparte ningún factor con el denominador, así que la fracción ya está simplificada.
Desarrollamos numerador y denominador para dar el resultado como pide el enunciado:
${\displaystyle \frac{2x^2-x+3}{(x+1)(x-1)}}={\displaystyle \frac{2x^2-x+3}{x^2-1}}$
Resultado: ${\displaystyle \frac{2x^2-x+3}{x^2-1}}$.


$\mathbf{\text{b)}}$ Se opera por orden: primero lo que hay dentro de los paréntesis, después productos y divisiones, y por último sumas y restas.
Primer paréntesis, $({\displaystyle \frac{a+1}{a}}-{\displaystyle \frac{a}{a+2}})$:
El mínimo común múltiplo de los denominadores se forma con todos los factores distintos, cada uno elevado al mayor exponente con el que aparece: $\text{mcm}=a(a+2)$. Ese es el denominador común.
Reducimos cada fracción a ese denominador, multiplicando arriba y abajo por lo que le falta:
${\displaystyle \frac{a+1}{a}}={\displaystyle \frac{(a+1)\cdot (a+2)}{a(a+2)}}$
${\displaystyle \frac{a}{a+2}}={\displaystyle \frac{a\cdot a}{a(a+2)}}$
Sumamos y restamos los numeradores sobre el denominador común y operamos:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{b}}\pm {\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a\cdot d\pm c\cdot b}{b\cdot d}}}}$
${\displaystyle \frac{(a+1)\cdot (a+2)-a\cdot a}{a(a+2)}}={\displaystyle \frac{(a^2+3a+2)-a^2}{a(a+2)}}$
${\displaystyle \frac{(a^2+3a+2)-a^2}{a(a+2)}}={\displaystyle \frac{3a+2}{a(a+2)}}$
El numerador $3a+2$ no comparte ningún factor con el denominador, así que la fracción ya está simplificada.
Segundo paréntesis, $(1+{\displaystyle \frac{a}{a+2}})$:
El mínimo común múltiplo de los denominadores se forma con todos los factores distintos, cada uno elevado al mayor exponente con el que aparece: $\text{mcm}=a+2$. Ese es el denominador común.
Reducimos cada fracción a ese denominador, multiplicando arriba y abajo por lo que le falta:
$1={\displaystyle \frac{1\cdot (a+2)}{a+2}}$
${\displaystyle \frac{a}{a+2}}$ ya tiene el denominador común.
Sumamos y restamos los numeradores sobre el denominador común y operamos:
${\displaystyle \frac{1\cdot (a+2)+a}{a+2}}={\displaystyle \frac{(a+2)+a}{a+2}}$
${\displaystyle \frac{(a+2)+a}{a+2}}={\displaystyle \frac{2a+2}{a+2}}$
El numerador $2a+2$ no comparte ningún factor con el denominador, así que la fracción ya está simplificada.
Con eso, la división queda ${\displaystyle \frac{3a+2}{a(a+2)}}:{\displaystyle \frac{2a+2}{a+2}}$:
Para dividir, multiplicamos en cruz: el numerador de la primera por el denominador de la segunda, y el denominador de la primera por el numerador de la segunda:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{b}}:{\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a\cdot d}{b\cdot c}}}}$
${\displaystyle \frac{3a+2}{a(a+2)}}:{\displaystyle \frac{2a+2}{a+2}}={\displaystyle \frac{(3a+2)\cdot (a+2)}{a(a+2)\cdot 2(a+1)}}$
Con todo factorizado, tachamos los factores comunes (cada tachado de arriba se empareja con uno de abajo):
${\displaystyle \frac{(3a+2)\cdot (a+2)}{a(a+2)\cdot 2(a+1)}}={\displaystyle \frac{(3a+2)(a+2)}{2a(a+1)(a+2)}}$
${\displaystyle \frac{(3a+2)(a+2)}{2a(a+1)(a+2)}}={\displaystyle \frac{(3a+2)\cancel{(a+2)}}{2a(a+1)\cancel{(a+2)}}}={\displaystyle \frac{3a+2}{2a(a+1)}}$
Como se han tachado factores del denominador, la simplificación vale para $a\mathrm{\ne }-2$ (los valores que anulan lo tachado).
Desarrollamos numerador y denominador para dar el resultado como pide el enunciado:
${\displaystyle \frac{3a+2}{2a(a+1)}}={\displaystyle \frac{3a+2}{2a^2+2a}}$
Resultado: ${\displaystyle \frac{3a+2}{2a^2+2a}}$.


$\mathbf{\text{c)}}$ Se opera por orden: primero lo que hay dentro de los paréntesis, después productos y divisiones, y por último sumas y restas.
