Ejercicio resuelto de Fracciones algebraicas · Matemáticas 4 ESO

Simplifica las siguientes fracciones algebraicas:

a) ${\displaystyle \frac{x^2-5x+6}{x^2-2x}}$
b) ${\displaystyle \frac{a^2{x}^2-1}{a^2{x}^2+2ax+1}}$
c) ${\displaystyle \frac{x^2+2ax+a^2}{mx+ma}}$
d) ${\displaystyle \frac{4x^3-4x}{x^6+x^5}}$
e) ${\displaystyle \frac{9x-x^3}{x^3+3x^2}}$
f) ${\displaystyle \frac{x^2-16}{x^2-4x}}$
g) ${\displaystyle \frac{ax+by}{a{x}^2+bxy}}$

$\mathbf{\text{a)}}$ Factorizamos el numerador:
$x^2-5x+6$ es un polinomio de segundo grado: se resuelve la ecuación $x^2-5x+6=0$ con la fórmula, y cada raíz $x_i$ da un factor $(x-x_i)$:
$x={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}={\displaystyle \frac{-(-5)\pm \sqrt{(-5{)}^2-4\cdot 1\cdot 6}}{2\cdot 1}}={\displaystyle \frac{5\pm \sqrt{1}}{2}}={\displaystyle \frac{5\pm 1}{2}}$
Las raíces son $x_1=3$ y $x_2=2$, así que:
$\boxed{{\displaystyle a{x}^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)}}$
$x^2-5x+6=(x-3)(x-2)$
Factorizamos el denominador:
Sacamos factor común $x$:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)}}$
$x^2-2x=x(x-2)$
Escribimos la fracción con numerador y denominador factorizados y tachamos los factores comunes (cada factor tachado arriba se empareja con el mismo factor tachado abajo):
${\displaystyle \frac{x^2-5x+6}{x^2-2x}}={\displaystyle \frac{(x-2)(x-3)}{x(x-2)}}$
${\displaystyle \frac{(x-2)(x-3)}{x(x-2)}}={\displaystyle \frac{\cancel{(x-2)}(x-3)}{x\cancel{(x-2)}}}={\displaystyle \frac{x-3}{x}}$
Como se han tachado factores del denominador, la simplificación vale para $x\mathrm{\ne }2$ (los valores que anulan lo tachado).
Resultado: ${\displaystyle \frac{x-3}{x}}$.


$\mathbf{\text{b)}}$ Factorizamos el numerador:
$a^2{x}^2-1$ es una diferencia de cuadrados, con $A=ax$ y $B=1$:
$\boxed{{\displaystyle a^2-b^2=(a+b)(a-b)}}$
$a^2{x}^2-1=(ax+1)(ax-1)$
$ax-1$ no se puede descomponer más.
$ax+1$ no se puede descomponer más.
Factorizamos el denominador:
$a^2{x}^2+2ax+1$ es el cuadrado de un binomio, con $A=ax$ y $B=1$ (el término central es $2\cdot ax\cdot 1=2ax$):
$\boxed{{\displaystyle a^2\pm 2ab+b^2=(a\pm b{)}^2}}$
$a^2{x}^2+2ax+1=(ax+1{)}^2$
Escribimos la fracción con numerador y denominador factorizados y tachamos los factores comunes (cada factor tachado arriba se empareja con el mismo factor tachado abajo):
${\displaystyle \frac{a^2{x}^2-1}{a^2{x}^2+2ax+1}}={\displaystyle \frac{(ax+1)(ax-1)}{(ax+1{)}^2}}$
${\displaystyle \frac{(ax+1)(ax-1)}{(ax+1{)}^2}}={\displaystyle \frac{\cancel{(ax+1)}(ax-1)}{\cancel{(ax+1)}(ax+1)}}={\displaystyle \frac{ax-1}{ax+1}}$
Como se han tachado factores del denominador, la simplificación vale para $x\mathrm{\ne }-{\displaystyle \frac{1}{a}}$ (los valores que anulan lo tachado).
Resultado: ${\displaystyle \frac{ax-1}{ax+1}}$.


$\mathbf{\text{c)}}$ Factorizamos el numerador:
$x^2+2ax+a^2$ es el cuadrado de un binomio, con $A=a$ y $B=x$ (el término central es $2\cdot a\cdot x=2ax$):
$\boxed{{\displaystyle a^2\pm 2ab+b^2=(a\pm b{)}^2}}$
$x^2+2ax+a^2=(x+a{)}^2$
Factorizamos el denominador:
Sacamos factor común $m$:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)}}$
$mx+ma=m(x+a)$
Escribimos la fracción con numerador y denominador factorizados y tachamos los factores comunes (cada factor tachado arriba se empareja con el mismo factor tachado abajo):
${\displaystyle \frac{x^2+2ax+a^2}{mx+ma}}={\displaystyle \frac{(x+a{)}^2}{m(x+a)}}$
${\displaystyle \frac{(x+a{)}^2}{m(x+a)}}={\displaystyle \frac{\cancel{(x+a)}(x+a)}{m\cancel{(x+a)}}}={\displaystyle \frac{x+a}{m}}$
Como se han tachado factores del denominador, la simplificación vale para $x\mathrm{\ne }-a$ (los valores que anulan lo tachado).
Resultado: ${\displaystyle \frac{x+a}{m}}$.


