Ejercicio resuelto de Fracciones algebraicas · Matemáticas 4 ESO

Utilizando las identidades notables y sacando factor común, simplifica las siguientes fracciones algebraicas:

a) ${\displaystyle \frac{a^2+2ab+b^2}{3a+3b}}$
b) ${\displaystyle \frac{m^2-n^2}{m^2+2mn+n^2}}$
c) ${\displaystyle \frac{m^{4}n-m^2{n}^3}{m^{3}n+m^2{n}^2}}$
d) ${\displaystyle \frac{{\left(8p^3{q}^2\right)}^4}{{\left(16p^2{q}^2\right)}^3}}$
e) ${\displaystyle \frac{{\left(12m{n}^3\right)}^3}{{\left(18m^{2}n\right)}^4}}$
f) ${\displaystyle \frac{x^4-1}{3x^2-3}}$
g) ${\displaystyle \frac{2ax-4bx}{3ay-6by}}$
h) ${\displaystyle \frac{48a}{72ab}}$

$\mathbf{\text{a)}}$ Factorizamos el numerador:
$a^2+2ab+b^2$ es el cuadrado de un binomio, con $A=a$ y $B=b$ (el término central es $2\cdot a\cdot b=2ab$):
$\boxed{{\displaystyle a^2\pm 2ab+b^2=(a\pm b{)}^2}}$
$a^2+2ab+b^2=(a+b{)}^2$
Factorizamos el denominador:
Sacamos factor común $3$:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)}}$
$3a+3b=3(a+b)$
Escribimos la fracción con numerador y denominador factorizados y tachamos los factores comunes (cada factor tachado arriba se empareja con el mismo factor tachado abajo):
${\displaystyle \frac{a^2+2ab+b^2}{3a+3b}}={\displaystyle \frac{(a+b{)}^2}{3(a+b)}}$
${\displaystyle \frac{(a+b{)}^2}{3(a+b)}}={\displaystyle \frac{\cancel{(a+b)}(a+b)}{3\cancel{(a+b)}}}={\displaystyle \frac{a+b}{3}}$
Como se han tachado factores del denominador, la simplificación vale para $a\mathrm{\ne }-b$ (los valores que anulan lo tachado).
Resultado: ${\displaystyle \frac{a+b}{3}}$.


$\mathbf{\text{b)}}$ Factorizamos el numerador:
$m^2-n^2$ es una diferencia de cuadrados, con $A=m$ y $B=n$:
$\boxed{{\displaystyle a^2-b^2=(a+b)(a-b)}}$
$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$
Factorizamos el denominador:
$m^2+2mn+n^2$ es el cuadrado de un binomio, con $A=m$ y $B=n$ (el término central es $2\cdot m\cdot n=2mn$):
$\boxed{{\displaystyle a^2\pm 2ab+b^2=(a\pm b{)}^2}}$
$m^2+2mn+n^2=(m+n{)}^2$
Escribimos la fracción con numerador y denominador factorizados y tachamos los factores comunes (cada factor tachado arriba se empareja con el mismo factor tachado abajo):
${\displaystyle \frac{m^2-n^2}{m^2+2mn+n^2}}={\displaystyle \frac{(m+n)(m-n)}{(m+n{)}^2}}$
${\displaystyle \frac{(m+n)(m-n)}{(m+n{)}^2}}={\displaystyle \frac{\cancel{(m+n)}(m-n)}{\cancel{(m+n)}(m+n)}}={\displaystyle \frac{m-n}{m+n}}$
Como se han tachado factores del denominador, la simplificación vale para $m\mathrm{\ne }-n$ (los valores que anulan lo tachado).
Resultado: ${\displaystyle \frac{m-n}{m+n}}$.


$\mathbf{\text{c)}}$ Factorizamos el numerador:
Sacamos factor común $m^{2}n$:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)}}$
$m^{4}n-m^2{n}^3=m^{2}n(m^2-n^2)$
$m^2-n^2$ es una diferencia de cuadrados, con $A=m$ y $B=n$:
$\boxed{{\displaystyle a^2-b^2=(a+b)(a-b)}}$
$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$
En total, el polinomio factorizado queda:
$m^{4}n-m^2{n}^3=m^{2}n(m+n)(m-n)$
Factorizamos el denominador:
Sacamos factor común $m^{2}n$:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)}}$
$m^{3}n+m^2{n}^2=m^{2}n(m+n)$
Escribimos la fracción con numerador y denominador factorizados y tachamos los factores comunes (cada factor tachado arriba se empareja con el mismo factor tachado abajo):
${\displaystyle \frac{m^{4}n-m^2{n}^3}{m^{3}n+m^2{n}^2}}={\displaystyle \frac{m^{2}n(m+n)(m-n)}{m^{2}n(m+n)}}$
Escribimos cada factor separando la parte que se va a tachar:
${\displaystyle \frac{m^{2}n(m+n)(m-n)}{m^{2}n(m+n)}}={\displaystyle \frac{m^{2}n(m+n)(m-n)}{m^{2}n(m+n)}}$
${\displaystyle \frac{\cancel{m^2}\cancel{n}\cancel{(m+n)}(m-n)}{\cancel{m^2}\cancel{n}\cancel{(m+n)}}}=m-n$
Como se han tachado factores del denominador, la simplificación vale para $m\mathrm{\ne }-n$, $m\mathrm{\ne }0$ y $n\mathrm{\ne }0$ (los valores que anulan lo tachado).
Resultado: $m-n$.


