Ejercicio resuelto de Fracciones algebraicas · Matemáticas 4 ESO

Opera, simplifica si es posible y desarrolla el resultado:

a) ${\displaystyle \frac{x^2+2x-3}{x-1}}+{\displaystyle \frac{3x+1}{2x}}-{\displaystyle \frac{x^2-2x+1}{3x}}$
b) ${\displaystyle \frac{x-1}{x-1}}+{\displaystyle \frac{x-1}{x+3}}-{\displaystyle \frac{x-3}{x+1}}$
c) ${\displaystyle \frac{x-2}{x^2-1}}+{\displaystyle \frac{2x}{x+1}}-{\displaystyle \frac{3}{{(x-1)}^2}}$
d) ${\displaystyle \frac{x^2-1}{x+2}}+{\displaystyle \frac{3x-3}{x+3}}-{\displaystyle \frac{x-3}{x^2+5x+6}}$
e) ${\displaystyle \frac{x-2}{x+1}}-{\displaystyle \frac{x-1}{x+3}}+{\displaystyle \frac{x+2}{x+1}}$

$\mathbf{\text{a)}}$ Antes de sumar, la fracción ${\displaystyle \frac{x^2+2x-3}{x-1}}$ se puede simplificar:
$x^2+2x-3$ es un polinomio de segundo grado: se resuelve la ecuación $x^2+2x-3=0$ con la fórmula, y cada raíz $x_i$ da un factor $(x-x_i)$:
$x={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}={\displaystyle \frac{-2\pm \sqrt{2^2-4\cdot 1\cdot (-3)}}{2\cdot 1}}={\displaystyle \frac{-2\pm \sqrt{16}}{2}}={\displaystyle \frac{-2\pm 4}{2}}$
Las raíces son $x_1=1$ y $x_2=-3$, así que:
$\boxed{{\displaystyle a{x}^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)}}$
$x^2+2x-3=(x-1)(x+3)$
${\displaystyle \frac{x^2+2x-3}{x-1}}={\displaystyle \frac{(x+3)(x-1)}{x-1}}$
${\displaystyle \frac{(x+3)(x-1)}{x-1}}={\displaystyle \frac{(x+3)\cancel{(x-1)}}{\cancel{(x-1)}}}=x+3$
El mínimo común múltiplo de los denominadores se forma con todos los factores distintos, cada uno elevado al mayor exponente con el que aparece: $\text{mcm}=6x$. Ese es el denominador común.
Reducimos cada fracción a ese denominador, multiplicando arriba y abajo por lo que le falta:
$x+3={\displaystyle \frac{(x+3)\cdot 6x}{6x}}$
${\displaystyle \frac{3x+1}{2x}}={\displaystyle \frac{(3x+1)\cdot 3}{6x}}$
${\displaystyle \frac{x^2-2x+1}{3x}}={\displaystyle \frac{(x^2-2x+1)\cdot 2}{6x}}$
Sumamos y restamos los numeradores sobre el denominador común y operamos:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{b}}\pm {\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a\cdot d\pm c\cdot b}{b\cdot d}}}}$
${\displaystyle \frac{(x+3)\cdot 6x+(3x+1)\cdot 3-(x^2-2x+1)\cdot 2}{6x}}={\displaystyle \frac{(6x^2+18x)+(9x+3)-(2x^2-4x+2)}{6x}}$
${\displaystyle \frac{(6x^2+18x)+(9x+3)-(2x^2-4x+2)}{6x}}={\displaystyle \frac{4x^2+31x+1}{6x}}$
El numerador $4x^2+31x+1$ no comparte ningún factor con el denominador, así que la fracción ya está simplificada.
Como se han tachado factores del denominador, la simplificación vale para $x\mathrm{\ne }1$ (los valores que anulan lo tachado).
Resultado: ${\displaystyle \frac{4x^2+31x+1}{6x}}$.


