Ejercicio resuelto de Volúmenes · Matemáticas II · 2023

Calcule el volumen del tetraedro que limita el plano determinado por los puntos $A(0, 2, -2)$, $B(3, 2, 1)$ y $C(2, 3, 2)$ con los planos cartesianos. [2,5 puntos]

$\textbf{Calcule el volumen del tetraedro que limita el plano determinado por los puntos } \boldsymbol{A(0, 2, -2)}\textbf{, } \boldsymbol{B(3, 2, 1)}\textbf{ y } \boldsymbol{C(2, 3, 2)}\textbf{ con los planos cartesianos. [2,5 puntos]}$

El procedimiento tiene tres fases: i) se obtiene la ecuación del plano que determinan los tres puntos; ii) se calculan sus cortes con los ejes, que junto con el origen son los cuatro vértices del tetraedro; iii) se aplica la fórmula del volumen mediante el producto mixto.

i) Un vector normal al plano es el producto vectorial de dos vectores contenidos en él.

$\overrightarrow{AB}=(3,0,3);\qquad \overrightarrow{AC}=(2,1,4)$

$\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\begin{vmatrix}\vec i & \vec j & \vec k\\ 3 & 0 & 3\\ 2 & 1 & 4\end{vmatrix}=(-3,-6,3)$

Dividimos entre $-3$ para trabajar con el normal más sencillo, $(1,2,-1)$:

$\pi: x+2y-z+D=0;\quad 0+4+2+D=0\Rightarrow D=-6$

$\pi: x+2y-z-6=0$

ii) Cortamos con cada eje anulando las otras dos coordenadas:

$y=z=0\Rightarrow x=6;\qquad x=z=0\Rightarrow y=3;\qquad x=y=0\Rightarrow z=-6$











Los cuatro vértices del tetraedro son, pues, el origen $O(0,0,0)$ y los puntos $(6,0,0)$, $(0,3,0)$ y $(0,0,-6)$.

iii) El volumen es la sexta parte del valor absoluto del producto mixto de los tres vectores que parten del origen.





$V=\dfrac{1}{6}\left|\begin{vmatrix}6 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0\\ 0 & 0 & -6\end{vmatrix}\right|=\dfrac{1}{6}\left|6\cdot3\cdot(-6)\right|$

$V=\dfrac{108}{6}=18$

El volumen del tetraedro que el plano limita con los planos cartesianos es de $18$ unidades cúbicas.