Ejercicio resuelto de Fracciones algebraicas · Matemáticas 4 ESO

Haz las operaciones indicadas y simplifica:

a) ${\displaystyle \frac{x^2-4}{a^2-b^2}}:{\displaystyle \frac{x-2}{a+b}}$
b) ${\displaystyle \frac{2y}{y-1}}-{\displaystyle \frac{y-1}{3y}}-{\displaystyle \frac{3-y}{y}}$
c) ${\displaystyle \frac{y}{y-2}}-{\displaystyle \frac{y}{y^2-3y+2}}-{\displaystyle \frac{y}{y-1}}$
d) ${\displaystyle \frac{2a^2-4ab+2b^2}{3x-6}}:{\displaystyle \frac{a-b}{4x-8}}$

$\mathbf{\text{a)}}$ Para dividir, multiplicamos en cruz: el numerador de la primera por el denominador de la segunda, y el denominador de la primera por el numerador de la segunda:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{b}}:{\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a\cdot d}{b\cdot c}}}}$
${\displaystyle \frac{x^2-4}{a^2-b^2}}:{\displaystyle \frac{x-2}{a+b}}={\displaystyle \frac{(x^2-4)\cdot (a+b)}{(a^2-b^2)\cdot (x-2)}}$
Factorizamos los polinomios que se puedan descomponer:
$x^2-4$ es una diferencia de cuadrados, con $A=x$ y $B=2$:
$\boxed{{\displaystyle a^2-b^2=(a+b)(a-b)}}$
$x^2-4=(x+2)(x-2)$
$a^2-b^2$ es una diferencia de cuadrados, con $A=a$ y $B=b$:
$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
Con todo factorizado, tachamos los factores comunes (cada tachado de arriba se empareja con uno de abajo):
${\displaystyle \frac{(x^2-4)\cdot (a+b)}{(a^2-b^2)\cdot (x-2)}}={\displaystyle \frac{(a+b)(x+2)(x-2)}{(a+b)(a-b)(x-2)}}$
Escribimos cada factor separando la parte que se va a tachar:
${\displaystyle \frac{(a+b)(x+2)(x-2)}{(a+b)(a-b)(x-2)}}={\displaystyle \frac{(a+b)(x+2)(x-2)}{(a+b)(a-b)(x-2)}}$
${\displaystyle \frac{\cancel{(a+b)}(x+2)\cancel{(x-2)}}{\cancel{(a+b)}(a-b)\cancel{(x-2)}}}={\displaystyle \frac{x+2}{a-b}}$
Como se han tachado factores del denominador, la simplificación vale para $x\mathrm{\ne }2$ y $a\mathrm{\ne }-b$ (los valores que anulan lo tachado).
Resultado: ${\displaystyle \frac{x+2}{a-b}}$.


$\mathbf{\text{b)}}$ El mínimo común múltiplo de los denominadores se forma con todos los factores distintos, cada uno elevado al mayor exponente con el que aparece: $\text{mcm}=3y(y-1)$. Ese es el denominador común.
Reducimos cada fracción a ese denominador, multiplicando arriba y abajo por lo que le falta:
${\displaystyle \frac{2y}{y-1}}={\displaystyle \frac{2y\cdot 3y}{3y(y-1)}}$
${\displaystyle \frac{y-1}{3y}}={\displaystyle \frac{(y-1)\cdot (y-1)}{3y(y-1)}}$
${\displaystyle \frac{3-y}{y}}={\displaystyle \frac{(3-y)\cdot 3(y-1)}{3y(y-1)}}$
Sumamos y restamos los numeradores sobre el denominador común y operamos:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{b}}\pm {\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a\cdot d\pm c\cdot b}{b\cdot d}}}}$
${\displaystyle \frac{2y\cdot 3y-(y-1)\cdot (y-1)-(3-y)\cdot 3(y-1)}{3y(y-1)}}={\displaystyle \frac{6y^2-(y^2-2y+1)-(-3y^2+12y-9)}{3y(y-1)}}$
${\displaystyle \frac{6y^2-(y^2-2y+1)-(-3y^2+12y-9)}{3y(y-1)}}={\displaystyle \frac{8y^2-10y+8}{3y(y-1)}}$
El numerador $8y^2-10y+8$ no comparte ningún factor con el denominador, así que la fracción ya está simplificada.
Resultado: ${\displaystyle \frac{8y^2-10y+8}{3y(y-1)}}$.


