Ejercicio resuelto de Fracciones algebraicas · Matemáticas 4 ESO

Utilizando las identidades notables y sacando factor común, simplifica las siguientes fracciones algebraicas:

a) ${\displaystyle \frac{25a^{2}b}{75a{b}^2}}$
b) ${\displaystyle \frac{96m^3{n}^2}{32m^{4}n}}$
c) ${\displaystyle \frac{x^2+xy}{xy+y^2}}$
d) ${\displaystyle \frac{x^2-16}{x^2+8x+16}}$
e) ${\displaystyle \frac{9x^2+30x+25}{6x+10}}$
f) ${\displaystyle \frac{a^2-9}{3a+9}}$
g) ${\displaystyle \frac{m^2-n^2}{2n-2m}}$

$\mathbf{\text{a)}}$ Es un cociente de monomios: se simplifican los coeficientes y, en cada letra, se tacha la potencia común arriba y abajo (equivale a restar los exponentes). Escribimos cada potencia separando la parte que se va a tachar:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a^m}{a^n}}=a^{m-n}}}$
Escribimos cada factor separando la parte que se va a tachar:
${\displaystyle \frac{25a^{2}b}{75a{b}^2}}={\displaystyle \frac{25aab}{25\cdot 3abb}}$
${\displaystyle \frac{\cancel{25}\cancel{a}a\cancel{b}}{\cancel{25}\cdot 3\cancel{a}\cancel{b}b}}={\displaystyle \frac{a}{3b}}$
Como se han tachado factores del denominador, la simplificación vale para $a\mathrm{\ne }0$ y $b\mathrm{\ne }0$ (los valores que anulan lo tachado).
Resultado: ${\displaystyle \frac{a}{3b}}$.


$\mathbf{\text{b)}}$ Es un cociente de monomios: se simplifican los coeficientes y, en cada letra, se tacha la potencia común arriba y abajo (equivale a restar los exponentes). Escribimos cada potencia separando la parte que se va a tachar:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a^m}{a^n}}=a^{m-n}}}$
Escribimos cada factor separando la parte que se va a tachar:
${\displaystyle \frac{96m^3{n}^2}{32m^{4}n}}={\displaystyle \frac{32\cdot 3m^{3}nn}{32m^{3}mn}}$
${\displaystyle \frac{\cancel{32}\cdot 3\cancel{m^3}\cancel{n}n}{\cancel{32}\cancel{m^3}m\cancel{n}}}={\displaystyle \frac{3n}{m}}$
Como se han tachado factores del denominador, la simplificación vale para $m\mathrm{\ne }0$ y $n\mathrm{\ne }0$ (los valores que anulan lo tachado).
Resultado: ${\displaystyle \frac{3n}{m}}$.


$\mathbf{\text{c)}}$ Factorizamos el numerador:
Sacamos factor común $x$:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)}}$
$x^2+xy=x(x+y)$
Factorizamos el denominador:
Sacamos factor común $y$:
$xy+y^2=y(x+y)$
Escribimos la fracción con numerador y denominador factorizados y tachamos los factores comunes (cada factor tachado arriba se empareja con el mismo factor tachado abajo):
${\displaystyle \frac{x^2+xy}{xy+y^2}}={\displaystyle \frac{x(x+y)}{y(x+y)}}$
${\displaystyle \frac{x(x+y)}{y(x+y)}}={\displaystyle \frac{x\cancel{(x+y)}}{y\cancel{(x+y)}}}={\displaystyle \frac{x}{y}}$
Como se han tachado factores del denominador, la simplificación vale para $x\mathrm{\ne }-y$ (los valores que anulan lo tachado).
Resultado: ${\displaystyle \frac{x}{y}}$.


$\mathbf{\text{d)}}$ Factorizamos el numerador:
$x^2-16$ es una diferencia de cuadrados, con $A=x$ y $B=4$:
$\boxed{{\displaystyle a^2-b^2=(a+b)(a-b)}}$
$x^2-16=(x+4)(x-4)$
Factorizamos el denominador:
$x^2+8x+16$ es el cuadrado de un binomio, con $A=x$ y $B=4$ (el término central es $2\cdot x\cdot 4=8x$):
$\boxed{{\displaystyle a^2\pm 2ab+b^2=(a\pm b{)}^2}}$
$x^2+8x+16=(x+4{)}^2$
Escribimos la fracción con numerador y denominador factorizados y tachamos los factores comunes (cada factor tachado arriba se empareja con el mismo factor tachado abajo):
${\displaystyle \frac{x^2-16}{x^2+8x+16}}={\displaystyle \frac{(x+4)(x-4)}{(x+4{)}^2}}$
${\displaystyle \frac{(x+4)(x-4)}{(x+4{)}^2}}={\displaystyle \frac{\cancel{(x+4)}(x-4)}{\cancel{(x+4)}(x+4)}}={\displaystyle \frac{x-4}{x+4}}$
Como se han tachado factores del denominador, la simplificación vale para $x\mathrm{\ne }-4$ (los valores que anulan lo tachado).
Resultado: ${\displaystyle \frac{x-4}{x+4}}$.