Primero el producto ${\displaystyle \frac{2}{y-1}}\cdot {\displaystyle \frac{y^2-1}{y+2}}$, que va antes que el resto:
Multiplicamos los numeradores entre sí y los denominadores entre sí:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{b}}\cdot {\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a\cdot c}{b\cdot d}}}}$
${\displaystyle \frac{2}{y-1}}\cdot {\displaystyle \frac{y^2-1}{y+2}}={\displaystyle \frac{2\cdot (y^2-1)}{(y-1)\cdot (y+2)}}$
Factorizamos los polinomios que se puedan descomponer:
$y^2-1$ es una diferencia de cuadrados, con $A=y$ y $B=1$:
$\boxed{{\displaystyle a^2-b^2=(a+b)(a-b)}}$
$y^2-1=(y+1)(y-1)$
Con todo factorizado, tachamos los factores comunes (cada tachado de arriba se empareja con uno de abajo):
${\displaystyle \frac{2\cdot (y^2-1)}{(y-1)\cdot (y+2)}}={\displaystyle \frac{2(y+1)(y-1)}{(y+2)(y-1)}}$
${\displaystyle \frac{2(y+1)(y-1)}{(y+2)(y-1)}}={\displaystyle \frac{2(y+1)\cancel{(y-1)}}{(y+2)\cancel{(y-1)}}}={\displaystyle \frac{2(y+1)}{y+2}}$
Primero la división ${\displaystyle \frac{5y}{y^2-9}}:{\displaystyle \frac{1}{y+3}}$, que va antes que el resto:
Para dividir, multiplicamos en cruz: el numerador de la primera por el denominador de la segunda, y el denominador de la primera por el numerador de la segunda:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{b}}:{\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a\cdot d}{b\cdot c}}}}$
${\displaystyle \frac{5y}{y^2-9}}:{\displaystyle \frac{1}{y+3}}={\displaystyle \frac{5y\cdot (y+3)}{(y^2-9)\cdot 1}}$
Factorizamos los polinomios que se puedan descomponer:
$y^2-9$ es una diferencia de cuadrados, con $A=y$ y $B=3$:
$\boxed{{\displaystyle a^2-b^2=(a+b)(a-b)}}$
$y^2-9=(y+3)(y-3)$
Con todo factorizado, tachamos los factores comunes (cada tachado de arriba se empareja con uno de abajo):
${\displaystyle \frac{5y\cdot (y+3)}{(y^2-9)\cdot 1}}={\displaystyle \frac{5y(y+3)}{(y+3)(y-3)}}$
${\displaystyle \frac{5y(y+3)}{(y+3)(y-3)}}={\displaystyle \frac{5y\cancel{(y+3)}}{\cancel{(y+3)}(y-3)}}={\displaystyle \frac{5y}{y-3}}$
Con eso, la suma queda ${\displaystyle \frac{2(y+1)}{y+2}}+{\displaystyle \frac{5y}{y-3}}$:
El mínimo común múltiplo de los denominadores se forma con todos los factores distintos, cada uno elevado al mayor exponente con el que aparece: $\text{mcm}=(y+2)(y-3)$. Ese es el denominador común.
Reducimos cada fracción a ese denominador, multiplicando arriba y abajo por lo que le falta:
${\displaystyle \frac{2(y+1)}{y+2}}={\displaystyle \frac{2(y+1)\cdot (y-3)}{(y+2)(y-3)}}$
${\displaystyle \frac{5y}{y-3}}={\displaystyle \frac{5y\cdot (y+2)}{(y+2)(y-3)}}$
Sumamos y restamos los numeradores sobre el denominador común y operamos:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{b}}\pm {\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a\cdot d\pm c\cdot b}{b\cdot d}}}}$
${\displaystyle \frac{2(y+1)\cdot (y-3)+5y\cdot (y+2)}{(y+2)(y-3)}}={\displaystyle \frac{(2y^2-4y-6)+(5y^2+10y)}{(y+2)(y-3)}}$
${\displaystyle \frac{(2y^2-4y-6)+(5y^2+10y)}{(y+2)(y-3)}}={\displaystyle \frac{7y^2+6y-6}{(y+2)(y-3)}}$
El numerador $7y^2+6y-6$ no comparte ningún factor con el denominador, así que la fracción ya está simplificada.
Como se han tachado factores del denominador, la simplificación vale para $y\mathrm{\ne }-3$ y $y\mathrm{\ne }1$ (los valores que anulan lo tachado).