$\mathbf{\text{d)}}$ Primero aplicamos a cada paréntesis la potencia de un producto y la potencia de una potencia:
$\boxed{{\displaystyle (a\cdot b{)}^n=a^n\cdot b^n}}$
$\boxed{{\displaystyle (a^m{)}^n=a^{m\cdot n}}}$
${\left(8p^3{q}^2\right)}^4=8^4\cdot p^{3\cdot 4}\cdot q^{2\cdot 4}=4096p^{12}{q}^8$
${\left(16p^2{q}^2\right)}^3={16}^3\cdot p^{2\cdot 3}\cdot q^{2\cdot 3}=4096p^6{q}^6$
Ya es un cociente de monomios: se simplifican los coeficientes y, en cada letra, se tacha la potencia común arriba y abajo:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a^m}{a^n}}=a^{m-n}}}$
${\displaystyle \frac{{\left(8p^3{q}^2\right)}^4}{{\left(16p^2{q}^2\right)}^3}}={\displaystyle \frac{4096p^{12}{q}^8}{4096p^6{q}^6}}$
Escribimos cada potencia separando la parte que se va a tachar y tachamos:
${\displaystyle \frac{4096p^{12}{q}^8}{4096p^6{q}^6}}={\displaystyle \frac{4096p^6{p}^6{q}^6{q}^2}{4096p^6{q}^6}}$
${\displaystyle \frac{\cancel{4096}\cancel{p^6}{p}^6\cancel{q^6}{q}^2}{\cancel{4096}\cancel{p^6}\cancel{q^6}}}=p^6{q}^2$
Como se han tachado factores del denominador, la simplificación vale para $p\mathrm{\ne }0$ y $q\mathrm{\ne }0$ (los valores que anulan lo tachado).
Resultado: $p^6{q}^2$.


$\mathbf{\text{e)}}$ Primero aplicamos a cada paréntesis la potencia de un producto y la potencia de una potencia:
$\boxed{{\displaystyle (a\cdot b{)}^n=a^n\cdot b^n}}$
$\boxed{{\displaystyle (a^m{)}^n=a^{m\cdot n}}}$
${\left(12m{n}^3\right)}^3={12}^3\cdot m^3\cdot n^{3\cdot 3}={12}^3{m}^3{n}^9$
${\left(18m^{2}n\right)}^4={18}^4\cdot m^{2\cdot 4}\cdot n^4={18}^4{m}^8{n}^4$
Para simplificar los coeficientes sin manejar números enormes, los descomponemos en factores primos, $12=2^2\cdot 3$ y $18=2\cdot 3^2$, y volvemos a usar la potencia de un producto:
${12}^3={(2^2\cdot 3)}^3=2^6\cdot 3^3$
${18}^4={(2\cdot 3^2)}^4=2^4\cdot 3^8$
Ya es un cociente de monomios: en cada base (también en el 2 y en el 3) se tacha la potencia común arriba y abajo:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a^m}{a^n}}=a^{m-n}}}$
${\displaystyle \frac{{\left(12m{n}^3\right)}^3}{{\left(18m^{2}n\right)}^4}}={\displaystyle \frac{2^6\cdot 3^3{m}^3{n}^9}{2^4\cdot 3^8{m}^8{n}^4}}$
Escribimos cada potencia separando la parte que se va a tachar:
${\displaystyle \frac{2^6\cdot 3^3{m}^3{n}^9}{2^4\cdot 3^8{m}^8{n}^4}}={\displaystyle \frac{2^4\cdot 2^2\cdot 3^3{m}^3{n}^4{n}^5}{2^4\cdot 3^3\cdot 3^5{m}^3{m}^5{n}^4}}$
Y tachamos:
${\displaystyle \frac{\cancel{2^4}\cdot 2^2\cdot \cancel{3^3}\cancel{m^3}\cancel{n^4}{n}^5}{\cancel{2^4}\cdot \cancel{3^3}\cdot 3^5\cancel{m^3}{m}^5\cancel{n^4}}}={\displaystyle \frac{2^2{n}^5}{3^5{m}^5}}$
Por último calculamos las potencias numéricas que quedan:
${\displaystyle \frac{2^2{n}^5}{3^5{m}^5}}={\displaystyle \frac{4n^5}{243m^5}}$
Como se han tachado factores del denominador, la simplificación vale para $m\mathrm{\ne }0$ y $n\mathrm{\ne }0$ (los valores que anulan lo tachado).
Resultado: ${\displaystyle \frac{4n^5}{243m^5}}$.


