Ejercicio resuelto de Volúmenes · Matemáticas II · 2026

Se consideran el punto $P(1,2,1)$ y el plano de ecuación $2x-2y+z=1$. Se traza un cubo con una cara en el plano y un vértice en el punto $P$.

a) Determine la longitud del lado de dicho cubo y su volumen. [1 punto]

b) Halle otro vértice del cubo. [1 punto]

$\textbf{a) (1 punto) Determine la longitud del lado del cubo y su volumen.}$










El cubo tiene una cara entera apoyada en el plano y el vértice $P$ fuera de él. Ese vértice es el opuesto a su proyección sobre la cara apoyada, y la arista que los une es perpendicular al plano, luego su longitud es exactamente la distancia de $P$ al plano.

$\ell=d(P,\pi)=\dfrac{\left|2x_0-2y_0+z_0-1\right|}{\sqrt{2^{2}+(-2)^{2}+1^{2}}}$





$\ell=\dfrac{|2\cdot 1-2\cdot 2+1-1|}{\sqrt{9}}=\dfrac{|-2|}{3}=\dfrac{2}{3}$

$V=\ell^{3}=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{3}=\dfrac{8}{27}$

El lado del cubo mide $\frac{2}{3}$ unidades y su volumen es $\frac{8}{27}$ unidades cúbicas.

$\textbf{b) (1 punto) Halle otro vértice del cubo.}$

El vértice más fácil de localizar es precisamente el pie de esa arista, es decir, la proyección ortogonal de $P$ sobre el plano: está en el plano y a distancia $\ell$ de $P$, luego es un vértice de la cara apoyada.

Se traza la recta que pasa por $P$ con la dirección del vector normal del plano, $\vec n=(2,-2,1)$:

$\left\{\begin{array}{l} x=1+2t \\ y=2-2t \\ z=1+t \end{array}\right.$

Se sustituye en la ecuación del plano para hallar el valor del parámetro en el punto de corte:

$2(1+2t)-2(2-2t)+(1+t)=1\;\Rightarrow\;9t-1=1\;\Rightarrow\;t=\dfrac{2}{9}$

$P'=\left(1+\dfrac{4}{9},\;2-\dfrac{4}{9},\;1+\dfrac{2}{9}\right)=\left(\dfrac{13}{9},\;\dfrac{14}{9},\;\dfrac{11}{9}\right)$

Otro vértice del cubo es $P'\left(\frac{13}{9},\frac{14}{9},\frac{11}{9}\right)$. Se comprueba que la distancia $\overline{PP'}$ vale $\frac{2}{3}$, la arista calculada en el apartado anterior.