Ejercicio resuelto de Fracciones algebraicas · Matemáticas 4 ESO

Simplifica las siguientes fracciones algebraicas:

a) ${\displaystyle \frac{2x^2-2}{3x^2+6x+3}}$
b) ${\displaystyle \frac{9-x^2}{x^2-3x}}$
c) ${\displaystyle \frac{2x+4}{2x-4}}$
d) ${\displaystyle \frac{x^3-4x}{x^3+x^2-2x}}$
e) ${\displaystyle \frac{x^3-16x}{4x^3+32x^2+64x}}$
f) ${\displaystyle \frac{x^2+2x+1}{x^2-1}}$
g) ${\displaystyle \frac{3b^2-15b}{b^2-10b+25}}$

$\mathbf{\text{a)}}$ Factorizamos el numerador:
Sacamos factor común $2$:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)}}$
$2x^2-2=2(x^2-1)$
$x^2-1$ es una diferencia de cuadrados, con $A=x$ y $B=1$:
$\boxed{{\displaystyle a^2-b^2=(a+b)(a-b)}}$
$x^2-1=(x+1)(x-1)$
En total, el polinomio factorizado queda:
$2x^2-2=2(x+1)(x-1)$
Factorizamos el denominador:
Sacamos factor común $3$:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)}}$
$3x^2+6x+3=3(x^2+2x+1)$
$x^2+2x+1$ es el cuadrado de un binomio, con $A=x$ y $B=1$ (el término central es $2\cdot x\cdot 1=2x$):
$\boxed{{\displaystyle a^2\pm 2ab+b^2=(a\pm b{)}^2}}$
$x^2+2x+1=(x+1{)}^2$
En total, el polinomio factorizado queda:
$3x^2+6x+3=3(x+1{)}^2$
Escribimos la fracción con numerador y denominador factorizados y tachamos los factores comunes (cada factor tachado arriba se empareja con el mismo factor tachado abajo):
${\displaystyle \frac{2x^2-2}{3x^2+6x+3}}={\displaystyle \frac{2(x+1)(x-1)}{3(x+1{)}^2}}$
${\displaystyle \frac{2(x+1)(x-1)}{3(x+1{)}^2}}={\displaystyle \frac{2\cancel{(x+1)}(x-1)}{3\cancel{(x+1)}(x+1)}}={\displaystyle \frac{2(x-1)}{3(x+1)}}$
Como se han tachado factores del denominador, la simplificación vale para $x\mathrm{\ne }-1$ (los valores que anulan lo tachado).
Resultado: ${\displaystyle \frac{2(x-1)}{3(x+1)}}$.


$\mathbf{\text{b)}}$ Factorizamos el numerador:
Sacamos factor común $-1$ para que el término de mayor grado quede positivo:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)}}$
$9-x^2=-(x^2-9)$
$x^2-9$ es una diferencia de cuadrados, con $A=x$ y $B=3$:
$\boxed{{\displaystyle a^2-b^2=(a+b)(a-b)}}$
$x^2-9=(x+3)(x-3)$
En total, el polinomio factorizado queda:
$9-x^2=-(x+3)(x-3)$
Factorizamos el denominador:
Sacamos factor común $x$:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)}}$
$x^2-3x=x(x-3)$
Escribimos la fracción con numerador y denominador factorizados y tachamos los factores comunes (cada factor tachado arriba se empareja con el mismo factor tachado abajo):
${\displaystyle \frac{9-x^2}{x^2-3x}}=-{\displaystyle \frac{(x+3)(x-3)}{x(x-3)}}$
$-{\displaystyle \frac{(x+3)(x-3)}{x(x-3)}}=-{\displaystyle \frac{(x+3)\cancel{(x-3)}}{x\cancel{(x-3)}}}=-{\displaystyle \frac{x+3}{x}}$
Como se han tachado factores del denominador, la simplificación vale para $x\mathrm{\ne }3$ (los valores que anulan lo tachado).
Resultado: $-{\displaystyle \frac{x+3}{x}}$.


