Ejercicio resuelto de Fracciones algebraicas · Matemáticas 4 ESO

Multiplica las siguientes fracciones algebraicas:

a) ${\displaystyle \frac{2x+1}{x^2-4}}\cdot {\displaystyle \frac{x+2}{x-5}}$
b) ${\displaystyle \frac{2x+4}{x^2-9}}\cdot {\displaystyle \frac{x+3}{x+2}}$
c) ${\displaystyle \frac{9x}{3x-3}}\cdot {\displaystyle \frac{x^2-1}{3x^2}}$
d) ${\displaystyle \frac{5x^3}{x+1}}\cdot {\displaystyle \frac{x^2+2x+1}{x^2+x}}$
e) ${\displaystyle \frac{2x^2}{x^2-1}}\cdot {\displaystyle \frac{3x+3}{6x}}$
f) ${\displaystyle \frac{x^2+2x}{x^3-4x}}\cdot {\displaystyle \frac{4x^2-16}{3x+6}}$
g) ${\displaystyle \frac{2x-6}{x^2-4}}\cdot {\displaystyle \frac{x^2+4x+4}{x^2-6x+9}}$

$\mathbf{\text{a)}}$ Multiplicamos los numeradores entre sí y los denominadores entre sí:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{b}}\cdot {\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a\cdot c}{b\cdot d}}}}$
${\displaystyle \frac{2x+1}{x^2-4}}\cdot {\displaystyle \frac{x+2}{x-5}}={\displaystyle \frac{(2x+1)\cdot (x+2)}{(x^2-4)\cdot (x-5)}}$
Factorizamos los polinomios que se puedan descomponer:
$x^2-4$ es una diferencia de cuadrados, con $A=x$ y $B=2$:
$\boxed{{\displaystyle a^2-b^2=(a+b)(a-b)}}$
$x^2-4=(x+2)(x-2)$
Con todo factorizado, tachamos los factores comunes (cada tachado de arriba se empareja con uno de abajo):
${\displaystyle \frac{(2x+1)\cdot (x+2)}{(x^2-4)\cdot (x-5)}}={\displaystyle \frac{(2x+1)(x+2)}{(x+2)(x-2)(x-5)}}$
${\displaystyle \frac{(2x+1)(x+2)}{(x+2)(x-2)(x-5)}}={\displaystyle \frac{(2x+1)\cancel{(x+2)}}{\cancel{(x+2)}(x-2)(x-5)}}={\displaystyle \frac{2x+1}{(x-2)(x-5)}}$
Como se han tachado factores del denominador, la simplificación vale para $x\mathrm{\ne }-2$ (los valores que anulan lo tachado).
Resultado: ${\displaystyle \frac{2x+1}{(x-2)(x-5)}}$.


$\mathbf{\text{b)}}$ Multiplicamos los numeradores entre sí y los denominadores entre sí:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{b}}\cdot {\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a\cdot c}{b\cdot d}}}}$
${\displaystyle \frac{2x+4}{x^2-9}}\cdot {\displaystyle \frac{x+3}{x+2}}={\displaystyle \frac{(2x+4)\cdot (x+3)}{(x^2-9)\cdot (x+2)}}$
Factorizamos los polinomios que se puedan descomponer:
Sacamos factor común $2$:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)}}$
$2x+4=2(x+2)$
$x^2-9$ es una diferencia de cuadrados, con $A=x$ y $B=3$:
$\boxed{{\displaystyle a^2-b^2=(a+b)(a-b)}}$
$x^2-9=(x+3)(x-3)$
Con todo factorizado, tachamos los factores comunes (cada tachado de arriba se empareja con uno de abajo):
${\displaystyle \frac{(2x+4)\cdot (x+3)}{(x^2-9)\cdot (x+2)}}={\displaystyle \frac{2(x+2)(x+3)}{(x+2)(x+3)(x-3)}}$
Escribimos cada factor separando la parte que se va a tachar:
${\displaystyle \frac{2(x+2)(x+3)}{(x+2)(x+3)(x-3)}}={\displaystyle \frac{2(x+2)(x+3)}{(x+2)(x+3)(x-3)}}$
${\displaystyle \frac{2\cancel{(x+2)}\cancel{(x+3)}}{\cancel{(x+2)}\cancel{(x+3)}(x-3)}}={\displaystyle \frac{2}{x-3}}$
Como se han tachado factores del denominador, la simplificación vale para $x\mathrm{\ne }-2$ y $x\mathrm{\ne }-3$ (los valores que anulan lo tachado).
Resultado: ${\displaystyle \frac{2}{x-3}}$.