$\mathbf{\text{b)}}$ Antes de sumar, la fracción ${\displaystyle \frac{x-1}{x-1}}$ se puede simplificar:
${\displaystyle \frac{x-1}{x-1}}={\displaystyle \frac{\cancel{(x-1)}}{\cancel{(x-1)}}}=1$
El mínimo común múltiplo de los denominadores se forma con todos los factores distintos, cada uno elevado al mayor exponente con el que aparece: $\text{mcm}=(x+1)(x+3)$. Ese es el denominador común.
Reducimos cada fracción a ese denominador, multiplicando arriba y abajo por lo que le falta:
$1={\displaystyle \frac{1\cdot (x+1)(x+3)}{(x+1)(x+3)}}$
${\displaystyle \frac{x-1}{x+3}}={\displaystyle \frac{(x-1)\cdot (x+1)}{(x+1)(x+3)}}$
${\displaystyle \frac{x-3}{x+1}}={\displaystyle \frac{(x-3)\cdot (x+3)}{(x+1)(x+3)}}$
Sumamos y restamos los numeradores sobre el denominador común y operamos:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{b}}\pm {\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a\cdot d\pm c\cdot b}{b\cdot d}}}}$
${\displaystyle \frac{1\cdot (x+1)(x+3)+(x-1)\cdot (x+1)-(x-3)\cdot (x+3)}{(x+1)(x+3)}}={\displaystyle \frac{(x^2+4x+3)+(x^2-1)-(x^2-9)}{(x+1)(x+3)}}$
${\displaystyle \frac{(x^2+4x+3)+(x^2-1)-(x^2-9)}{(x+1)(x+3)}}={\displaystyle \frac{x^2+4x+11}{(x+1)(x+3)}}$
El numerador $x^2+4x+11$ no comparte ningún factor con el denominador, así que la fracción ya está simplificada.
Como se han tachado factores del denominador, la simplificación vale para $x\mathrm{\ne }1$ (los valores que anulan lo tachado).
Desarrollamos numerador y denominador para dar el resultado como pide el enunciado:
${\displaystyle \frac{x^2+4x+11}{(x+1)(x+3)}}={\displaystyle \frac{x^2+4x+11}{x^2+4x+3}}$
Resultado: ${\displaystyle \frac{x^2+4x+11}{x^2+4x+3}}$.


$\mathbf{\text{c)}}$ Para sumar o restar hace falta un denominador común, así que factorizamos los denominadores:
$x^2-1$ es una diferencia de cuadrados, con $A=x$ y $B=1$:
$\boxed{{\displaystyle a^2-b^2=(a+b)(a-b)}}$
$x^2-1=(x+1)(x-1)$
El mínimo común múltiplo de los denominadores se forma con todos los factores distintos, cada uno elevado al mayor exponente con el que aparece: $\text{mcm}=(x+1)(x-1{)}^2$. Ese es el denominador común.
Reducimos cada fracción a ese denominador, multiplicando arriba y abajo por lo que le falta:
${\displaystyle \frac{x-2}{(x+1)(x-1)}}={\displaystyle \frac{(x-2)\cdot (x-1)}{(x+1)(x-1{)}^2}}$
${\displaystyle \frac{2x}{x+1}}={\displaystyle \frac{2x\cdot (x-1{)}^2}{(x+1)(x-1{)}^2}}$
${\displaystyle \frac{3}{(x-1{)}^2}}={\displaystyle \frac{3\cdot (x+1)}{(x+1)(x-1{)}^2}}$
Sumamos y restamos los numeradores sobre el denominador común y operamos:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{b}}\pm {\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a\cdot d\pm c\cdot b}{b\cdot d}}}}$
${\displaystyle \frac{(x-2)\cdot (x-1)+2x\cdot (x-1{)}^2-3\cdot (x+1)}{(x+1)(x-1{)}^2}}={\displaystyle \frac{(x^2-3x+2)+(2x^3-4x^2+2x)-(3x+3)}{(x+1)(x-1{)}^2}}$
${\displaystyle \frac{(x^2-3x+2)+(2x^3-4x^2+2x)-(3x+3)}{(x+1)(x-1{)}^2}}={\displaystyle \frac{2x^3-3x^2-4x-1}{(x+1)(x-1{)}^2}}$
El numerador $2x^3-3x^2-4x-1$ no comparte ningún factor con el denominador, así que la fracción ya está simplificada.
Desarrollamos numerador y denominador para dar el resultado como pide el enunciado:
${\displaystyle \frac{2x^3-3x^2-4x-1}{(x+1)(x-1{)}^2}}={\displaystyle \frac{2x^3-3x^2-4x-1}{x^3-x^2-x+1}}$
Resultado: ${\displaystyle \frac{2x^3-3x^2-4x-1}{x^3-x^2-x+1}}$.