$\mathbf{\text{c)}}$ Factorizamos el numerador:
Sacamos factor común $2$:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)}}$
$2x+4=2(x+2)$
Factorizamos el denominador:
Sacamos factor común $2$:
$2x-4=2(x-2)$
Escribimos la fracción con numerador y denominador factorizados y tachamos los factores comunes (cada factor tachado arriba se empareja con el mismo factor tachado abajo):
${\displaystyle \frac{2x+4}{2x-4}}={\displaystyle \frac{2(x+2)}{2(x-2)}}$
${\displaystyle \frac{2(x+2)}{2(x-2)}}={\displaystyle \frac{\cancel{2}(x+2)}{\cancel{2}(x-2)}}={\displaystyle \frac{x+2}{x-2}}$
Resultado: ${\displaystyle \frac{x+2}{x-2}}$.


$\mathbf{\text{d)}}$ Factorizamos el numerador:
Sacamos factor común $x$:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)}}$
$x^3-4x=x(x^2-4)$
$x^2-4$ es una diferencia de cuadrados, con $A=x$ y $B=2$:
$\boxed{{\displaystyle a^2-b^2=(a+b)(a-b)}}$
$x^2-4=(x+2)(x-2)$
En total, el polinomio factorizado queda:
$x^3-4x=x(x+2)(x-2)$
Factorizamos el denominador:
Sacamos factor común $x$:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)}}$
$x^3+x^2-2x=x(x^2+x-2)$
$x^2+x-2$ es un polinomio de segundo grado: se resuelve la ecuación $x^2+x-2=0$ con la fórmula, y cada raíz $x_i$ da un factor $(x-x_i)$:
$x={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}={\displaystyle \frac{-1\pm \sqrt{1^2-4\cdot 1\cdot (-2)}}{2\cdot 1}}={\displaystyle \frac{-1\pm \sqrt{9}}{2}}={\displaystyle \frac{-1\pm 3}{2}}$
Las raíces son $x_1=1$ y $x_2=-2$, así que:
$\boxed{{\displaystyle a{x}^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)}}$
$x^2+x-2=(x-1)(x+2)$
En total, el polinomio factorizado queda:
$x^3+x^2-2x=x(x+2)(x-1)$
Escribimos la fracción con numerador y denominador factorizados y tachamos los factores comunes (cada factor tachado arriba se empareja con el mismo factor tachado abajo):
${\displaystyle \frac{x^3-4x}{x^3+x^2-2x}}={\displaystyle \frac{x(x+2)(x-2)}{x(x+2)(x-1)}}$
Escribimos cada factor separando la parte que se va a tachar:
${\displaystyle \frac{x(x+2)(x-2)}{x(x+2)(x-1)}}={\displaystyle \frac{x(x+2)(x-2)}{x(x+2)(x-1)}}$
${\displaystyle \frac{\cancel{x}\cancel{(x+2)}(x-2)}{\cancel{x}\cancel{(x+2)}(x-1)}}={\displaystyle \frac{x-2}{x-1}}$
Como se han tachado factores del denominador, la simplificación vale para $x\mathrm{\ne }-2$ y $x\mathrm{\ne }0$ (los valores que anulan lo tachado).
Resultado: ${\displaystyle \frac{x-2}{x-1}}$.