$\mathbf{\text{c)}}$ Multiplicamos los numeradores entre sí y los denominadores entre sí:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{b}}\cdot {\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a\cdot c}{b\cdot d}}}}$
${\displaystyle \frac{9x}{3x-3}}\cdot {\displaystyle \frac{x^2-1}{3x^2}}={\displaystyle \frac{9x\cdot (x^2-1)}{(3x-3)\cdot 3x^2}}$
Factorizamos los polinomios que se puedan descomponer:
Sacamos factor común $3$:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)}}$
$3x-3=3(x-1)$
$x^2-1$ es una diferencia de cuadrados, con $A=x$ y $B=1$:
$\boxed{{\displaystyle a^2-b^2=(a+b)(a-b)}}$
$x^2-1=(x+1)(x-1)$
Con todo factorizado, tachamos los factores comunes (cada tachado de arriba se empareja con uno de abajo):
${\displaystyle \frac{9x\cdot (x^2-1)}{(3x-3)\cdot 3x^2}}={\displaystyle \frac{9x(x+1)(x-1)}{9x^2(x-1)}}$
Escribimos cada factor separando la parte que se va a tachar:
${\displaystyle \frac{9x(x+1)(x-1)}{9x^2(x-1)}}={\displaystyle \frac{9x(x+1)(x-1)}{9xx(x-1)}}$
${\displaystyle \frac{\cancel{9}\cancel{x}(x+1)\cancel{(x-1)}}{\cancel{9}\cancel{x}x\cancel{(x-1)}}}={\displaystyle \frac{x+1}{x}}$
Como se han tachado factores del denominador, la simplificación vale para $x\mathrm{\ne }0$ y $x\mathrm{\ne }1$ (los valores que anulan lo tachado).
Resultado: ${\displaystyle \frac{x+1}{x}}$.


$\mathbf{\text{d)}}$ Multiplicamos los numeradores entre sí y los denominadores entre sí:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{b}}\cdot {\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a\cdot c}{b\cdot d}}}}$
${\displaystyle \frac{5x^3}{x+1}}\cdot {\displaystyle \frac{x^2+2x+1}{x^2+x}}={\displaystyle \frac{5x^3\cdot (x^2+2x+1)}{(x+1)\cdot (x^2+x)}}$
Factorizamos los polinomios que se puedan descomponer:
$x^2+2x+1$ es el cuadrado de un binomio, con $A=x$ y $B=1$ (el término central es $2\cdot x\cdot 1=2x$):
$\boxed{{\displaystyle a^2\pm 2ab+b^2=(a\pm b{)}^2}}$
$x^2+2x+1=(x+1{)}^2$
Sacamos factor común $x$:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)}}$
$x^2+x=x(x+1)$
Con todo factorizado, tachamos los factores comunes (cada tachado de arriba se empareja con uno de abajo):
${\displaystyle \frac{5x^3\cdot (x^2+2x+1)}{(x+1)\cdot (x^2+x)}}={\displaystyle \frac{5x^3(x+1{)}^2}{x(x+1{)}^2}}$
Escribimos cada factor separando la parte que se va a tachar:
${\displaystyle \frac{5x^3(x+1{)}^2}{x(x+1{)}^2}}={\displaystyle \frac{5x{x}^2(x+1{)}^2}{x(x+1{)}^2}}$
${\displaystyle \frac{5\cancel{x}{x}^2\cancel{(x+1{)}^2}}{\cancel{x}\cancel{(x+1{)}^2}}}=5x^2$
Como se han tachado factores del denominador, la simplificación vale para $x\mathrm{\ne }-1$ y $x\mathrm{\ne }0$ (los valores que anulan lo tachado).
Resultado: $5x^2$.


$\mathbf{\text{e)}}$ Multiplicamos los numeradores entre sí y los denominadores entre sí:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{b}}\cdot {\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a\cdot c}{b\cdot d}}}}$
${\displaystyle \frac{2x^2}{x^2-1}}\cdot {\displaystyle \frac{3x+3}{6x}}={\displaystyle \frac{2x^2\cdot (3x+3)}{(x^2-1)\cdot 6x}}$
Factorizamos los polinomios que se puedan descomponer:
$x^2-1$ es una diferencia de cuadrados, con $A=x$ y $B=1$:
$\boxed{{\displaystyle a^2-b^2=(a+b)(a-b)}}$
$x^2-1=(x+1)(x-1)$
Sacamos factor común $3$:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)}}$
$3x+3=3(x+1)$
Con todo factorizado, tachamos los factores comunes (cada tachado de arriba se empareja con uno de abajo):
${\displaystyle \frac{2x^2\cdot (3x+3)}{(x^2-1)\cdot 6x}}={\displaystyle \frac{6x^2(x+1)}{6x(x+1)(x-1)}}$
Escribimos cada factor separando la parte que se va a tachar:
${\displaystyle \frac{6x^2(x+1)}{6x(x+1)(x-1)}}={\displaystyle \frac{6xx(x+1)}{6x(x+1)(x-1)}}$
${\displaystyle \frac{\cancel{6}\cancel{x}x\cancel{(x+1)}}{\cancel{6}\cancel{x}\cancel{(x+1)}(x-1)}}={\displaystyle \frac{x}{x-1}}$
Como se han tachado factores del denominador, la simplificación vale para $x\mathrm{\ne }-1$ y $x\mathrm{\ne }0$ (los valores que anulan lo tachado).
Resultado: ${\displaystyle \frac{x}{x-1}}$.