$\mathbf{\text{c)}}$ Para sumar o restar hace falta un denominador común, así que factorizamos los denominadores:
$y^2-3y+2$ es un polinomio de segundo grado: se resuelve la ecuación $y^2-3y+2=0$ con la fórmula, y cada raíz $y_i$ da un factor $(y-y_i)$:
$y={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}={\displaystyle \frac{-(-3)\pm \sqrt{(-3{)}^2-4\cdot 1\cdot 2}}{2\cdot 1}}={\displaystyle \frac{3\pm \sqrt{1}}{2}}={\displaystyle \frac{3\pm 1}{2}}$
Las raíces son $y_1=2$ y $y_2=1$, así que:
$\boxed{{\displaystyle a{x}^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)}}$
$y^2-3y+2=(y-2)(y-1)$
El mínimo común múltiplo de los denominadores se forma con todos los factores distintos, cada uno elevado al mayor exponente con el que aparece: $\text{mcm}=(y-1)(y-2)$. Ese es el denominador común.
Reducimos cada fracción a ese denominador, multiplicando arriba y abajo por lo que le falta:
${\displaystyle \frac{y}{y-2}}={\displaystyle \frac{y\cdot (y-1)}{(y-1)(y-2)}}$
${\displaystyle \frac{y}{y^2-3y+2}}$ ya tiene el denominador común.
${\displaystyle \frac{y}{y-1}}={\displaystyle \frac{y\cdot (y-2)}{(y-1)(y-2)}}$
Sumamos y restamos los numeradores sobre el denominador común y operamos:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{b}}\pm {\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a\cdot d\pm c\cdot b}{b\cdot d}}}}$
${\displaystyle \frac{y\cdot (y-1)-y-y\cdot (y-2)}{(y-1)(y-2)}}={\displaystyle \frac{(y^2-y)-y-(y^2-2y)}{(y-1)(y-2)}}$
${\displaystyle \frac{(y^2-y)-y-(y^2-2y)}{(y-1)(y-2)}}={\displaystyle \frac{0}{(y-1)(y-2)}}$
El numerador se anula, así que el resultado es 0.
Resultado: $0$.


$\mathbf{\text{d)}}$ Para dividir, multiplicamos en cruz: el numerador de la primera por el denominador de la segunda, y el denominador de la primera por el numerador de la segunda:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{b}}:{\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a\cdot d}{b\cdot c}}}}$
${\displaystyle \frac{2a^2-4ab+2b^2}{3x-6}}:{\displaystyle \frac{a-b}{4x-8}}={\displaystyle \frac{(2a^2-4ab+2b^2)\cdot (4x-8)}{(3x-6)\cdot (a-b)}}$
Factorizamos los polinomios que se puedan descomponer:
Sacamos factor común $2$:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)}}$
$2a^2-4ab+2b^2=2(a^2-2ab+b^2)$
$a^2-2ab+b^2$ es el cuadrado de un binomio, con $A=a$ y $B=b$ (el término central es $2\cdot a\cdot b=2ab$):
$\boxed{{\displaystyle a^2\pm 2ab+b^2=(a\pm b{)}^2}}$
$a^2-2ab+b^2=(a-b{)}^2$
En total, el polinomio factorizado queda:
$2a^2-4ab+2b^2=2(a-b{)}^2$
Sacamos factor común $3$:
$\boxed{{\displaystyle a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)}}$
$3x-6=3(x-2)$
Sacamos factor común $4$:
$4x-8=4(x-2)$
Con todo factorizado, tachamos los factores comunes (cada tachado de arriba se empareja con uno de abajo):
${\displaystyle \frac{(2a^2-4ab+2b^2)\cdot (4x-8)}{(3x-6)\cdot (a-b)}}={\displaystyle \frac{8(a-b{)}^2(x-2)}{3(a-b)(x-2)}}$
Escribimos cada factor separando la parte que se va a tachar:
${\displaystyle \frac{8(a-b{)}^2(x-2)}{3(a-b)(x-2)}}={\displaystyle \frac{8(a-b)(a-b)(x-2)}{3(a-b)(x-2)}}$
${\displaystyle \frac{8\cancel{(a-b)}(a-b)\cancel{(x-2)}}{3\cancel{(a-b)}\cancel{(x-2)}}}={\displaystyle \frac{8(a-b)}{3}}$
Como se han tachado factores del denominador, la simplificación vale para $x\mathrm{\ne }2$ y $a\mathrm{\ne }b$ (los valores que anulan lo tachado).
Resultado: ${\displaystyle \frac{8(a-b)}{3}}$.