Ejercicio resuelto de Volúmenes · Matemáticas II · 2020

Dados los planos $\pi_1 \equiv 2x + y + z - 2 = 0$ y $\pi_2 \equiv \begin{cases} x = -1 + \lambda - \mu \\ y = -\lambda + \mu \\ z = -2 + 2\lambda \end{cases}$.

a) [1 punto] Calcule razonadamente el ángulo que forman los dos planos.

b) [1,5 puntos] Halle razonadamente el volumen del tetraedro formado por el punto $P(3,\,-3,\,2)$ y los puntos de corte del plano $\pi_1$ con los ejes coordenados.

$\textbf{a) [1 punto] Calcule razonadamente el ángulo que forman los dos planos.}$











El ángulo de dos planos es el que forman sus vectores normales. El de $\pi_1$ se lee en su ecuación general; el de $\pi_2$, que viene en paramétricas, es el producto vectorial de sus dos vectores directores.

$\vec n_1=(2,1,1)$

$\vec u=(1,-1,2),\qquad \vec v=(-1,1,0)$





$\vec n_2=\vec u\times\vec v=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\1&-1&2\\-1&1&0\end{vmatrix}=(-2,-2,0)$

Podemos simplificar el vector normal dividiendo por $-2$, ya que solo importa su dirección: $\vec n_2=(1,1,0)$.

$\cos\alpha=\dfrac{\left|\vec n_1\cdot\vec n_2\right|}{\left|\vec n_1\right|\left|\vec n_2\right|}=\dfrac{|2+1+0|}{\sqrt{4+1+1}\cdot\sqrt{1+1}}=\dfrac{3}{\sqrt6\cdot\sqrt2}=\dfrac{3}{\sqrt{12}}$

$\cos\alpha=\dfrac{3}{2\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3}{2}\Rightarrow \alpha=30^\circ$

Los dos planos forman un ángulo de $30^\circ$.

$\textbf{b) [1,5 puntos] Halle razonadamente el volumen del tetraedro formado por el punto } \boldsymbol{P(3,\,-3,\,2)}\textbf{ y los puntos de corte del plano } \boldsymbol{\pi_1}\textbf{ con los ejes coordenados.}$

Obtenemos los cortes de $\pi_1:2x+y+z-2=0$ con los ejes anulando las otras dos coordenadas.

$y=z=0\Rightarrow 2x=2\Rightarrow A(1,0,0)$

$x=z=0\Rightarrow y=2\Rightarrow B(0,2,0)$

$x=y=0\Rightarrow z=2\Rightarrow C(0,0,2)$



El volumen del tetraedro es la sexta parte del valor absoluto del producto mixto de las tres aristas que concurren en $A$.

$\overrightarrow{AB}=(-1,2,0),\qquad \overrightarrow{AC}=(-1,0,2),\qquad \overrightarrow{AP}=(2,-3,2)$

$\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AP}\right]=\begin{vmatrix}-1&2&0\\-1&0&2\\2&-3&2\end{vmatrix}=0+8+0-0-6-(-4)=6$

$V=\dfrac{|6|}{6}=1$

El volumen del tetraedro es $1$ unidad cúbica.