Desarrollamos numerador y denominador para dar el resultado como pide el enunciado:
${\displaystyle \frac{7y^2+6y-6}{(y+2)(y-3)}}={\displaystyle \frac{7y^2+6y-6}{y^2-y-6}}$
Resultado: ${\displaystyle \frac{7y^2+6y-6}{y^2-y-6}}$.


$\mathbf{\text{d)}}$ Se opera por orden: primero lo que hay dentro de los paréntesis, después productos y divisiones, y por último sumas y restas.
Primer paréntesis, $({\displaystyle \frac{x-2}{x-3}}-{\displaystyle \frac{x-3}{x-2}})$:
El mínimo común múltiplo de los denominadores se forma con todos los factores distintos, cada uno elevado al mayor exponente con el que aparece: $\text{mcm}=(x-2)(x-3)$. Ese es el denominador común.
Reducimos cada fracción a ese denominador, multiplicando arriba y abajo por lo que le falta:
${\displaystyle \frac{x-2}{x-3}}={\displaystyle \frac{(x-2)\cdot (x-2)}{(x-2)(x-3)}}$
${\displaystyle \frac{x-3}{x-2}}={\displaystyle \frac{(x-3)\cdot (x-3)}{(x-2)(x-3)}}$
Sumamos y restamos los numeradores sobre el denominador común y operamos:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{b}}\pm {\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a\cdot d\pm c\cdot b}{b\cdot d}}}}$
${\displaystyle \frac{(x-2)\cdot (x-2)-(x-3)\cdot (x-3)}{(x-2)(x-3)}}={\displaystyle \frac{(x^2-4x+4)-(x^2-6x+9)}{(x-2)(x-3)}}$
${\displaystyle \frac{(x^2-4x+4)-(x^2-6x+9)}{(x-2)(x-3)}}={\displaystyle \frac{2x-5}{(x-2)(x-3)}}$
El numerador $2x-5$ no comparte ningún factor con el denominador, así que la fracción ya está simplificada.
Segundo paréntesis, $({\displaystyle \frac{1}{x-3}}-{\displaystyle \frac{1}{x-2}})$:
El mínimo común múltiplo de los denominadores se forma con todos los factores distintos, cada uno elevado al mayor exponente con el que aparece: $\text{mcm}=(x-2)(x-3)$. Ese es el denominador común.
Reducimos cada fracción a ese denominador, multiplicando arriba y abajo por lo que le falta:
${\displaystyle \frac{1}{x-3}}={\displaystyle \frac{1\cdot (x-2)}{(x-2)(x-3)}}$
${\displaystyle \frac{1}{x-2}}={\displaystyle \frac{1\cdot (x-3)}{(x-2)(x-3)}}$
Sumamos y restamos los numeradores sobre el denominador común y operamos:
${\displaystyle \frac{1\cdot (x-2)-1\cdot (x-3)}{(x-2)(x-3)}}={\displaystyle \frac{(x-2)-(x-3)}{(x-2)(x-3)}}$
${\displaystyle \frac{(x-2)-(x-3)}{(x-2)(x-3)}}={\displaystyle \frac{1}{(x-2)(x-3)}}$
El numerador $1$ no comparte ningún factor con el denominador, así que la fracción ya está simplificada.
Con eso, la división queda ${\displaystyle \frac{2x-5}{(x-2)(x-3)}}:{\displaystyle \frac{1}{(x-2)(x-3)}}$:
Para dividir, multiplicamos en cruz: el numerador de la primera por el denominador de la segunda, y el denominador de la primera por el numerador de la segunda:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{b}}:{\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a\cdot d}{b\cdot c}}}}$
${\displaystyle \frac{2x-5}{(x-2)(x-3)}}:{\displaystyle \frac{1}{(x-2)(x-3)}}={\displaystyle \frac{(2x-5)\cdot (x-2)(x-3)}{(x-2)(x-3)\cdot 1}}$
Con todo factorizado, tachamos los factores comunes (cada tachado de arriba se empareja con uno de abajo):
${\displaystyle \frac{(2x-5)\cdot (x-2)(x-3)}{(x-2)(x-3)\cdot 1}}={\displaystyle \frac{(2x-5)(x-2)(x-3)}{(x-2)(x-3)}}$
${\displaystyle \frac{(2x-5)(x-2)(x-3)}{(x-2)(x-3)}}={\displaystyle \frac{(2x-5)\cancel{(x-2)}\cancel{(x-3)}}{\cancel{(x-2)}\cancel{(x-3)}}}=2x-5$
Como se han tachado factores del denominador, la simplificación vale para $x\mathrm{\ne }2$ y $x\mathrm{\ne }3$ (los valores que anulan lo tachado).
Resultado: $2x-5$.