Ejercicio resuelto de Fracciones algebraicas · Matemáticas 4 ESO

Utilizando las identidades notables y sacando factor común, simplifica las siguientes fracciones algebraicas:

a) ${\displaystyle \frac{15a^3{b}^2}{5a{b}^4}}$
b) ${\displaystyle \frac{121a^4{c}^5{d}^7}{11a{c}^5{d}^8}}$
c) ${\displaystyle \frac{7m{n}^4{p}^5}{21m^{3}n{p}^7}}$
d) ${\displaystyle \frac{8a-16b}{24}}$
e) ${\displaystyle \frac{42}{18a+24b}}$
f) ${\displaystyle \frac{14x+21y}{50x+75y}}$
g) ${\displaystyle \frac{27m-36n}{36m-48n}}$
h) ${\displaystyle \frac{x^2-x}{xy-y}}$

$\mathbf{\text{a)}}$ Es un cociente de monomios: se simplifican los coeficientes y, en cada letra, se tacha la potencia común arriba y abajo (equivale a restar los exponentes). Escribimos cada potencia separando la parte que se va a tachar:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a^m}{a^n}}=a^{m-n}}}$
Escribimos cada factor separando la parte que se va a tachar:
${\displaystyle \frac{15a^3{b}^2}{5a{b}^4}}={\displaystyle \frac{5\cdot 3a{a}^2{b}^2}{5a{b}^2{b}^2}}$
${\displaystyle \frac{\cancel{5}\cdot 3\cancel{a}{a}^2\cancel{b^2}}{\cancel{5}\cancel{a}\cancel{b^2}{b}^2}}={\displaystyle \frac{3a^2}{b^2}}$
Como se han tachado factores del denominador, la simplificación vale para $a\mathrm{\ne }0$ y $b\mathrm{\ne }0$ (los valores que anulan lo tachado).
Resultado: ${\displaystyle \frac{3a^2}{b^2}}$.


$\mathbf{\text{b)}}$ Es un cociente de monomios: se simplifican los coeficientes y, en cada letra, se tacha la potencia común arriba y abajo (equivale a restar los exponentes). Escribimos cada potencia separando la parte que se va a tachar:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a^m}{a^n}}=a^{m-n}}}$
Escribimos cada factor separando la parte que se va a tachar:
${\displaystyle \frac{121a^4{c}^5{d}^7}{11a{c}^5{d}^8}}={\displaystyle \frac{11\cdot 11a{a}^3{c}^5{d}^7}{11a{c}^5{d}^{7}d}}$
${\displaystyle \frac{\cancel{11}\cdot 11\cancel{a}{a}^3\cancel{c^5}\cancel{d^7}}{\cancel{11}\cancel{a}\cancel{c^5}\cancel{d^7}d}}={\displaystyle \frac{11a^3}{d}}$
Como se han tachado factores del denominador, la simplificación vale para $a\mathrm{\ne }0$, $c\mathrm{\ne }0$ y $d\mathrm{\ne }0$ (los valores que anulan lo tachado).
Resultado: ${\displaystyle \frac{11a^3}{d}}$.


$\mathbf{\text{c)}}$ Es un cociente de monomios: se simplifican los coeficientes y, en cada letra, se tacha la potencia común arriba y abajo (equivale a restar los exponentes). Escribimos cada potencia separando la parte que se va a tachar:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a^m}{a^n}}=a^{m-n}}}$
Escribimos cada factor separando la parte que se va a tachar:
${\displaystyle \frac{7m{n}^4{p}^5}{21m^{3}n{p}^7}}={\displaystyle \frac{7mn{n}^3{p}^5}{7\cdot 3m{m}^{2}n{p}^5{p}^2}}$
${\displaystyle \frac{\cancel{7}\cancel{m}\cancel{n}{n}^3\cancel{p^5}}{\cancel{7}\cdot 3\cancel{m}{m}^2\cancel{n}\cancel{p^5}{p}^2}}={\displaystyle \frac{n^3}{3m^2{p}^2}}$
Como se han tachado factores del denominador, la simplificación vale para $m\mathrm{\ne }0$, $n\mathrm{\ne }0$ y $p\mathrm{\ne }0$ (los valores que anulan lo tachado).
Resultado: ${\displaystyle \frac{n^3}{3m^2{p}^2}}$.