$\mathbf{\text{d)}}$ Para sumar o restar hace falta un denominador común, así que factorizamos los denominadores:
$x^2+5x+6$ es un polinomio de segundo grado: se resuelve la ecuación $x^2+5x+6=0$ con la fórmula, y cada raíz $x_i$ da un factor $(x-x_i)$:
$x={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}={\displaystyle \frac{-5\pm \sqrt{5^2-4\cdot 1\cdot 6}}{2\cdot 1}}={\displaystyle \frac{-5\pm \sqrt{1}}{2}}={\displaystyle \frac{-5\pm 1}{2}}$
Las raíces son $x_1=-2$ y $x_2=-3$, así que:
$\boxed{{\displaystyle a{x}^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)}}$
$x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$
El mínimo común múltiplo de los denominadores se forma con todos los factores distintos, cada uno elevado al mayor exponente con el que aparece: $\text{mcm}=(x+2)(x+3)$. Ese es el denominador común.
Reducimos cada fracción a ese denominador, multiplicando arriba y abajo por lo que le falta:
${\displaystyle \frac{x^2-1}{x+2}}={\displaystyle \frac{(x^2-1)\cdot (x+3)}{(x+2)(x+3)}}$
${\displaystyle \frac{3x-3}{x+3}}={\displaystyle \frac{(3x-3)\cdot (x+2)}{(x+2)(x+3)}}$
${\displaystyle \frac{x-3}{x^2+5x+6}}$ ya tiene el denominador común.
Sumamos y restamos los numeradores sobre el denominador común y operamos:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{b}}\pm {\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a\cdot d\pm c\cdot b}{b\cdot d}}}}$
${\displaystyle \frac{(x^2-1)\cdot (x+3)+(3x-3)\cdot (x+2)-(x-3)}{(x+2)(x+3)}}={\displaystyle \frac{(x^3+3x^2-x-3)+(3x^2+3x-6)-(x-3)}{(x+2)(x+3)}}$
${\displaystyle \frac{(x^3+3x^2-x-3)+(3x^2+3x-6)-(x-3)}{(x+2)(x+3)}}={\displaystyle \frac{x^3+6x^2+x-6}{(x+2)(x+3)}}$
El numerador $x^3+6x^2+x-6$ no comparte ningún factor con el denominador, así que la fracción ya está simplificada.
Desarrollamos numerador y denominador para dar el resultado como pide el enunciado:
${\displaystyle \frac{x^3+6x^2+x-6}{(x+2)(x+3)}}={\displaystyle \frac{x^3+6x^2+x-6}{x^2+5x+6}}$
Resultado: ${\displaystyle \frac{x^3+6x^2+x-6}{x^2+5x+6}}$.


$\mathbf{\text{e)}}$ El mínimo común múltiplo de los denominadores se forma con todos los factores distintos, cada uno elevado al mayor exponente con el que aparece: $\text{mcm}=(x+1)(x+3)$. Ese es el denominador común.
Reducimos cada fracción a ese denominador, multiplicando arriba y abajo por lo que le falta:
${\displaystyle \frac{x-2}{x+1}}={\displaystyle \frac{(x-2)\cdot (x+3)}{(x+1)(x+3)}}$
${\displaystyle \frac{x-1}{x+3}}={\displaystyle \frac{(x-1)\cdot (x+1)}{(x+1)(x+3)}}$
${\displaystyle \frac{x+2}{x+1}}={\displaystyle \frac{(x+2)\cdot (x+3)}{(x+1)(x+3)}}$
Sumamos y restamos los numeradores sobre el denominador común y operamos:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{b}}\pm {\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a\cdot d\pm c\cdot b}{b\cdot d}}}}$
${\displaystyle \frac{(x-2)\cdot (x+3)-(x-1)\cdot (x+1)+(x+2)\cdot (x+3)}{(x+1)(x+3)}}={\displaystyle \frac{(x^2+x-6)-(x^2-1)+(x^2+5x+6)}{(x+1)(x+3)}}$
${\displaystyle \frac{(x^2+x-6)-(x^2-1)+(x^2+5x+6)}{(x+1)(x+3)}}={\displaystyle \frac{x^2+6x+1}{(x+1)(x+3)}}$
El numerador $x^2+6x+1$ no comparte ningún factor con el denominador, así que la fracción ya está simplificada.
Desarrollamos numerador y denominador para dar el resultado como pide el enunciado:
${\displaystyle \frac{x^2+6x+1}{(x+1)(x+3)}}={\displaystyle \frac{x^2+6x+1}{x^2+4x+3}}$
Resultado: ${\displaystyle \frac{x^2+6x+1}{x^2+4x+3}}$.