$\mathbf{\text{e)}}$ Factorizamos el numerador:
Sacamos factor común $x$:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)}}$
$x^3-16x=x(x^2-16)$
$x^2-16$ es una diferencia de cuadrados, con $A=x$ y $B=4$:
$\boxed{{\displaystyle a^2-b^2=(a+b)(a-b)}}$
$x^2-16=(x+4)(x-4)$
En total, el polinomio factorizado queda:
$x^3-16x=x(x+4)(x-4)$
Factorizamos el denominador:
Sacamos factor común $4x$:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)}}$
$4x^3+32x^2+64x=4x(x^2+8x+16)$
$x^2+8x+16$ es el cuadrado de un binomio, con $A=x$ y $B=4$ (el término central es $2\cdot x\cdot 4=8x$):
$\boxed{{\displaystyle a^2\pm 2ab+b^2=(a\pm b{)}^2}}$
$x^2+8x+16=(x+4{)}^2$
En total, el polinomio factorizado queda:
$4x^3+32x^2+64x=4x(x+4{)}^2$
Escribimos la fracción con numerador y denominador factorizados y tachamos los factores comunes (cada factor tachado arriba se empareja con el mismo factor tachado abajo):
${\displaystyle \frac{x^3-16x}{4x^3+32x^2+64x}}={\displaystyle \frac{x(x+4)(x-4)}{4x(x+4{)}^2}}$
Escribimos cada factor separando la parte que se va a tachar:
${\displaystyle \frac{x(x+4)(x-4)}{4x(x+4{)}^2}}={\displaystyle \frac{x(x+4)(x-4)}{4x(x+4)(x+4)}}$
${\displaystyle \frac{\cancel{x}\cancel{(x+4)}(x-4)}{4\cancel{x}\cancel{(x+4)}(x+4)}}={\displaystyle \frac{x-4}{4(x+4)}}$
Como se han tachado factores del denominador, la simplificación vale para $x\mathrm{\ne }-4$ y $x\mathrm{\ne }0$ (los valores que anulan lo tachado).
Resultado: ${\displaystyle \frac{x-4}{4(x+4)}}$.


$\mathbf{\text{f)}}$ Factorizamos el numerador:
$x^2+2x+1$ es el cuadrado de un binomio, con $A=x$ y $B=1$ (el término central es $2\cdot x\cdot 1=2x$):
$\boxed{{\displaystyle a^2\pm 2ab+b^2=(a\pm b{)}^2}}$
$x^2+2x+1=(x+1{)}^2$
Factorizamos el denominador:
$x^2-1$ es una diferencia de cuadrados, con $A=x$ y $B=1$:
$\boxed{{\displaystyle a^2-b^2=(a+b)(a-b)}}$
$x^2-1=(x+1)(x-1)$
Escribimos la fracción con numerador y denominador factorizados y tachamos los factores comunes (cada factor tachado arriba se empareja con el mismo factor tachado abajo):
${\displaystyle \frac{x^2+2x+1}{x^2-1}}={\displaystyle \frac{(x+1{)}^2}{(x+1)(x-1)}}$
${\displaystyle \frac{(x+1{)}^2}{(x+1)(x-1)}}={\displaystyle \frac{\cancel{(x+1)}(x+1)}{\cancel{(x+1)}(x-1)}}={\displaystyle \frac{x+1}{x-1}}$
Como se han tachado factores del denominador, la simplificación vale para $x\mathrm{\ne }-1$ (los valores que anulan lo tachado).
Resultado: ${\displaystyle \frac{x+1}{x-1}}$.


$\mathbf{\text{g)}}$ Factorizamos el numerador:
Sacamos factor común $3b$:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)}}$
$3b^2-15b=3b(b-5)$
Factorizamos el denominador:
$b^2-10b+25$ es el cuadrado de un binomio, con $A=b$ y $B=5$ (el término central es $2\cdot b\cdot 5=10b$):
$\boxed{{\displaystyle a^2\pm 2ab+b^2=(a\pm b{)}^2}}$
$b^2-10b+25=(b-5{)}^2$
Escribimos la fracción con numerador y denominador factorizados y tachamos los factores comunes (cada factor tachado arriba se empareja con el mismo factor tachado abajo):
${\displaystyle \frac{3b^2-15b}{b^2-10b+25}}={\displaystyle \frac{3b(b-5)}{(b-5{)}^2}}$
${\displaystyle \frac{3b(b-5)}{(b-5{)}^2}}={\displaystyle \frac{3b\cancel{(b-5)}}{\cancel{(b-5)}(b-5)}}={\displaystyle \frac{3b}{b-5}}$
Como se han tachado factores del denominador, la simplificación vale para $b\mathrm{\ne }5$ (los valores que anulan lo tachado).
Resultado: ${\displaystyle \frac{3b}{b-5}}$.