$\mathbf{\text{d)}}$ Factorizamos el numerador:
Sacamos factor común $8$:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)}}$
$8a-16b=8(a-2b)$
Escribimos la fracción con numerador y denominador factorizados y tachamos los factores comunes (cada factor tachado arriba se empareja con el mismo factor tachado abajo):
${\displaystyle \frac{8a-16b}{24}}={\displaystyle \frac{8(a-2b)}{24}}$
${\displaystyle \frac{8(a-2b)}{24}}={\displaystyle \frac{\cancel{8}(a-2b)}{\cancel{8}\cdot 3}}={\displaystyle \frac{a-2b}{3}}$
Resultado: ${\displaystyle \frac{a-2b}{3}}$.


$\mathbf{\text{e)}}$ Factorizamos el denominador:
Sacamos factor común $6$:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)}}$
$18a+24b=6(3a+4b)$
Escribimos la fracción con numerador y denominador factorizados y tachamos los factores comunes (cada factor tachado arriba se empareja con el mismo factor tachado abajo):
${\displaystyle \frac{42}{18a+24b}}={\displaystyle \frac{42}{6(3a+4b)}}$
${\displaystyle \frac{42}{6(3a+4b)}}={\displaystyle \frac{\cancel{6}\cdot 7}{\cancel{6}(3a+4b)}}={\displaystyle \frac{7}{3a+4b}}$
Resultado: ${\displaystyle \frac{7}{3a+4b}}$.


$\mathbf{\text{f)}}$ Factorizamos el numerador:
Sacamos factor común $7$:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)}}$
$14x+21y=7(2x+3y)$
Factorizamos el denominador:
Sacamos factor común $25$:
$50x+75y=25(2x+3y)$
Escribimos la fracción con numerador y denominador factorizados y tachamos los factores comunes (cada factor tachado arriba se empareja con el mismo factor tachado abajo):
${\displaystyle \frac{14x+21y}{50x+75y}}={\displaystyle \frac{7(2x+3y)}{25(2x+3y)}}$
${\displaystyle \frac{7(2x+3y)}{25(2x+3y)}}={\displaystyle \frac{7\cancel{(2x+3y)}}{25\cancel{(2x+3y)}}}={\displaystyle \frac{7}{25}}$
Como se han tachado factores del denominador, la simplificación vale para $x\mathrm{\ne }-{\displaystyle \frac{3y}{2}}$ (los valores que anulan lo tachado).
Resultado: ${\displaystyle \frac{7}{25}}$.


$\mathbf{\text{g)}}$ Factorizamos el numerador:
Sacamos factor común $9$:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)}}$
$27m-36n=9(3m-4n)$
Factorizamos el denominador:
Sacamos factor común $12$:
$36m-48n=12(3m-4n)$
Escribimos la fracción con numerador y denominador factorizados y tachamos los factores comunes (cada factor tachado arriba se empareja con el mismo factor tachado abajo):
${\displaystyle \frac{27m-36n}{36m-48n}}={\displaystyle \frac{9(3m-4n)}{12(3m-4n)}}$
${\displaystyle \frac{9(3m-4n)}{12(3m-4n)}}={\displaystyle \frac{\cancel{3}\cdot 3\cancel{(3m-4n)}}{\cancel{3}\cdot 4\cancel{(3m-4n)}}}={\displaystyle \frac{3}{4}}$
Como se han tachado factores del denominador, la simplificación vale para $m\mathrm{\ne }{\displaystyle \frac{4n}{3}}$ (los valores que anulan lo tachado).
Resultado: ${\displaystyle \frac{3}{4}}$.


$\mathbf{\text{h)}}$ Factorizamos el numerador:
Sacamos factor común $x$:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)}}$
$x^2-x=x(x-1)$
Factorizamos el denominador:
Sacamos factor común $y$:
$xy-y=y(x-1)$
Escribimos la fracción con numerador y denominador factorizados y tachamos los factores comunes (cada factor tachado arriba se empareja con el mismo factor tachado abajo):
${\displaystyle \frac{x^2-x}{xy-y}}={\displaystyle \frac{x(x-1)}{y(x-1)}}$
${\displaystyle \frac{x(x-1)}{y(x-1)}}={\displaystyle \frac{x\cancel{(x-1)}}{y\cancel{(x-1)}}}={\displaystyle \frac{x}{y}}$
Como se han tachado factores del denominador, la simplificación vale para $x\mathrm{\ne }1$ (los valores que anulan lo tachado).
Resultado: ${\displaystyle \frac{x}{y}}$.