$\mathbf{\text{d)}}$ Factorizamos el numerador:
Sacamos factor común $4x$:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)}}$
$4x^3-4x=4x(x^2-1)$
$x^2-1$ es una diferencia de cuadrados, con $A=x$ y $B=1$:
$\boxed{{\displaystyle a^2-b^2=(a+b)(a-b)}}$
$x^2-1=(x+1)(x-1)$
En total, el polinomio factorizado queda:
$4x^3-4x=4x(x+1)(x-1)$
Factorizamos el denominador:
Sacamos factor común $x^5$:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)}}$
$x^6+x^5=x^5(x+1)$
Escribimos la fracción con numerador y denominador factorizados y tachamos los factores comunes (cada factor tachado arriba se empareja con el mismo factor tachado abajo):
${\displaystyle \frac{4x^3-4x}{x^6+x^5}}={\displaystyle \frac{4x(x+1)(x-1)}{x^5(x+1)}}$
Escribimos cada factor separando la parte que se va a tachar:
${\displaystyle \frac{4x(x+1)(x-1)}{x^5(x+1)}}={\displaystyle \frac{4x(x+1)(x-1)}{x{x}^4(x+1)}}$
${\displaystyle \frac{4\cancel{x}\cancel{(x+1)}(x-1)}{\cancel{x}{x}^4\cancel{(x+1)}}}={\displaystyle \frac{4(x-1)}{x^4}}$
Como se han tachado factores del denominador, la simplificación vale para $x\mathrm{\ne }-1$ y $x\mathrm{\ne }0$ (los valores que anulan lo tachado).
Resultado: ${\displaystyle \frac{4(x-1)}{x^4}}$.


$\mathbf{\text{e)}}$ Factorizamos el numerador:
Sacamos factor común $-x$ (con el signo, para que el término de mayor grado quede positivo):
$\boxed{{\displaystyle a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)}}$
$9x-x^3=-x(x^2-9)$
$x^2-9$ es una diferencia de cuadrados, con $A=x$ y $B=3$:
$\boxed{{\displaystyle a^2-b^2=(a+b)(a-b)}}$
$x^2-9=(x+3)(x-3)$
En total, el polinomio factorizado queda:
$9x-x^3=-x(x+3)(x-3)$
Factorizamos el denominador:
Sacamos factor común $x^2$:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)}}$
$x^3+3x^2=x^2(x+3)$
Escribimos la fracción con numerador y denominador factorizados y tachamos los factores comunes (cada factor tachado arriba se empareja con el mismo factor tachado abajo):
${\displaystyle \frac{9x-x^3}{x^3+3x^2}}=-{\displaystyle \frac{x(x+3)(x-3)}{x^2(x+3)}}$
$-{\displaystyle \frac{x(x+3)(x-3)}{x^2(x+3)}}=-{\displaystyle \frac{\cancel{x}\cancel{(x+3)}(x-3)}{\cancel{x}x\cancel{(x+3)}}}=-{\displaystyle \frac{x-3}{x}}$
Como se han tachado factores del denominador, la simplificación vale para $x\mathrm{\ne }-3$ y $x\mathrm{\ne }0$ (los valores que anulan lo tachado).
Resultado: $-{\displaystyle \frac{x-3}{x}}$.


$\mathbf{\text{f)}}$ Factorizamos el numerador:
$x^2-16$ es una diferencia de cuadrados, con $A=x$ y $B=4$:
$\boxed{{\displaystyle a^2-b^2=(a+b)(a-b)}}$
$x^2-16=(x+4)(x-4)$
Factorizamos el denominador:
Sacamos factor común $x$:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)}}$
$x^2-4x=x(x-4)$
Escribimos la fracción con numerador y denominador factorizados y tachamos los factores comunes (cada factor tachado arriba se empareja con el mismo factor tachado abajo):
${\displaystyle \frac{x^2-16}{x^2-4x}}={\displaystyle \frac{(x+4)(x-4)}{x(x-4)}}$
${\displaystyle \frac{(x+4)(x-4)}{x(x-4)}}={\displaystyle \frac{(x+4)\cancel{(x-4)}}{x\cancel{(x-4)}}}={\displaystyle \frac{x+4}{x}}$
Como se han tachado factores del denominador, la simplificación vale para $x\mathrm{\ne }4$ (los valores que anulan lo tachado).
Resultado: ${\displaystyle \frac{x+4}{x}}$.


$\mathbf{\text{g)}}$ Factorizamos el numerador:
$ax+by$ no se puede descomponer más.
Factorizamos el denominador:
Sacamos factor común $x$:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)}}$
$a{x}^2+bxy=x(ax+by)$
$ax+by$ no se puede descomponer más.
Escribimos la fracción con numerador y denominador factorizados y tachamos los factores comunes (cada factor tachado arriba se empareja con el mismo factor tachado abajo):
${\displaystyle \frac{ax+by}{a{x}^2+bxy}}={\displaystyle \frac{ax+by}{x(ax+by)}}$
${\displaystyle \frac{ax+by}{x(ax+by)}}={\displaystyle \frac{\cancel{(ax+by)}}{x\cancel{(ax+by)}}}={\displaystyle \frac{1}{x}}$
Como se han tachado factores del denominador, la simplificación vale para $x\mathrm{\ne }-{\displaystyle \frac{by}{a}}$ (los valores que anulan lo tachado).
Resultado: ${\displaystyle \frac{1}{x}}$.