$\mathbf{\text{f)}}$ Factorizamos el numerador:
$x^4-1$ es una diferencia de cuadrados, con $A=x^2$ y $B=1$:
$\boxed{{\displaystyle a^2-b^2=(a+b)(a-b)}}$
$x^4-1=(x^2+1)(x^2-1)$
$x^2-1$ es una diferencia de cuadrados, con $A=x$ y $B=1$:
$x^2-1=(x+1)(x-1)$
$x^2+1$ no tiene raíces reales (su discriminante, $b^2-4ac=-4$, es negativo), así que no se puede factorizar.
Factorizamos el denominador:
Sacamos factor común $3$:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)}}$
$3x^2-3=3(x^2-1)$
$x^2-1$ es una diferencia de cuadrados, con $A=x$ y $B=1$:
$\boxed{{\displaystyle a^2-b^2=(a+b)(a-b)}}$
$x^2-1=(x+1)(x-1)$
En total, el polinomio factorizado queda:
$3x^2-3=3(x+1)(x-1)$
Escribimos la fracción con numerador y denominador factorizados y tachamos los factores comunes (cada factor tachado arriba se empareja con el mismo factor tachado abajo):
${\displaystyle \frac{x^4-1}{3x^2-3}}={\displaystyle \frac{(x+1)(x-1)(x^2+1)}{3(x+1)(x-1)}}$
Escribimos cada factor separando la parte que se va a tachar:
${\displaystyle \frac{(x+1)(x-1)(x^2+1)}{3(x+1)(x-1)}}={\displaystyle \frac{(x+1)(x-1)(x^2+1)}{3(x+1)(x-1)}}$
${\displaystyle \frac{\cancel{(x+1)}\cancel{(x-1)}(x^2+1)}{3\cancel{(x+1)}\cancel{(x-1)}}}={\displaystyle \frac{x^2+1}{3}}$
Como se han tachado factores del denominador, la simplificación vale para $x\mathrm{\ne }-1$ y $x\mathrm{\ne }1$ (los valores que anulan lo tachado).
Resultado: ${\displaystyle \frac{x^2+1}{3}}$.


$\mathbf{\text{g)}}$ Factorizamos el numerador:
Sacamos factor común $2x$:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)}}$
$2ax-4bx=2x(a-2b)$
Factorizamos el denominador:
Sacamos factor común $3y$:
$3ay-6by=3y(a-2b)$
Escribimos la fracción con numerador y denominador factorizados y tachamos los factores comunes (cada factor tachado arriba se empareja con el mismo factor tachado abajo):
${\displaystyle \frac{2ax-4bx}{3ay-6by}}={\displaystyle \frac{2x(a-2b)}{3y(a-2b)}}$
${\displaystyle \frac{2x(a-2b)}{3y(a-2b)}}={\displaystyle \frac{2x\cancel{(a-2b)}}{3y\cancel{(a-2b)}}}={\displaystyle \frac{2x}{3y}}$
Como se han tachado factores del denominador, la simplificación vale para $a\mathrm{\ne }2b$ (los valores que anulan lo tachado).
Resultado: ${\displaystyle \frac{2x}{3y}}$.


$\mathbf{\text{h)}}$ Es un cociente de monomios: se simplifican los coeficientes y, en cada letra, se tacha la potencia común arriba y abajo (equivale a restar los exponentes). Escribimos cada potencia separando la parte que se va a tachar:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a^m}{a^n}}=a^{m-n}}}$
${\displaystyle \frac{48a}{72ab}}={\displaystyle \frac{\cancel{24}\cdot 2\cancel{a}}{\cancel{24}\cdot 3\cancel{a}b}}={\displaystyle \frac{2}{3b}}$
Como se han tachado factores del denominador, la simplificación vale para $a\mathrm{\ne }0$ (los valores que anulan lo tachado).
Resultado: ${\displaystyle \frac{2}{3b}}$.