Ejercicio resuelto de Volúmenes · Matemáticas II · 2021

Sean los puntos $A(0,\,0,\,1)$, $B(2,\,1,\,0)$, $C(1,\,1,\,1)$ y $D(1,\,1,\,2)$.

a) [1,25 puntos] Calcule razonadamente el volumen del tetraedro de vértices $A$, $B$, $C$ y $D$.

b) [1,25 puntos] Calcule razonadamente la ecuación del plano que pasa por los puntos $A$, $B$ y $C$, y la de la recta perpendicular a este plano y que pasa por el punto $D$.

$\textbf{a) [1,25 puntos] Calcule razonadamente el volumen del tetraedro de vértices } \boldsymbol{A}\textbf{, } \boldsymbol{B}\textbf{, } \boldsymbol{C}\textbf{ y } \boldsymbol{D}\textbf{.}$











El volumen de un tetraedro es la sexta parte del valor absoluto del producto mixto de las tres aristas que concurren en un vértice. Las tomamos desde $A$.

$\overrightarrow{AB}=(2,1,-1)$

$\overrightarrow{AC}=(1,1,0)$

$\overrightarrow{AD}=(1,1,1)$





$\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\right]=\begin{vmatrix}2&1&-1\\1&1&0\\1&1&1\end{vmatrix}=2+0-1+1-0-1=1$

$V=\dfrac{1}{6}\left|\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\right]\right|=\dfrac{1}{6}$

El volumen del tetraedro es $\dfrac{1}{6}\approx0{,}1667$ unidades cúbicas. Al ser el producto mixto distinto de cero, los cuatro puntos no son coplanarios y el tetraedro existe realmente.

$\textbf{b) [1,25 puntos] Calcule razonadamente la ecuación del plano que pasa por los puntos } \boldsymbol{A}\textbf{, } \boldsymbol{B}\textbf{ y } \boldsymbol{C}\textbf{, y la de la recta perpendicular a este plano y que pasa por el punto } \boldsymbol{D}\textbf{.}$

Un vector normal del plano que pasa por $A$, $B$ y $C$ es el producto vectorial de dos de sus vectores directores, que ya tenemos calculados.

$\vec n_{\pi}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\2&1&-1\\1&1&0\end{vmatrix}=(1,-1,1)$

$\pi:x-y+z+D=0$

Imponemos que $A(0,0,1)\in\pi$:

$0-0+1+D=0\Rightarrow D=-1\Rightarrow \pi:x-y+z-1=0$

La recta perpendicular a $\pi$ por $D(1,1,2)$ tiene como vector director el vector normal del plano.

$s:\begin{cases}x=1+\lambda\\ y=1-\lambda\\ z=2+\lambda\end{cases},\quad \lambda\in\mathbb{R}$

El plano pedido es $\pi:x-y+z-1=0$ y la recta, $s:\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-1}{-1}=\dfrac{z-2}{1}$.