$\mathbf{\text{f)}}$ Multiplicamos los numeradores entre sí y los denominadores entre sí:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{b}}\cdot {\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a\cdot c}{b\cdot d}}}}$
${\displaystyle \frac{x^2+2x}{x^3-4x}}\cdot {\displaystyle \frac{4x^2-16}{3x+6}}={\displaystyle \frac{(x^2+2x)\cdot (4x^2-16)}{(x^3-4x)\cdot (3x+6)}}$
Factorizamos los polinomios que se puedan descomponer:
Sacamos factor común $x$:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)}}$
$x^2+2x=x(x+2)$
Sacamos factor común $x$:
$x^3-4x=x(x^2-4)$
$x^2-4$ es una diferencia de cuadrados, con $A=x$ y $B=2$:
$\boxed{{\displaystyle a^2-b^2=(a+b)(a-b)}}$
$x^2-4=(x+2)(x-2)$
En total, el polinomio factorizado queda:
$x^3-4x=x(x+2)(x-2)$
Sacamos factor común $4$:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)}}$
$4x^2-16=4(x^2-4)$
$x^2-4$ es una diferencia de cuadrados, con $A=x$ y $B=2$:
$\boxed{{\displaystyle a^2-b^2=(a+b)(a-b)}}$
$x^2-4=(x+2)(x-2)$
En total, el polinomio factorizado queda:
$4x^2-16=4(x+2)(x-2)$
Sacamos factor común $3$:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)}}$
$3x+6=3(x+2)$
Con todo factorizado, tachamos los factores comunes (cada tachado de arriba se empareja con uno de abajo):
${\displaystyle \frac{(x^2+2x)\cdot (4x^2-16)}{(x^3-4x)\cdot (3x+6)}}={\displaystyle \frac{4x(x+2{)}^2(x-2)}{3x(x+2{)}^2(x-2)}}$
Escribimos cada factor separando la parte que se va a tachar:
${\displaystyle \frac{4x(x+2{)}^2(x-2)}{3x(x+2{)}^2(x-2)}}={\displaystyle \frac{4x(x+2{)}^2(x-2)}{3x(x+2{)}^2(x-2)}}$
${\displaystyle \frac{4\cancel{x}\cancel{(x+2{)}^2}\cancel{(x-2)}}{3\cancel{x}\cancel{(x+2{)}^2}\cancel{(x-2)}}}={\displaystyle \frac{4}{3}}$
Como se han tachado factores del denominador, la simplificación vale para $x\mathrm{\ne }-2$, $x\mathrm{\ne }0$ y $x\mathrm{\ne }2$ (los valores que anulan lo tachado).
Resultado: ${\displaystyle \frac{4}{3}}$.


$\mathbf{\text{g)}}$ Multiplicamos los numeradores entre sí y los denominadores entre sí:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{b}}\cdot {\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a\cdot c}{b\cdot d}}}}$
${\displaystyle \frac{2x-6}{x^2-4}}\cdot {\displaystyle \frac{x^2+4x+4}{x^2-6x+9}}={\displaystyle \frac{(2x-6)\cdot (x^2+4x+4)}{(x^2-4)\cdot (x^2-6x+9)}}$
Factorizamos los polinomios que se puedan descomponer:
Sacamos factor común $2$:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)}}$
$2x-6=2(x-3)$
$x^2-4$ es una diferencia de cuadrados, con $A=x$ y $B=2$:
$\boxed{{\displaystyle a^2-b^2=(a+b)(a-b)}}$
$x^2-4=(x+2)(x-2)$
$x^2+4x+4$ es el cuadrado de un binomio, con $A=x$ y $B=2$ (el término central es $2\cdot x\cdot 2=4x$):
$\boxed{{\displaystyle a^2\pm 2ab+b^2=(a\pm b{)}^2}}$
$x^2+4x+4=(x+2{)}^2$
$x^2-6x+9$ es el cuadrado de un binomio, con $A=x$ y $B=3$ (el término central es $2\cdot x\cdot 3=6x$):
$x^2-6x+9=(x-3{)}^2$
Con todo factorizado, tachamos los factores comunes (cada tachado de arriba se empareja con uno de abajo):
${\displaystyle \frac{(2x-6)\cdot (x^2+4x+4)}{(x^2-4)\cdot (x^2-6x+9)}}={\displaystyle \frac{2(x+2{)}^2(x-3)}{(x+2)(x-2)(x-3{)}^2}}$
Escribimos cada factor separando la parte que se va a tachar:
${\displaystyle \frac{2(x+2{)}^2(x-3)}{(x+2)(x-2)(x-3{)}^2}}={\displaystyle \frac{2(x+2)(x+2)(x-3)}{(x+2)(x-2)(x-3)(x-3)}}$
${\displaystyle \frac{2\cancel{(x+2)}(x+2)\cancel{(x-3)}}{\cancel{(x+2)}(x-2)\cancel{(x-3)}(x-3)}}={\displaystyle \frac{2(x+2)}{(x-2)(x-3)}}$
Como se han tachado factores del denominador, la simplificación vale para $x\mathrm{\ne }-2$ y $x\mathrm{\ne }3$ (los valores que anulan lo tachado).
Resultado: ${\displaystyle \frac{2(x+2)}{(x-2)(x-3)}}$.