$\mathbf{\text{e)}}$ Factorizamos el numerador:
$9x^2+30x+25$ es el cuadrado de un binomio, con $A=3x$ y $B=5$ (el término central es $2\cdot 3x\cdot 5=30x$):
$\boxed{{\displaystyle a^2\pm 2ab+b^2=(a\pm b{)}^2}}$
$9x^2+30x+25=(3x+5{)}^2$
Factorizamos el denominador:
Sacamos factor común $2$:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)}}$
$6x+10=2(3x+5)$
Escribimos la fracción con numerador y denominador factorizados y tachamos los factores comunes (cada factor tachado arriba se empareja con el mismo factor tachado abajo):
${\displaystyle \frac{9x^2+30x+25}{6x+10}}={\displaystyle \frac{(3x+5{)}^2}{2(3x+5)}}$
${\displaystyle \frac{(3x+5{)}^2}{2(3x+5)}}={\displaystyle \frac{\cancel{(3x+5)}(3x+5)}{2\cancel{(3x+5)}}}={\displaystyle \frac{3x+5}{2}}$
Como se han tachado factores del denominador, la simplificación vale para $x\mathrm{\ne }-{\displaystyle \frac{5}{3}}$ (los valores que anulan lo tachado).
Resultado: ${\displaystyle \frac{3x+5}{2}}$.


$\mathbf{\text{f)}}$ Factorizamos el numerador:
$a^2-9$ es una diferencia de cuadrados, con $A=a$ y $B=3$:
$\boxed{{\displaystyle a^2-b^2=(a+b)(a-b)}}$
$a^2-9=(a+3)(a-3)$
Factorizamos el denominador:
Sacamos factor común $3$:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)}}$
$3a+9=3(a+3)$
Escribimos la fracción con numerador y denominador factorizados y tachamos los factores comunes (cada factor tachado arriba se empareja con el mismo factor tachado abajo):
${\displaystyle \frac{a^2-9}{3a+9}}={\displaystyle \frac{(a+3)(a-3)}{3(a+3)}}$
${\displaystyle \frac{(a+3)(a-3)}{3(a+3)}}={\displaystyle \frac{\cancel{(a+3)}(a-3)}{3\cancel{(a+3)}}}={\displaystyle \frac{a-3}{3}}$
Como se han tachado factores del denominador, la simplificación vale para $a\mathrm{\ne }-3$ (los valores que anulan lo tachado).
Resultado: ${\displaystyle \frac{a-3}{3}}$.


$\mathbf{\text{g)}}$ Factorizamos el numerador:
$m^2-n^2$ es una diferencia de cuadrados, con $A=m$ y $B=n$:
$\boxed{{\displaystyle a^2-b^2=(a+b)(a-b)}}$
$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$
Factorizamos el denominador:
Sacamos factor común $-2$ (con el signo, para que el término de mayor grado quede positivo):
$\boxed{{\displaystyle a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)}}$
$2n-2m=-2(m-n)$
Escribimos la fracción con numerador y denominador factorizados y tachamos los factores comunes (cada factor tachado arriba se empareja con el mismo factor tachado abajo):
${\displaystyle \frac{m^2-n^2}{2n-2m}}=-{\displaystyle \frac{(m+n)(m-n)}{2(m-n)}}$
$-{\displaystyle \frac{(m+n)(m-n)}{2(m-n)}}=-{\displaystyle \frac{(m+n)\cancel{(m-n)}}{2\cancel{(m-n)}}}=-{\displaystyle \frac{m+n}{2}}$
Como se han tachado factores del denominador, la simplificación vale para $m\mathrm{\ne }n$ (los valores que anulan lo tachado).
Resultado: $-{\displaystyle \frac{m+n}{2}}$.